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    條條江河歸大海:一道“配方法”習(xí)題與一題多解

    2023-04-12 07:02:06文/陳
    初中生世界 2023年11期
    關(guān)鍵詞:三項(xiàng)式因式矩形

    文/陳 贇

    復(fù)習(xí)整式乘法與因式分解之后,我們?cè)O(shè)計(jì)了一道關(guān)于“配方法”的閱讀理解問題,但很多同學(xué)并沒有運(yùn)用“配方法”解答,不同的解法也十分精彩,現(xiàn)整理出來,供同學(xué)們分享。

    【閱讀理解】我們知道,利用完全平方公式可以將二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2分解成(a±b)2。而對(duì)a2+2a-3 這樣的二次三項(xiàng)式,則不能直接利用完全平方公式分解,但可以先用“配方法”配出一個(gè)完全平方式,再用平方差公式分解。過程如下:

    請(qǐng)用“配方法”解決下列問題:

    (1)分解因式:a2-6a+5;

    (2)已知ab=,a+2b=3,求a2-2ab+4b2的值;

    (3)若將4x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2,試求常數(shù)m的值。

    【設(shè)計(jì)意圖】第(1)、第(2)問不算太難。根據(jù)閱讀材料,我們利用完全平方公式能夠順利解決。對(duì)于第(3)問,先將多項(xiàng)式4x2+12x+m局部配方,可得[(2x)2+2×2x×3+32]-9+m=(2x+3)2-9+m。然后因?yàn)?x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2,即利用平方差公式對(duì)代數(shù)式(2x+3)2-9+m變形,會(huì)產(chǎn)生因式2x+4,這樣就可逆向推導(dǎo)出(2x+3)2-9+m=(2x+3+1)(2x+3-1)。等式兩邊比較,得出-9+m=-1 的結(jié)論,可得m=8。下面列舉其他幾種精彩解法。

    解法1:根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,以及多項(xiàng)式乘法和因式分解之間的互逆關(guān)系,將多項(xiàng)式4x2+12x+m因式分解,得

    解法2:對(duì)多項(xiàng)式4x2+12x+m局部變形,得4x2+12x+m=4x(x+2)+4x+m,分析得出4x+m這個(gè)多項(xiàng)式中含有x+2 這個(gè)因式,即4x+m=4(x+2),進(jìn)而求得m=8。

    解法3:畫出圖1,大矩形的面積是4x2+12x+m,被分成4 個(gè)面積是x2的正方形和4 個(gè)面積是2x的矩形,以及A和B的兩個(gè)矩形。矩形A的一邊長(zhǎng)為x,面積為12x-8x=4x,算出其另一邊長(zhǎng)是4,因此矩形B的面積是2×4=8,即m=8。

    圖1

    解法4:4x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2,說明方程4x2+12x+m=0有一根為x=-2。將x=-2代入方程4x2+12x+m=0,可得16-24+m=0,求得m=8。

    【簡(jiǎn)要評(píng)析】解法1 充分體現(xiàn)了“回到定義去思考”的解題思想,即基于整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系,設(shè)出另一個(gè)因式,求出待定的系數(shù)。解法2體現(xiàn)出對(duì)分組分解法的較好理解,即先在一部分和式中找到已知因式,得到剩下的和式中也有已知因式。解法3 充分利用二次代數(shù)式的幾何意義,借助矩形的拼接,以形助數(shù)直觀獲解。解法4從方程的視角看多項(xiàng)式,基于方程的根與多項(xiàng)式的因式的關(guān)系,靈活運(yùn)用方程的根的概念,采用試根法解決問題,體現(xiàn)了“高觀點(diǎn)”的解題思想。

    最后,提供一道練習(xí)題給同學(xué)們鞏固一下。

    閱讀下列材料,然后解答問題。

    【問題】分解因式:x3+4x2-5。

    【解答】把x=1 代入多項(xiàng)式x3+4x2-5,發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0,由此確定多項(xiàng)式x3+4x2-5中有因式x-1,于是可設(shè)x3+4x2-5=(x-1)(x2+mx+n),分別求出m、n的值,再代入x3+4x2-5=(x-1)(x2+mx+n),就容易分解多項(xiàng)式x3+4x2-5,這種分解因式的方法叫作“試根法”。

    (1)求上述式子中m、n的值;

    (2)請(qǐng)你用“試根法”分解因式:x3+x2-9x-9。

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