核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元—課時教學設(shè)計

◎ 吳莖潔 吳子昊

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂對教師理解教材、教學設(shè)計有了更高的要求。課時教學在分解教學內(nèi)容的過程中，不可避免地對數(shù)學知識之間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)進行一定程度的拆分，要促進學生的深度學習，需要用聯(lián)系的、整體的觀點組織教學。［1］鐘啟泉指出，教師要在“核心素養(yǎng)—課程標準—單元設(shè)計—學習評價”這一環(huán)環(huán)相扣的鏈環(huán)中聚焦核心素養(yǎng)，把握課程整體結(jié)構(gòu)，積累單元教學設(shè)計。［2］也有研究指出通過單元—課時的合理規(guī)劃、單元內(nèi)容的解析、單元目標的解析和單元教學問題的診斷，教師從整體上可以更好地把握單元的教學內(nèi)容，深入理解教材的編寫意圖，體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系。［3］可見，單元教學設(shè)計是撬動數(shù)學課堂轉(zhuǎn)型的重要支點，倡導(dǎo)基于核心素養(yǎng)的數(shù)學單元教學設(shè)計，應(yīng)當成為一線數(shù)學教師的研修重心。

一、數(shù)學單元教學設(shè)計的內(nèi)涵

結(jié)合數(shù)學學科特征，將數(shù)學單元教學設(shè)計內(nèi)涵界定為：在整體思維指導(dǎo)下，從提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，以一個完整的知識單元作為研究主體，以核心的數(shù)學概念、數(shù)學思想方法、數(shù)學核心素養(yǎng)作為主線組織數(shù)學單元整體設(shè)計與課時實施，以突出數(shù)學內(nèi)容的主線以及數(shù)學知識間的關(guān)聯(lián)性。［4］

二、數(shù)學單元教學設(shè)計的特征

（一）整體性

整體性是單元教學設(shè)計最突出的本質(zhì)特征［5］，主要體現(xiàn)在數(shù)學知識的整體性、教學安排的整體性、對學生認知的整體性三個方面。將課時中的每個教學活動都納入單元教學設(shè)計來考慮，這種整體性設(shè)計有利于學生對知識的掌握更加系統(tǒng)和深入。

（二）序列性

序列性是指課時按照由易到難循序漸進的編排，形成教學梯度，使教學更有計劃地進行。前一節(jié)課內(nèi)容是后一節(jié)課的生長點，教學活動層次遞進。

（三）創(chuàng)造性

單元教學設(shè)計需要在教師對教材深入研讀理解之后，對教學內(nèi)容進行合理的劃分和重構(gòu)，體現(xiàn)了教師對單元教學內(nèi)容與教學方式的獨特詮釋，是具有創(chuàng)造性的活動。

三、單元—課時教學設(shè)計流程

數(shù)學單元教學基于整體的觀點組織教學，能幫助學生從宏觀上認識數(shù)學知識、從整體上掌握數(shù)學內(nèi)容、從結(jié)構(gòu)上理解數(shù)學知識內(nèi)在的聯(lián)系。以《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》中設(shè)置的“主題—單元—內(nèi)容要求”為依據(jù)，從“單元”到“課時”，先進行單元教學設(shè)計、梳理單元內(nèi)容、解析單元目標、診斷單元教學問題，從整體上把握單元內(nèi)容及其背后蘊含的數(shù)學思想方法和數(shù)學核心素養(yǎng)，然后再將單元目標細化分解到課時，進行課時教學活動設(shè)計。筆者結(jié)合高中數(shù)學實際的教學，提煉出數(shù)學單元—課時教學設(shè)計的一般流程（見圖1）。

圖1 數(shù)學單元—課時教學設(shè)計的一般流程

四、數(shù)學單元—課時設(shè)計與實施案例

本文以滬教版《數(shù)學》 高中必修第一冊第4 章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元為例，基于以上教學設(shè)計流程進行學科核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的單元—課時教學設(shè)計。

（一）梳理單元教學內(nèi)容

1.單元課時整體規(guī)劃

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是三種基本、廣泛的函數(shù)。本單元在上一章“冪、指數(shù)與對數(shù)”的基礎(chǔ)上進一步研究三種函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)，并為下一章“函數(shù)的概念、性質(zhì)與應(yīng)用”的學習奠定基礎(chǔ)，起著承上啟下的重要作用。

本單元課時建議安排9 課時，其中“4.1冪函數(shù)”為2 課時，“4.2 指數(shù)函數(shù)”為3 課時，“4.3 對數(shù)函數(shù)”為3 課時以及“復(fù)習與小結(jié)”為 1 課時。

2.單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)，是進一步學習函數(shù)概念的基礎(chǔ)。本單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖如圖2 所示。

圖2 “冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)” 單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖

3.知識的上下位關(guān)系

本單元的教學內(nèi)容是在第3 章“冪、指數(shù)與對數(shù)”的基礎(chǔ)上，通過固定等式ab=c中三個量a、b、c中的一個量，研究另兩個量的相互關(guān)系和變化規(guī)律。經(jīng)過本單元的學習，學生不僅能掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)與應(yīng)用，體會運用圖像與代數(shù)運算研究函數(shù)性質(zhì)，感受函數(shù)在解決實際問題中的作用，還能為第5 章“函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用”的學習奠定基礎(chǔ)。

4.蘊含的思想方法

采用數(shù)形結(jié)合方法探究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，體會從特殊到一般、分類討論的數(shù)學思想方法；通過對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的研究，在抽象后進行證明，實現(xiàn)從直觀到嚴格論證的過程，提升數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)；通過解決具有豐富現(xiàn)實背景的問題，學習如何用函數(shù)描述客觀世界事物的變化規(guī)律，培養(yǎng)和提升數(shù)學建模素養(yǎng)。

5.單元教學問題的診斷

問題1：如何通過具體冪函數(shù)歸納冪函數(shù)的圖像特征？

區(qū)別于“二期課改”教材，本版教材中冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)安排在“函數(shù)”之前，因此，冪函數(shù)是學生在高中階段接觸的第一種函數(shù)，起著初高中函數(shù)概念過渡與銜接的重要作用。通過研究冪函數(shù)，初步形成函數(shù)的研究框架，在此基礎(chǔ)上研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，既是函數(shù)類型的擴充，也是對函數(shù)研究基本框架的再確認，對其他類型的函數(shù)研究具有借鑒意義。

在教學中，教師可遵循教材編寫意圖，充分利用教材例2 和例3 中三個具有代表性的指數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)y展開教學，用描點法作出它們的大致圖像，通過圖像概括出一般冪函數(shù)的性質(zhì)，最后用代數(shù)的方法進行證明，帶領(lǐng)學生經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程。冪函數(shù)作為載體，讓學生初步體會利用圖像與代數(shù)運算是研究函數(shù)性質(zhì)的重要方法和手段，為研究函數(shù)性質(zhì)提供一個基本的途徑。

問題2：如何通過指（對）數(shù)函數(shù)的圖像研究其性質(zhì)？其中蘊含了哪些數(shù)學思想方法？

將研究冪函數(shù)的圖形與性質(zhì)的思想方法，通過類比用于指（對）數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究。以指數(shù)函數(shù)為例，教學中利用“從特殊到一般”及“分類討論”的數(shù)學思想方法對底數(shù)a＞1 和0＜a＜1 兩種情況進行探究，進一步利用冪的基本不等式證明指數(shù)函數(shù)在底數(shù)a＞1的單調(diào)性，經(jīng)歷從幾何直觀到用數(shù)學符號語言表述，再到嚴格論證的過程，體現(xiàn)數(shù)學思維的嚴謹性。

教學中，在證明指數(shù)函數(shù)底數(shù)a＞1 的單調(diào)性后教師可進一步引導(dǎo)學生思考以下問題：對于指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞1），“若ax2＞a x1，則x2＞x1”是否正確？

在思考本問題過程中，教師可引導(dǎo)學生先觀察圖像大膽猜想結(jié)論，然后通過反證法進行嚴格的數(shù)學證明，經(jīng)歷從圖像到代數(shù)、從幾何直觀到數(shù)學抽象的研究過程，培養(yǎng)和提升學生的邏輯推理素養(yǎng)。

問題3：如何運用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)解決實際問題？

在研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)后，教師要關(guān)注學生是否能利用函數(shù)模型解決和解釋生活中相應(yīng)問題，體會函數(shù)作為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中的重要作用。對于學有余力的學生，教師可以啟發(fā)他們主動發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中的有關(guān)問題，例如，能否尋找生活中的“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的實例，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，并用函數(shù)的觀點解釋現(xiàn)象，對未來可能出現(xiàn)的情況做出預(yù)期等，提升數(shù)學建模素養(yǎng)。

問題4：遇到不熟悉的函數(shù)時，我們?nèi)绾芜M行研究？

通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學習，學生學會用函數(shù)圖像和代數(shù)運算研究函數(shù)的性質(zhì)，為后續(xù)研究其他重要函數(shù)模型提供可以類比借鑒的研究范式。教學過程中滲透研究函數(shù)的一般過程方法為：① 給出現(xiàn)實背景下的問題，通過問題解決形成一組對象；② 嘗試概括共性，即給這組對象下定義，也就是要明確函數(shù)的定義；③ 畫圖像，用數(shù)形結(jié)合的方法去歸納、概括函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、奇偶性等性質(zhì)；④ 嚴格論證從幾何直觀歸納得到的函數(shù)性質(zhì)；⑤ 用函數(shù)的觀點解決問題。

（二）基于學情設(shè)置單元—課時教學目標

1.學情分析

（1）學生通過學習“冪、指數(shù)與對數(shù)”，已經(jīng)掌握了基本運算性質(zhì)，了解指數(shù)和對數(shù)之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

（2）本單元主要從圖像到性質(zhì)進行研究，對學生的直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)要求較高。學生的思維水平具有差異性，可能存在探究發(fā)現(xiàn)問題的能力不足等問題。

2.單元—課時教學目標

（1）從具體冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)出發(fā)，理解函數(shù)及圖像的概念，能用描點法作出函數(shù)的大致圖像；通過具體函數(shù)歸納函數(shù)的圖像特征，并用代數(shù)運算的方法研究冪函數(shù)的性質(zhì)，體會從特殊到一般、分類討論的數(shù)學思想方法。

（2）能利用從特殊到一般的方法，歸納冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像特征，并能用代數(shù)運算的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)展邏輯推理的素養(yǎng)。

（3）能借助函數(shù)的知識解決實際問題，建立用函數(shù)的觀點解決問題的意識，體會冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實背景，體會函數(shù)的應(yīng)用價值，發(fā)展數(shù)學建模的素養(yǎng)。

（三）單元細化分解到課時，進行課時教學活動設(shè)計

本文以本單元中的“對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”為例，進行核心素養(yǎng)視角下的課時教學活動設(shè)計。

1.課時教學目標

（1）能利用從特殊到一般、類比的思想方法，探究對數(shù)函數(shù)的圖像特征。

（2）在歸納對數(shù)函數(shù)的圖像特征的基礎(chǔ)上，會用代數(shù)方法研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握對數(shù)的基本不等式，發(fā)展邏輯推理的素養(yǎng)。

（3）能夠利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些簡單的問題，建立用函數(shù)的觀點解決問題的意識。

（4）理解兩個對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對稱的含義；知道對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，知道它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。

2.教學重難點

（1）教學重點：探究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

（2）教學難點：用代數(shù)方法研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

3.教學過程設(shè)計與實施

（1）復(fù)習回顧

本節(jié)課將進一步研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。教師引導(dǎo)學生首先回顧如下兩個問題。

① 在前面冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的學習中，我們研究了它們的哪些性質(zhì)？

② 我們是通過怎樣的方法研究這些性質(zhì)的？

【設(shè)計意圖】通過回顧冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為本節(jié)課即將研究的對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)做鋪墊，讓學生知道本節(jié)課也將類比冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作為研究內(nèi)容。第二個問題旨在讓學生對研究函數(shù)的一般方法有初步的認識，在本節(jié)課中也將類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究方法，經(jīng)歷從圖像中歸納代數(shù)性質(zhì)的嚴格論證的過程。

（2）形成概念

① 小組探究歸納性質(zhì)。在前面學習的基礎(chǔ)上，學生已經(jīng)掌握了y=log2x、y=log1—2x的圖像。課堂上，教師設(shè)計基于a＞1 和0＜a＜1 兩種情況的圖像進行小組探究活動，并請小組成員分享他們的研究成果。

② 教師歸納總結(jié)。在學生提煉出的對數(shù)函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，教師進行歸納總結(jié)。

③ 代數(shù)證明。學生對圖像過定點、單調(diào)性兩個性質(zhì)進行嚴格代數(shù)證明。

【設(shè)計意圖】通過對冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的研究，學生已經(jīng)積累了探究函數(shù)的一般方法。本節(jié)課讓學生分小組自主探究，促進學生思維能力、實踐能力的提升。通過圖像歸納性質(zhì)后，教師帶領(lǐng)學生進行嚴格的數(shù)學論證，提升學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

（3）深入探究

① 已 知a＞0，a≠1，y=loga x與y=log1—ax圖像有何關(guān)系？

② 已知a＞0，a≠1，y=loga x與y=ax圖像有何關(guān)系？

【設(shè)計意圖】通過探究對數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，使學生對對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)有更深入的認識，理解知識之間內(nèi)在的聯(lián)系。

五、結(jié)論與啟示

（一）培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)

在以數(shù)學思想方法作為主線組織的單元教學設(shè)計中，分散的、隱藏在教材中的數(shù)學思想方法有機地串聯(lián)在一起，學生能經(jīng)歷理解知識、掌握方法、領(lǐng)悟思想、積累經(jīng)驗的過程，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。［6］本研究設(shè)計的“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”單元—課時教學設(shè)計基于本章知識內(nèi)容的整體考慮，審視單元內(nèi)的數(shù)學知識，建立知識間的本質(zhì)聯(lián)系，有助于學生從整體上把握三種函數(shù)的相關(guān)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，從而促進數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。

（二）提升教師專業(yè)能力，促進教師專業(yè)發(fā)展

單元教學設(shè)計需要教師明晰單元內(nèi)容在數(shù)學知識體系中的地位、作用以及與其他單元內(nèi)容的聯(lián)系。在充分理解教材的基礎(chǔ)上，針對不同學情選擇適合學生的教學安排方式，提升教師分析教材、重構(gòu)教學內(nèi)容的能力。除此之外，單元教學設(shè)計需要教師對整個單元甚至多個單元進行全盤考慮，并且系統(tǒng)、合理地安排課時教學設(shè)計，這對教師的個人專業(yè)能力水平是一個更大的挑戰(zhàn)，因此教師可以依靠團隊的力量共同研討、分工合作，使自身的教育理論與教學經(jīng)驗相融合，在團隊的引領(lǐng)下更加快速地獲得成長。