認(rèn)知破冰讓學(xué)習(xí)成為可能
——基于正視數(shù)學(xué)困難的向度實(shí)踐

南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳六一

江蘇省蘇州市相城區(qū)教育發(fā)展中心 董齊珍

“學(xué)生對(duì)新信息的理解會(huì)受到原有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的制約”，是所有現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論的共識(shí)。正因如此，近年來(lái)圍繞以前測(cè)了解學(xué)習(xí)起點(diǎn)，并基于前測(cè)開(kāi)展精準(zhǔn)教學(xué)的課堂革新，受到了教育理論工作者與一線教師的熱捧。不過(guò)，“原有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)”不局限于學(xué)習(xí)新知識(shí)所需要的直接的準(zhǔn)備性知識(shí)、在校學(xué)習(xí)的過(guò)往正規(guī)知識(shí)、可利用的穩(wěn)定的相容認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還應(yīng)包括學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。前者能促使課堂沿著教學(xué)預(yù)設(shè)順利推進(jìn)，后者則是對(duì)課堂不確定性的挑戰(zhàn)。但是，如果課堂不能幫助學(xué)生消除困難，學(xué)生就會(huì)陷入被動(dòng)記憶、套用公式等無(wú)意義的活動(dòng)中，從而逐漸偏離學(xué)科本質(zhì)，最終導(dǎo)致學(xué)生失去對(duì)該學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。筆者將從正視學(xué)習(xí)困難的向度，通過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來(lái)回應(yīng)，如何理性對(duì)待不確定的課堂。

一、以意義解釋填補(bǔ)認(rèn)知斷層

數(shù)學(xué)史表明認(rèn)知困難經(jīng)常發(fā)生。如負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，盡管我們的祖先2000多年前就認(rèn)可了負(fù)數(shù)，但400年前的歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)，帕斯卡就認(rèn)為，既然0表示沒(méi)有，自然0-4是胡說(shuō)；而溫度計(jì)的發(fā)明，破除了這種認(rèn)知斷層，0-4可以解釋為比0度低4度的溫度，于是負(fù)數(shù)在認(rèn)知上就成了正常的數(shù)。

實(shí)際課堂中也不乏學(xué)生能夠正確算出答案，但是因?yàn)檎J(rèn)知的斷層，又對(duì)答案的合理性產(chǎn)生了懷疑，就會(huì)遭遇這樣的認(rèn)知困難。如在平均數(shù)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)有困惑：怎么會(huì)用一個(gè)不可能存在的小數(shù)，來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的整體情況？

【案例1：平均數(shù)，四年級(jí)】

教師課件出示“根據(jù)第七次人口普查數(shù)據(jù)顯示，蘇州平均每個(gè)家庭2.6個(gè)人”，提問(wèn)學(xué)生如何理解平均數(shù)2.6。

生1：生活中不存在2.6個(gè)人，應(yīng)該改為3。

生2：表示蘇州大多數(shù)家庭有2個(gè)大人，和1個(gè)正在成長(zhǎng)的孩子。

生3：說(shuō)明有些家庭有2個(gè)人，有些家庭有3個(gè)人，但3個(gè)人的家庭更多一些。

以上回答，意味著這些學(xué)生對(duì)平均數(shù)的概念僅停留在先加后除的計(jì)算水平，由于2.6個(gè)人在現(xiàn)實(shí)生活中不可能出現(xiàn)，所以第一個(gè)學(xué)生取了近似值，第二個(gè)學(xué)生將0.6個(gè)人當(dāng)作了未成年人，第三個(gè)學(xué)生強(qiáng)調(diào)了2.6是在2與3之間的數(shù)，默認(rèn)平均數(shù)處于中心位置。如果學(xué)生不能以統(tǒng)計(jì)意義解釋2.6的由來(lái)，就無(wú)法領(lǐng)悟平均數(shù)是比較、推斷的“好代表”，心中的困惑就會(huì)讓他們對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)失去安全感。這時(shí)候教師要讓學(xué)生返回“2.6個(gè)人”產(chǎn)生的背景，在數(shù)據(jù)分析中，感受平均數(shù)作代表可以用到每個(gè)樣本數(shù)據(jù)，不反映一組數(shù)據(jù)中的某一個(gè)數(shù)，它既與總量有關(guān)，也與樣本個(gè)數(shù)有關(guān)，還與數(shù)據(jù)的分布有關(guān)。也就是說(shuō)，教師引導(dǎo)學(xué)生參與收集、整理數(shù)據(jù)的過(guò)程，于其中理解平均2.6個(gè)人，不是說(shuō)真的有0.6個(gè)人，而是有的家庭只有1個(gè)人，有的家庭多達(dá)六七個(gè)人，甚至更多，但為了便于橫向與其他城市家庭人數(shù)、縱向與蘇州以往多次人口普查家庭人數(shù)進(jìn)行比較，進(jìn)而做出各種預(yù)判，以做好政府人口統(tǒng)籌工作，這樣需要在樣本中移多補(bǔ)少，或者說(shuō)為了公平需要進(jìn)行平分，就不得不創(chuàng)造出一個(gè)數(shù)——平均數(shù)。至此，學(xué)生明白了計(jì)算是統(tǒng)計(jì)的工具，統(tǒng)計(jì)是計(jì)算的藝術(shù)表達(dá)。

二、以非人為聯(lián)系填定“為什么”

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象——能按照教材給出的規(guī)則執(zhí)行推理或者運(yùn)算，但不理解為什么要這樣定規(guī)則。此時(shí)，如果學(xué)生頭腦中的“為什么”得不到釋疑，他們就會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是記憶各種人為的規(guī)則，就會(huì)滋生“數(shù)學(xué)是不講道理的”心理，繼而陷入惰于思考的窘境。這時(shí)候亟須教師的點(diǎn)撥，來(lái)呵護(hù)學(xué)生理性的思維，幫助學(xué)生在思辨中發(fā)現(xiàn)規(guī)則的合理，如案例2中的教學(xué)處理。

【案例2： 整數(shù)四則運(yùn)算，三年級(jí)】

師：7+8×5=？

生1：先算乘，8×5=40；再算加，7+40=47。

生2：為什么不能先算加，再算乘？

生3：“棉花基地第一天摘了7噸棉花，接下來(lái)加快了速度，每天摘8噸，連續(xù)摘5天，剛好摘完。一共摘了多少噸棉花？”解決這個(gè)問(wèn)題，如果列式成7+8×5，確實(shí)是先算乘?！懊藁ɑ厣衔缯?噸棉花，下午摘8噸，用同樣的速度連續(xù)摘5天，剛好摘完。一共摘了多少噸棉花？”解決這個(gè)問(wèn)題，如果列式成（7+8）×5，那就要先算加?？梢?jiàn)，先算乘除還是先算加減，只是一種隨意的規(guī)定。

綜合運(yùn)算的順序確實(shí)是一種人為的約定，但這種約定不依據(jù)數(shù)學(xué)家的主觀意志而決斷。因此在教學(xué)時(shí)，教師要讓學(xué)生從運(yùn)算本身的特點(diǎn)出發(fā)，在數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的取向中、在人們追求計(jì)算簡(jiǎn)便的需求中，做出應(yīng)然的規(guī)則約定。這就是奧蘇貝爾提出的有意義學(xué)習(xí)的一條標(biāo)準(zhǔn)：知識(shí)的非人為聯(lián)系，即這種聯(lián)系是一種合理的、別人可以理解的、自然的而非人們主觀強(qiáng)加的關(guān)系。案例2的教學(xué)如果止步于案例中的陳述，規(guī)則學(xué)習(xí)就只是主觀的、人為的約束。因此，教師要正視學(xué)生的疑惑，讓學(xué)生就“棉花基地第一天摘棉花7噸，接下來(lái)加快了速度，每天摘8噸，連續(xù)摘5天，剛好摘完。一共摘了多少噸棉花？”列出第二種解題方案：7+8+8+8+8+8，式子中的8+8+8+8+8先行計(jì)算，再用7加上5個(gè)8相加即8×5的結(jié)果，由此可以想象出類(lèi)似的題型：a+b+b+…+b，得先用乘法計(jì)算相同加數(shù)的和，以便提高計(jì)算效率。至此，學(xué)生通過(guò)非人為聯(lián)系，領(lǐng)悟“數(shù)學(xué)規(guī)定，是社會(huì)活動(dòng)的需要，是常識(shí)的優(yōu)化，必須考慮其唯一性”。

三、以邏輯思考填明直觀困惑

獲得知識(shí)至少有兩種途徑：一種是直觀感受；另一種是邏輯思考。前者是看出來(lái)的，后者是想出來(lái)的。直接觀察數(shù)學(xué)對(duì)象，往往能給學(xué)生帶來(lái)眼見(jiàn)為實(shí)的真切感，但是經(jīng)實(shí)際操作后，又常常出現(xiàn)所見(jiàn)并不真實(shí)的情景。有了多次這樣的經(jīng)驗(yàn)之后，學(xué)生迫切地想知道問(wèn)題出在哪里，該如何解釋這種矛盾。

【案例3：正方體的展開(kāi)圖，六年級(jí)】

師：這里有許多六連塊，它們都是正方體的展開(kāi)圖嗎？

生1：我覺(jué)得都是，因?yàn)檎襟w展開(kāi)后就是六連塊。

師：動(dòng)手驗(yàn)證一下，排成一排的六連塊能拼成正方體嗎？

生2：不行，有面重疊了。一排最多只能出現(xiàn)四連塊，這四個(gè)正方形剛好可以圍出正方體相對(duì)的兩組面；如果這一排再增加一個(gè)正方形，無(wú)論怎樣翻折，都和其他的正方形重疊，形成不了第三組相對(duì)的面。

師：下面這幅圖一排最多只有四連塊，是正方體的展開(kāi)圖嗎？

生3：（動(dòng)手之后回答）不是，但我不知怎樣解釋它為何不是正方體的展開(kāi)圖。

數(shù)學(xué)困難一直存在，尤其是當(dāng)直觀感受不能自圓其說(shuō)時(shí)，學(xué)生會(huì)有一種無(wú)力感，會(huì)煩惱自己智商不夠，這時(shí)教師要支持學(xué)生用邏輯思考去填明困惑，重塑學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。在面對(duì)案例3的情形時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生回到起點(diǎn)，回憶正方體的特征之一：每個(gè)頂點(diǎn)連接三條棱、三個(gè)面。而案例3中教師出示的圖形，其“田”字形中間一點(diǎn)連接了四條棱、四個(gè)面，與正方體的特征不符，這便找尋到了操作時(shí)不能翻折成三組對(duì)面的緣由。

以此對(duì)照經(jīng)典的分比薩趣題：“在飯店點(diǎn)了一個(gè)12寸的比薩，但12寸的比薩已經(jīng)賣(mài)完了，服務(wù)員說(shuō)可以送兩個(gè)6寸的比薩，你同意嗎？”當(dāng)習(xí)慣于用片面的直觀去推斷時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤，在分比薩的情境中，一旦用“直徑6+6=12”說(shuō)明服務(wù)員的做法是正確的，便掉進(jìn)了如六連塊都是正方體展開(kāi)圖一般的陷阱。不過(guò)，如果教師僅僅判學(xué)生錯(cuò)誤，而不及時(shí)幫助學(xué)生消除困頓，學(xué)生將會(huì)難以走出錯(cuò)誤觀念，并在困惑中強(qiáng)化挫敗感。因此，課堂上教師要讓學(xué)生用邏輯思維去分析：比薩大小，是在厚度相同的情況下，比較面積的大小。于此，方才能走出康德所言的“直觀無(wú)概念則盲”。

四、以概念生成填充“是什么”

不少教師喜歡開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，以告知大家今天所學(xué)內(nèi)容發(fā)起教與學(xué)，接著便是花大量的時(shí)間讓學(xué)生做作業(yè)，企圖通過(guò)多重練習(xí)，讓學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。其實(shí)，學(xué)生尚未明白數(shù)學(xué)概念是什么的時(shí)候，練和不練一個(gè)樣。學(xué)生解題的困難在于不知道新知是怎樣依賴于舊知，而后又是因?yàn)槭裁匆脚f知的。

【案例4：平均數(shù)，四年級(jí)】

師：男生、女生進(jìn)行套圈比賽，老師覺(jué)得男生的運(yùn)動(dòng)能力強(qiáng)，一定是男生的套圈水平高，你們同意嗎？

生1：不同意，需要看比賽數(shù)據(jù)才能確定。

師：出示課件，每人套15次，第一小組是女生套中的情況，第二小組是男生套中的情況。

生2：男生最多的套中了10個(gè)，比女生最多的9個(gè)多1個(gè)，所以男生套圈水平高。

生3：男生最少的是套中4個(gè)，而女生最少的是套中6個(gè)，女生水平高。

生4：男生、女生各組人數(shù)不一樣，無(wú)法比較。

由此可見(jiàn)，學(xué)生的困難在于不知選什么數(shù)作為一組數(shù)的代表，有的學(xué)生傾向于最大值，有的學(xué)生以為出現(xiàn)了最小值就表示整體水平不好。其實(shí)，用任何單個(gè)數(shù)據(jù)描述一組數(shù)據(jù)的水平，都存在不足。假如教師無(wú)視學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，直接切入“平均數(shù)能代表一組水平，我們一起來(lái)算一算兩組的平均數(shù)”，那接下來(lái)學(xué)生就會(huì)茫然：什么是平均數(shù)？干嗎要用平均數(shù)來(lái)判斷？也就屢屢出現(xiàn)如案例1中三個(gè)學(xué)生的回答，“將平均數(shù)停留在算術(shù)水平，而不能達(dá)到概念理解、統(tǒng)計(jì)理解水平”。

面對(duì)案例4中的學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，教師要善于利用生成，通過(guò)學(xué)生之間的對(duì)話與批判，發(fā)現(xiàn)所能看見(jiàn)的任何一個(gè)數(shù)據(jù)都不能作為本組學(xué)生的套圈水平，從而關(guān)注一組數(shù)據(jù)的方方面面，既要所有數(shù)據(jù)都參與，又要公平分布到每一個(gè)樣本，這時(shí)“移多補(bǔ)少”方法不是純粹地先加后除，而是為了關(guān)聯(lián)全部來(lái)反映整體水平。這時(shí)盡管學(xué)生不知平均數(shù)這一術(shù)語(yǔ)，但對(duì)平均數(shù)的意義了然于胸，繼而教師點(diǎn)題即可。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來(lái)不是一件容易的事情，如同以上行文中若干個(gè)教學(xué)案例，沒(méi)有教師的故意刁難，課堂也沒(méi)有出現(xiàn)偏題、怪題，但伴隨著符合年齡節(jié)奏的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的擴(kuò)充，由于認(rèn)知局限、心理斷層等因素，給學(xué)生帶來(lái)了與已知、已學(xué)、經(jīng)驗(yàn)的種種沖突。教師一旦提供相應(yīng)的支架，學(xué)生也就逐步消解了困難，由此也可以說(shuō)這些困難其實(shí)是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。不過(guò)教學(xué)中的挑戰(zhàn)就在于教師如何知道學(xué)生有著這樣或那樣的困難，了解了學(xué)生的困難后如何解決。筆者對(duì)于以上案例中的解決之道，主要來(lái)源是文獻(xiàn)研究與課堂觀察?；谝陨辖虒W(xué)實(shí)踐的反思，可以概括出一條教學(xué)道理：學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)，源于教師理性的教，碰上了學(xué)生思維無(wú)限可能的掙扎。