構(gòu)建開放性課堂　促進(jìn)學(xué)生自覺體悟

李琳琳

開放性的課堂有利于提升學(xué)生的想象、發(fā)散、概括等思維能力，主動探究問題、自主解決問題的能力。其關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生在具體課堂情境中進(jìn)行自覺體悟，獲得知識經(jīng)驗(yàn)，提升思維品質(zhì)。在立足課堂開放的基礎(chǔ)上，以“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”為例，筆者對自覺數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式進(jìn)行了實(shí)踐與思考。

一、教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間關(guān)系的探究過程，理解和掌握這三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；在探究三者關(guān)系的過程中，體會方程、不等式、函數(shù)中蘊(yùn)涵的模型思想，并且對這三種數(shù)學(xué)模型間的關(guān)系有本質(zhì)的理解；在探究問題的過程中，感受數(shù)學(xué)模型的價值，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生執(zhí)著的探究態(tài)度。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解并掌握一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。難點(diǎn)：結(jié)合圖像理解一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式之間的關(guān)系。

三、教學(xué)過程

1. 自覺思考

師：同學(xué)們，開學(xué)以來我們主要學(xué)習(xí)了一元一次不等式，那么在這之前我們還學(xué)習(xí)過哪些和“一次”有關(guān)的數(shù)學(xué)知識？

生1：一次函數(shù)。

生2：一元一次方程，一元一次不等式組。

……

師：同學(xué)們回答得都很好，一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式之間有什么關(guān)系呢？今天我將和大家一起來探索它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)一方面在于激發(fā)學(xué)生的好奇心，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣；另一方面讓學(xué)生感到新內(nèi)容是“有備”而來的，新內(nèi)容是由數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)“自然生發(fā)”的，是“數(shù)學(xué)自身發(fā)展”的需要。

師：在生活中我們可能會遇到這樣的情境。一根長20cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體，在彈簧伸長后的長度不超過30cm的限度內(nèi)，每掛1kg的物體，彈簧伸長0.5cm。如果所掛物體的質(zhì)量是x kg，彈簧的長度是y cm，你能寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？

生3：y=0.5x+20。

生4：我認(rèn)為還要寫出x的取值范圍，20[≤]x[≤]30。

師：這兩位同學(xué)回答得都很棒，在考慮實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式時，我們通常要考慮自變量的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：從熟悉的生活情境彈簧問題入手，引出本課的問題，回顧函數(shù)相關(guān)知識，同時使學(xué)生感受函數(shù)模型是探討實(shí)際問題的基礎(chǔ)模型；問題起點(diǎn)較低，全部學(xué)生都能夠順利、有效地進(jìn)入課堂探討氛圍，讓每個學(xué)生都有學(xué)好的信心。

2. 自主探究

師：剛才同學(xué)們成功列出了函數(shù)表達(dá)式，下面請同學(xué)們來求一求此彈簧所掛物體的最大質(zhì)量，把你的想法寫出來并和小組其他同學(xué)交流方法的異同。（教師巡視并對有困難的小組給予指導(dǎo)。）

設(shè)計(jì)意圖：首先，讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和探索，在自我嘗試的過程中，提高自己分析問題和解決問題的能力；其次，小組內(nèi)部的交流過程是學(xué)生思維火花的碰撞過程，可以幫助學(xué)生從多角度、多方面來思考問題，從而助推思維的提升。

師：同學(xué)們都用自己的方法求出了此彈簧所掛物體的最大質(zhì)量，小組內(nèi)有不同意見的請小組長來給大家展示小組成果。

生5： 因?yàn)閺椈缮扉L后的長度不超過30cm，所以0.5x+20[≤]30，得x[≤]20。所以最大質(zhì)量為20kg。

生6： 因?yàn)閺椈缮扉L后的長度最大為30cm，彈簧最長的時候所掛的物體的質(zhì)量是最大的，所以0.5x+20=30，得x=20，最大質(zhì)量為20kg。

生7：還可以畫出函數(shù)圖像，通過觀察圖像來解決。

設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生的方法和想法充分挖掘并進(jìn)行比較，讓學(xué)生感受不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步感受函數(shù)、方程、不等式這些數(shù)學(xué)模型的關(guān)系并建立聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。

師：下面，我們將方程和不等式這兩種方法做比較，對于函數(shù)y=0.5x+20，方法①，當(dāng)y=30時，0.5x+20=30，得x=20；方法②，當(dāng)y[≤]30時，0.5x+20[≤]30，得x[≤]20。兩種方法分別是借助一元一次方程和一元一次不等式解決的，那么請同學(xué)們觀察這里的①和②，什么情況下可以借助方程來解決，什么情況下可借助不等式來解決呢？

生8：在函數(shù)表達(dá)式中，當(dāng)一個變量的值確定時，可以利用一元一次方程來求另外一個變量的值。

生9：當(dāng)一個變量的取值范圍確定時，可以利用一元一次不等式來求另外一個變量的取值范圍。

師：這兩位同學(xué)總結(jié)得都很好，下面我們進(jìn)行小組合作，小組長指定變量的值或取值范圍，組員們合作求解另一個變量的值或取值范圍。

（教師巡視小組合作的情況。）

設(shè)計(jì)意圖：教師適時點(diǎn)撥和引導(dǎo)，充分展開新知的發(fā)生和發(fā)展過程，給學(xué)生足夠的時間進(jìn)行探索和交流。這里的交流不僅是師生的交流，生本的交流，更重要的是生生的交流。一方面讓新知在自然而然的情況下滲透到學(xué)生的認(rèn)知中，另一方面讓團(tuán)隊(duì)合作的意識在學(xué)生頭腦中樹立起來。

師：通過剛才的合作，你們有什么疑問嗎？

小組長1：對于一元一次方程中變量的確定，我們沒有什么問題，但對于一元一次不等式，當(dāng)我指定x<10時，我們小組在求解y的取值范圍時遇到了困難。

師：你的問題提得太有價值了。哪位同學(xué)來幫他解答一下？

小組長2：先對函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=0.5x+20進(jìn)行變形，用y來表示x為x=2y-40，再根據(jù)x<10，所以2y-40<10，得y<25。

師：這位同學(xué)解答得太棒了！以上我們從數(shù)值計(jì)算角度了解了這三個“一次”之間的關(guān)系，下面再讓我們通過圖像來觀察三者關(guān)系的玄妙。

（教師利用PPT和幾何畫板展示。）

設(shè)計(jì)意圖：教材上的內(nèi)容比較淺顯，此處借助動畫從函數(shù)圖像角度觀察值確定和范圍確定的內(nèi)容是筆者在二次備課中添加進(jìn)去的，一方面讓學(xué)生感受數(shù)與形的結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生的形象思維能力，引導(dǎo)學(xué)生從直觀的角度來深化新知；另一方面為解答九年級二次函數(shù)的綜合性題目打基礎(chǔ)，更好地培養(yǎng)學(xué)生借助圖像來分析問題和解決問題的能力。

3. 自覺內(nèi)化

師：下面就讓我們試著用以上方法來解決一些問題。

例1 已知一次函數(shù)y=2x+4，（1）你能分別說出當(dāng)y=0、y>0、y<0時，對應(yīng)的x的值嗎？（2）你還能寫出當(dāng)-2<y<8時，對應(yīng)的x的值嗎？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生能夠熟練運(yùn)用數(shù)值計(jì)算的方法（借助一元一次方程、一元一次不等式和一元一次不等式組）來解決問題，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生深入理解三個“一次”之間的關(guān)系這個核心知識。

4. 變式引領(lǐng)

例2 根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，你能說出2x+4=0、2x+4>0、2x+4<0的解（或解集）嗎？（圖像略。）

變式1 根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像，你能說出2x+4=2、2x+4>2、2x+4<2的解（或解集）嗎？（圖像略。）

變式 2 如圖1，函數(shù)y=ax+b，則ax+b=0的解為__________，ax+b≥0 的解集為__________， ax+b<0的解集為__________。

師：通過以上練習(xí)，你對三個“一次”又有了哪些新的理解？

生10：不用解方程和不等式，只要借助函數(shù)圖像也可以解出一元一次方程和一元一次不等式。

設(shè)計(jì)意圖：這里的變式引領(lǐng)是例1解法策略的變式，旨在引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)圖像來解決一元一次方程和一元一次不等式的問題。八年級的學(xué)生比較擅長利用數(shù)值計(jì)算解方程和不等式，對于借助圖像來分析問題和解決問題的能力還比較薄弱。變式引領(lǐng)從簡入難，打破學(xué)生思維上的封閉性，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。尤其是變式2，只能借助圖像來解決。

5. 回歸生活

一艘輪船以20km/h的速度從甲港駛往160km遠(yuǎn)的乙港，2h后，一艘快艇以40km/h的速度也從甲港駛往乙港。（1）分別列出輪船行駛的路程（y1）和快艇行駛的路程（y2）與輪船時間（x）之間的函數(shù)表達(dá)式。（2）何時輪船行駛在快艇的前面？（3）哪一艘船先駛過60km處？哪一艘船先駛過120 km處？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置有一定生活背景的實(shí)際問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)也服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)無處不在，進(jìn)而增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。同時，對于同一個背景，學(xué)生們給出了不同的解題方法。

6. 回歸基礎(chǔ)

讓學(xué)生再次瀏覽教材，并完成課后練習(xí)。教師批改組長作業(yè)，組長批改小組成員作業(yè)，及時反饋。小組內(nèi)部合作，對學(xué)有疑惑的學(xué)生進(jìn)行及時點(diǎn)撥。

7.平等對話

師：通過本節(jié)課的探究，你有哪些收獲？

生11：我明白了一元一次不等式、一元一次函數(shù)、一元一次不等式的關(guān)系。

師：你還掌握了哪些數(shù)學(xué)方法？

生12：數(shù)形結(jié)合的思想方法。

生13：轉(zhuǎn)化的思想方法，比如：將函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成方程或不等式問題。

師：大家總結(jié)得真棒！你還有哪些疑惑？

生14：一道題目既然可以用不同的方法進(jìn)行解決，那么哪種方法比較簡便呢？

師：同學(xué)們，你們對他的這個問題有哪些想法？

生15：直接解方程和不等式比較簡單。

生16：我的看法不同，有的題目是不能直接解方程或不等式的，要借助函數(shù)圖像。

生17：綜合這兩位同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，我進(jìn)行一個綜合，要看具體的問題而定。如果題目中已經(jīng)給出了圖像就用圖像的方法。

師：大家的發(fā)言都很精彩，老師都忍不住要為你們鼓掌了！

8.自覺生成

師：這節(jié)課的內(nèi)容我們已經(jīng)探究完了，現(xiàn)在請同學(xué)們將這節(jié)課中你最感興趣的一道題仿編成一道新題，選擇你喜歡的方法進(jìn)行解答，并與同桌交流自己的想法。

五、教學(xué)反思

1. 以學(xué)生自主參與為基礎(chǔ)，讓學(xué)生獲得體驗(yàn)

本節(jié)課的設(shè)計(jì)立足學(xué)生的“自覺學(xué)習(xí)”，通過一系列教學(xué)環(huán)節(jié)為學(xué)生量身打造更加符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的課堂，把核心知識的探究交給學(xué)生。本節(jié)課由熟悉的彈簧問題，引出問題，回顧函數(shù)相關(guān)知識，同時使學(xué)生感受函數(shù)模型是探討實(shí)際問題的基礎(chǔ)模型；問題起點(diǎn)較低，吸引全部的學(xué)生都能夠順利、有效地進(jìn)入課堂探討氛圍，讓每個學(xué)生都有學(xué)好的信心。

2. 以學(xué)生活動思考為主線，讓學(xué)生主動建構(gòu)

獨(dú)立探索、小組合作、組間互助、平等對話，本節(jié)課用這些學(xué)習(xí)方式的有機(jī)融合來提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有趣、有味，同時也達(dá)到了活動“動而有得”的目的。在學(xué)生活動中，不僅充斥著學(xué)生們別樣的激情和靈氣，更體現(xiàn)了學(xué)生的活力和創(chuàng)造力，有助于造就學(xué)生良好的陽光品質(zhì)。

3. 以學(xué)生獲取知識為目的，讓學(xué)生形成技能

“學(xué)生獲取知識”和“教師完美講授”，兩者何為課堂的重心？筆者更贊同的是前者，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)的也是學(xué)生獲取知識和形成技能。本節(jié)課的各個環(huán)節(jié)均立足于學(xué)生對知識的接受程度，以學(xué)生的“學(xué)”來確定教師應(yīng)當(dāng)如何“教”。環(huán)節(jié)“變式引領(lǐng)”則讓學(xué)生在獲取知識的基礎(chǔ)上，形成真正屬于自己的技能。另外，函數(shù)圖像的強(qiáng)化，則更多地考慮學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，提高學(xué)生借助圖像分析問題的能力。

4. 以學(xué)生經(jīng)歷過程為根本，讓學(xué)生獲得發(fā)展

在環(huán)節(jié)“自覺思考、自主探索、自覺內(nèi)化、回歸生活、回歸基礎(chǔ)”中，學(xué)生可以充分體會數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展過程。數(shù)學(xué)知識的發(fā)展不是零碎的，也不是空降的，而是遵循著一定的規(guī)律自然而然生成的，這也有利于學(xué)生建立自己的知識模塊。

（作者單位：江蘇省常州市麗華中學(xué)）