例析數(shù)列不等式常見的證明方法

?南京大學(xué)附屬中學(xué)(江蘇南京) 顧翔薈

數(shù)列不等式一直是高中數(shù)學(xué)中較復(fù)雜的一類問題，其通常是指含有通項an或者前n項和Sn的相關(guān)不等式.遞推式是數(shù)列不等式中常見的表達形式，蘊含著多層次的知識點與數(shù)學(xué)思想，因此經(jīng)常以壓軸題型出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)中.由于學(xué)生對數(shù)列不等式問題的學(xué)習(xí)較為分散，不具備系統(tǒng)性的理解和分析，故往往不能采取針對性思路解答這類問題.本文中將結(jié)合具體實例歸納、分析與數(shù)列不等式問題有關(guān)的不同證明方法，以此提供系統(tǒng)性的理論知識，幫助學(xué)生更有針對性地解答數(shù)列不等式問題.

1 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)列不等式問題的常見方法之一.數(shù)學(xué)歸納法通常用來證明具體命題在規(guī)定自然數(shù)范圍內(nèi)成立，同樣適用于數(shù)列不等式問題的證明.運用數(shù)學(xué)歸納法解數(shù)列不等式問題時，具體解題思路可以概括為：①對問題進行分析，結(jié)合已知條件證明n取初始值1時數(shù)列不等式成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時，對應(yīng)的數(shù)列不等式成立；③利用假設(shè)的數(shù)列不等式，驗證n=k+1時對應(yīng)的具體數(shù)列不等式是否成立；④通過假設(shè)、驗證進行歸納總結(jié)，證明待證數(shù)列不等式成立，即可對問題做出具體解答.如下例題所示.

例1已知f(x)=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點P(4，5)和Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標(biāo).

(1)證明：2≤xn

(2)求數(shù)列{xn}的通項公式.

③當(dāng)n=k+1時，

所以，xk+2-xk+1

即xk+2>xk+1，所以2≤xk+1

故n=k+1時，不等式2≤xn

綜上所述，對任意的正整數(shù)n，均有不等式2≤xn

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N*)時，命題成立，即

當(dāng)n=k+1時，則有

所以當(dāng)n=k+1時，命題仍然成立.

2 放縮法

靈活運用放縮法，能使數(shù)列不等式問題的解答更加直觀有效.放縮法具體是指將不等號一側(cè)的數(shù)列表達式放大或者縮小，證明放縮后的不等式成立從而得到原數(shù)列不等式成立的證明方法.運用放縮法解答數(shù)列不等式問題的主要解題思路為：①分析題意，將需證明的數(shù)列不等式的一側(cè)適當(dāng)放大或縮?。虎趯⒎糯蠡蚩s小后得到的式子與原不等式的另一側(cè)比較，利用不等式的傳遞性證明放縮后的不等式成立，即可對數(shù)列不等式證明問題做出完整解答.具體應(yīng)用如例2所示.

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*,a1，a2+5，a3成等差數(shù)列.

(1)求a1；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

解析：(1)a1=1.過程略.

(2)數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2n，n∈N*.過程略.

(1)求數(shù)列{cn}的通項公式；

3 函數(shù)單調(diào)性法

由于數(shù)列通項公式可看作特殊類型函數(shù)的解析式，故利用函數(shù)單調(diào)性解答數(shù)列不等式問題也是常見方法之一.函數(shù)單調(diào)性法適用于一側(cè)有變量另一側(cè)為常數(shù)的數(shù)列不等式，即將數(shù)列通項公式看作函數(shù)解析式來研究單調(diào)性，從判斷數(shù)列的最值與常數(shù)的大小關(guān)系入手進而解答問題.利用函數(shù)單調(diào)性法解答問題的具體過程一般可概括為：①對需要證明的數(shù)列不等式進行移項分析，將其看作等價對應(yīng)的函數(shù)解析式f(x)；②結(jié)合導(dǎo)函數(shù)或圖象，分析函數(shù)f(x)在正整數(shù)范圍內(nèi)的增減性；③結(jié)合單調(diào)性判斷函數(shù)f(x)，即數(shù)列的最值，比較最值與常數(shù)的大小關(guān)系，證明不等式成立.具體應(yīng)用步驟和過程如下.

例3已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，a>0.

(1)求a的值；

(2)若對任意的x∈[0，+∞).有f(x)≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

解析：(1)a=1.過程略.

(2)用Sn表示數(shù)列{cn}的前n項和，即Sn=c1+c2+c3+……+cn.

上文中僅僅介紹了三種解答數(shù)列不等式問題的方法和思路，但數(shù)列不等式的證明方法多種多樣，常見的方法還有作差法、分析法等.結(jié)合例題不難發(fā)現(xiàn)，放縮法相對于其他兩種方法而言，應(yīng)用難度較大，要求學(xué)生準確掌握放縮的技巧和原則，并在實例中多加運用，才能明顯提升正確率與解題效率.