“從問題到方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

劉暢

一、教學(xué)背景

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》在課程實(shí)施意見中提出：培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界?；诖耍P者以“從問題到方程”為例，貫徹落實(shí)新課標(biāo)的要求。“從問題到方程”這一課題中的“到”韻味深長，筆者認(rèn)為，更多的要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探索實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的過程，教給學(xué)生探究問題的方式，并注重對學(xué)生抽象能力、應(yīng)用意識和建模能力的培養(yǎng)。

二、教材分析

“從問題到方程”是蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊第四章第一節(jié)的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)以及代數(shù)式之后探究的又一個重要內(nèi)容。這節(jié)課重在探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，并用方程描述，再歸納總結(jié)出一元一次方程的概念，并使學(xué)生意識到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，為后面解一元一次方程以及用一元一次方程解決實(shí)際問題做鋪墊，并且為后續(xù)二元一次方程、一元二次方程的學(xué)習(xí)提供了思路。

三、學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)時(shí)期就學(xué)習(xí)過方程的概念，但他們對從生活問題中抽象出數(shù)學(xué)模型乃至方程較為陌生。到了初中階段，我們進(jìn)一步加強(qiáng)對方程的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了從生活中的實(shí)際問題到建立方程的過程，使學(xué)生充分感受到方程的簡明性和優(yōu)越性。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，并用方程描述，通過對多種實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的分析，使學(xué)生初步感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。

2.通過觀察，歸納一元一次方程的概念。

3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高抽象問題的解決能力。

五、教學(xué)重難點(diǎn)

探索實(shí)際問題中的等量關(guān)系以及歸納一元一次方程的概念。

六、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

（出示購買物品稱重的圖片）

師：在日常生活中，我們利用天平性質(zhì)來測量物體質(zhì)量，那么，天平的原理是什么呢？

生：等量！

師：你能說一說其中的等量關(guān)系式嗎？

生：兩邊重量相同。

出示一個1 g小球、2個同樣的大球與5 g砝碼在天平上（如圖1）。

師：如何精準(zhǔn)地知道雙方的等量關(guān)系呢？你們有什么方法？

生：天平兩邊物體重量相等，可以用等式方法。

出示笛卡爾對數(shù)學(xué)問題的理解。

師：著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家以及幾何的創(chuàng)始人笛卡爾認(rèn)為世間萬物中的一些問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再將這些數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最后將代數(shù)問題再簡化成解方程。從他的話語中我們可以看出什么？

生：我們可以知道世界萬物都能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而這些數(shù)學(xué)問題我們都可以運(yùn)用解方程的方法來解決。

師：找到等量關(guān)系就可以根據(jù)等量關(guān)系式列出方程嗎？這個方程又是一個什么方程呢？我們又該如何解這個方程呢？

生：2個相同大球的質(zhì)量加1個1 g小球的質(zhì)量等于5 g砝碼的質(zhì)量。

師：方程可以看作是數(shù)學(xué)中描述相等關(guān)系的一架天平。今天我們共同學(xué)習(xí)“從問題到方程”。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)借助實(shí)例的方式，引導(dǎo)學(xué)生再次復(fù)習(xí)等式的性質(zhì)，同時(shí)，通過復(fù)習(xí)的方式，引出本次探究的問題，再從“天平”這一實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生說出其中的等量關(guān)系，并嘗試建立方程，從而引出本課的課題。）

（二）探究新知

1.探索發(fā)現(xiàn)，了解天平與等式關(guān)系

出示2x+1=5

師：根據(jù)剛剛我們找出的等量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)通過方程描述這類等量關(guān)系最為簡明，因此，請大家根據(jù)等式的性質(zhì)嘗試列出方程。

生：設(shè)一個大球的質(zhì)量為xg，就可以得到：2x+1=5。

2.由天平看等式性質(zhì)

師：你知道天平的特性是什么嗎？如何才能保持天平兩邊的平衡呢？

生：兩邊質(zhì)量相同。

師：沒錯，天平的原理就是兩邊質(zhì)量相同，這樣才能保持平衡。那么，你還能運(yùn)用天平原理，也就是方程來描述等量關(guān)系嗎？

問題一：

師：學(xué)校開展籃球聯(lián)賽，規(guī)定：勝一場得2分，負(fù)一場得1分。某籃球隊(duì)比賽了12場，共得20分。那么，你該如何去描述其中數(shù)量之間的等量關(guān)系？

生：勝場得分+負(fù)場得分=20分。

師：如何建立方程呢？

生：設(shè)勝了x場，可知負(fù)了（12-x）場。得到方程：2x+1（12-x）=20。

問題二：

師：想一想：以繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺。繩長、井深各幾何？這個問題究竟問的是什么，從中你發(fā)現(xiàn)哪些信息呢？

師：同學(xué)們可以通過畫示意圖理解這個問題的意思。

（展示學(xué)生畫的圖，如圖2所示）

生：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺。繩長、井深各幾尺？

師：你能描述其中的等量關(guān)系嗎？

生：3×（井深+4）=4（井深+1）。

師：等號兩邊都表示的是什么量？

生：繩長。

師：如果設(shè)井深為x尺，如何列出方程？

生：設(shè)井深為x尺?？闪谐龇匠蹋?（x+4）=4（x+1）

師：還有其他的等量關(guān)系嗎？還可以設(shè)繩長為x尺來列方程組。

列式略。

師：實(shí)際問題中已知量和未知量之間的相等關(guān)系，可以用多種不同的方式描述。通過比較可以看出，用方程描述這種等量關(guān)系最簡明。

（設(shè)計(jì)意圖：旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維，同一個問題，從不同的等量關(guān)系、不同的角度都能解決這個問題。）

3.數(shù)學(xué)運(yùn)用

用方程描述下列問題中數(shù)量之間的等量關(guān)系：

某公園的門票價(jià)格為：成人票8元/張，兒童票3元/張。買門票共花了44元，共有8人去公園。

師：你能找出其中的相等關(guān)系嗎？

生：成人票的總價(jià)+兒童票的總價(jià)=44元。

設(shè)成人x人，可知兒童為（8-x）人，可列方程：8x+3（8-x）=44。

變式：某公園的門票價(jià)格為：成人票8元/張，兒童票3元/張。買門票共花了44元。你能找出其中的相等關(guān)系并列出方程嗎？

生：成人票的總價(jià)+兒童票的總價(jià)=44元。

設(shè)成人x人，兒童y人，可列方程：8x+3y=44。

師：這兩個問題之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？

生：聯(lián)系是等量關(guān)系是一樣的，區(qū)別是第二個問題有兩個未知量，因此要設(shè)兩個未知數(shù)，而第一個問題只有一個未知量，因此只要設(shè)一個未知數(shù)。

師：總結(jié)得很到位！

（設(shè)計(jì)意圖：在這個情境中，等量關(guān)系不變，但未知數(shù)的設(shè)法不一樣了，讓學(xué)生能夠概括其中的聯(lián)系與區(qū)別，為后面一元一次方程概念的歸納與辨析做鋪墊。）

甲、乙兩人加工同一種服裝，乙每天比甲多加工1件，乙加工服裝24件所用時(shí)間與甲加工服裝20件所用時(shí)間相同。

師：如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

生：乙加工服裝24件所用時(shí)間=甲加工服裝20件所用時(shí)間。

設(shè)甲每天加工x件，可知乙每天加工（x+1）件。則可列出方程：■=■

正方形桌面的面積是2 m2，求它的邊長。

生：設(shè)正方形的邊長為x m，可列方程：x2=2。

4.自主歸納，形成方法

師：在剛剛我們描述的過程中，你們的思路是什么樣的？

生：審題、尋找等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列方程。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷“從問題到方程”的過程，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納其一般步驟，從而培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力，以形成自己的知識體系，為后續(xù)用方程解決實(shí)際問題做鋪墊。）

（三）歸納一元一次方程的概念

出示：①2x+1=5；②2x+1（12-x）=20；③3（x+4）=4（x+1）；④8x+3（8-x）=44；⑤8x+3y=44；⑥■=■；⑦x2=2

師：觀察上述問題中的方程，你能將它們分類嗎？

（學(xué)生小組討論交流）

生：⑤中含有兩個未知數(shù)，其他的方程都只含有一個未知數(shù)。

生：⑥方程等號兩邊不是整式，其他方程的兩邊都是整式。

生：⑦中未知數(shù)的次數(shù)是2次，①②③④⑥中未知數(shù)的次數(shù)都是1次。

師：同學(xué)們歸納得真全面！我們把像①②③④這樣只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程。你能再寫幾個一元一次方程嗎？

（展示學(xué)生的作品，讓其他同學(xué)進(jìn)行辨析）

（四）練習(xí)鞏固

1．下列式子中：①5x+3y=0；②6x2-5x；③3x＜5；

④x2+1=3；⑤x+1=3是一元一次方程的有（? ）。

（設(shè)計(jì)意圖：本題考查了一元一次方程的概念，通過觀察、辨析，有助于學(xué)生深刻地理解一元一次方程的概念。）

2．用方程描述下列問題中數(shù)量之間的等量關(guān)系：

（1）一頭半歲的藍(lán)鯨體重22 t，90天后體重為30.1t。設(shè)藍(lán)鯨體重平均每天增加xt，可得方程? ?。

（2）把50 kg大米分裝在3個同樣大小的袋子里，裝滿后還剩余5 kg，設(shè)每個袋子可裝大米xkg，可得方程? ?。

（3）甲、乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速度從100 km/h提高到120km/h，運(yùn)行時(shí)間縮短了2 h。設(shè)甲、乙兩城市間的路程為xkm，如何列方程？

（設(shè)計(jì)意圖：本題讓學(xué)生再次經(jīng)歷用一元一次方程解決實(shí)際問題的過程，鞏固用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟。）

3.請你賦予2x+1=5其他的實(shí)際意義。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生編題目，是為了讓學(xué)生更深刻地理解知識并應(yīng)用知識，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生在交流、討論中碰撞出思維的火花。）

七、案例小結(jié)

本節(jié)課的設(shè)計(jì)重點(diǎn)沒有放到一元一次方程的概念，而是著重帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“從問題到方程”的過程。如何分析問題中的數(shù)量關(guān)系，如何找到等量關(guān)系，如何列出方程，是本節(jié)課的核心內(nèi)容。通過這一系列的教學(xué)步驟，學(xué)生不僅能夠?qū)W到一元一次方程的基本知識，還能夠在解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和解決問題的能力。這種實(shí)踐性的教學(xué)方法有助于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。

（作者單位：江蘇省南京江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校）

編輯：溫雪蓮