從問(wèn)題解決談思維進(jìn)階的教學(xué)嘗試與思考

史厚勇

【摘 要】數(shù)學(xué)是思維的體操，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。在教學(xué)中，教師要聚焦學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生的思維由表及里、由點(diǎn)成體、由淺入深、由窄到寬、由單到合，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階、發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】問(wèn)題解決；數(shù)學(xué)思維；思維進(jìn)階

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用［1］1，為人們提供了一種理解和解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式［1］6。這種思考方式是指學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)學(xué)科相結(jié)合的“獨(dú)特”思考角度，即學(xué)生以個(gè)性化的眼光，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化思維的審視過(guò)程，認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要聚焦學(xué)生思維，促使學(xué)生將“隱性”的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行多元化的表達(dá)，從而實(shí)現(xiàn)思維的“可視化”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階、深化。筆者嘗試聚焦學(xué)生的問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)階進(jìn)行了一些思考和探索。

一、關(guān)注過(guò)程，引思維由表及里

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)是思維不斷地自我構(gòu)建和自我完善的過(guò)程。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都體現(xiàn)在自身的思維之中，隱藏于自身的思維深處，很難“外化”于“可見(jiàn)”層面。同時(shí)，教師評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度往往以結(jié)果來(lái)衡量，評(píng)價(jià)顯得片面，可能會(huì)掩蓋某些存在的誤區(qū)。筆者認(rèn)為，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，要根植于學(xué)生的思維過(guò)程，將學(xué)生隱藏的思維“外顯”，由表及里，層層推進(jìn)，這樣才能真正地引導(dǎo)學(xué)生追溯知識(shí)的本質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法和除法”中有一道練習(xí)題：“每套衣服用布2.2米，30米布可以做多少套這樣的衣服？”教材的編寫意圖很明確，即通過(guò)除法豎式運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題用“四舍五入”法取近似值不符合生活實(shí)際，從而突出以生活實(shí)際為依據(jù)取商的近似值的合理性。學(xué)生在解答時(shí)，呈現(xiàn)了如圖1所示的解法。

從學(xué)生解答的結(jié)論來(lái)看，學(xué)生已經(jīng)達(dá)成教材的編寫意圖，但仔細(xì)觀察學(xué)生的解答過(guò)程，我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的不足。解法1中，學(xué)生將商的小數(shù)部分“0.6363…”錯(cuò)誤地理解為剩余布的米數(shù)；解法2中，學(xué)生將余數(shù)“14”錯(cuò)誤地理解為“剩余14米布”。如果只看結(jié)論，不關(guān)注過(guò)程，教師很難看出學(xué)生思維的不足。為了幫助學(xué)生真正進(jìn)行數(shù)學(xué)理解，筆者對(duì)題目做了一些改進(jìn)。題目改為：“每套衣服用布2.2米，30米布可以做多少套這樣的衣服？小華的解答如圖2所示，你能讀懂嗎？”

從改進(jìn)的題目看，豎式過(guò)程與學(xué)生的思維過(guò)程相同，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算過(guò)程的實(shí)際意義進(jìn)行理解。即從小數(shù)2.2（除數(shù)）“擴(kuò)大”成整數(shù)22開(kāi)始，厘清30÷2.2與300÷22的轉(zhuǎn)化過(guò)程，將“30里面有幾個(gè)2.2”的除法意義遷移至“300里面有幾個(gè)22”。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)“14”是經(jīng)過(guò)放大10倍后的數(shù)值，它實(shí)際表示“14分米”，也就是13套衣服做好后，還剩下14分米（1.4米）布，不足以再做一套衣服。在豎式繼續(xù)除下去的過(guò)程中，需要在“14”后面添“0”繼續(xù)除，“14”轉(zhuǎn)化成“140”，其實(shí)際表示“140厘米”。學(xué)生通過(guò)對(duì)解題過(guò)程的解讀、理解，不僅獲得結(jié)論，而且把握了知識(shí)的本質(zhì)，思維由淺層向深層發(fā)展。

二、前后串聯(lián)，引思維由點(diǎn)成體

美國(guó)教育家杜威認(rèn)為，一次完整的思維包含著兩種運(yùn)動(dòng)，即既包含歸納——從一些既定的局部性和凌亂的資訊，聯(lián)想到綜合的（或包含的）整體情況，又包含演繹——從一個(gè)整體（一定的內(nèi)涵、外延的意義，一種看法）回過(guò)來(lái)思索那些具體的事實(shí)，使它們互相連接，而且與留心聯(lián)想到的事實(shí)相連接。其思維的過(guò)程就是在觀察到的事實(shí)和推想之間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)中，讓一些原本不相聯(lián)結(jié)的細(xì)節(jié)相互聯(lián)系，最終構(gòu)成了一次完整的體驗(yàn)。［2］筆者認(rèn)為，學(xué)生思維的成功與否，在于把思維過(guò)程中的每一個(gè)點(diǎn)、每一條線、每一個(gè)面串聯(lián)起來(lái)，即在于點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的歸納構(gòu)建。學(xué)生只有將所獲得的知識(shí)點(diǎn)連成線、形成面、構(gòu)成體，這樣的思維才是深刻的，才具有生長(zhǎng)的可能。例如，在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”中，教材有如下練習(xí)題。

練習(xí) 圖3中正方形的周長(zhǎng)是20厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米？

學(xué)生通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，正方形和平行四邊形等底等高，因此正方形的面積與平行四邊形的面積相等，據(jù)此求出平行四邊形的面積。此題的解答可謂“水到渠成”，但如果只局限于問(wèn)題解決，顯然還不夠。此題的本質(zhì)是圖形間的“等積變形”，教師要有意識(shí)地通過(guò)圖形間的關(guān)聯(lián)，將“等積變形”的核心在平面圖形中延伸，從而幫助學(xué)生建立起平面圖形的整體結(jié)構(gòu)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間思維。

為此，筆者設(shè)計(jì)了如下題目，將“等積變形”進(jìn)一步發(fā)散、拓展，引發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維。

題1 圖4中哪幾對(duì)三角形的面積相等（兩條虛線互相平行）？你還能畫(huà)出和△ABC面積相等的三角形嗎？

題2 圖5中哪幾個(gè)梯形的面積相等？為什么？

題3 我們?cè)?jīng)用下面的方法解決了求三角形面積的問(wèn)題（如圖6）。有了這樣的經(jīng)驗(yàn)，你能求出圖7中幾何體的體積嗎？把你的想法畫(huà)出草圖并列式計(jì)算（單位：厘米，π取3.14）。

教師通過(guò)多種題型的設(shè)計(jì)，從基礎(chǔ)的“點(diǎn)”走向脈絡(luò)的“線”，形成立體的“面”，層層推進(jìn)，不斷豐富“等積變形”的表象，提升學(xué)生思維的廣度和思考的深度，使學(xué)生思維的立體感更強(qiáng)。

三、動(dòng)態(tài)發(fā)展，引思維由淺入深

動(dòng)態(tài)思維是一種運(yùn)動(dòng)的、調(diào)整性的、不斷優(yōu)化的思維活動(dòng)。它要求思維根據(jù)不斷變化的環(huán)境和條件來(lái)改變自己的思維程序和思維方向，對(duì)事物進(jìn)行調(diào)整、控制，以達(dá)到優(yōu)化的思維目標(biāo)。［3］學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)再改造的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、類比、分析、歸納等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，從動(dòng)態(tài)發(fā)展的角度去思考、體會(huì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用和認(rèn)知的延伸，從而培養(yǎng)動(dòng)態(tài)思維。

例如，對(duì)于平面圖形的面積推導(dǎo)，蘇教版數(shù)學(xué)教材的整體思路是將陌生的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的圖形，然后推導(dǎo)出新圖形的面積公式（如圖8）。

這種思路明確且自然，但教材只是提供一種思路，圖形面積推導(dǎo)的路徑并非僅此一種，教師如果僅用固化的方式進(jìn)行課堂教學(xué)，那么學(xué)生的思維必然有所限制。其實(shí)，對(duì)于圓的面積公式的推導(dǎo)，教師還可以借助運(yùn)動(dòng)的變化來(lái)引導(dǎo)學(xué)生，即將一個(gè)圓看作是由無(wú)數(shù)條曲線組成（如圖9）。由圖9可知，最外面的曲線就是圓的周長(zhǎng)2 r，最短的曲線是圓心，將圓沿半徑剪開(kāi)，以圓的半徑為高，得到一個(gè)三角形。則三角形的高就是圓的半徑，三角形的面積與圓的面積相等，從而推導(dǎo)出圓的面積公式。

另外，梯形、長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形的面積公式可以實(shí)現(xiàn)通用。如將梯形的上底延長(zhǎng)，可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形；將梯形的上底縮短為一個(gè)點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為三角形（如圖10）。這種具有聯(lián)系的、運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生用動(dòng)態(tài)的思維進(jìn)行思考，使學(xué)生思維得到更深刻的鍛煉。

四、開(kāi)放追問(wèn)，引思維由窄到寬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要發(fā)展質(zhì)疑問(wèn)難的批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神［1］6。學(xué)生發(fā)展批判性思維并非無(wú)意識(shí)地批判，而是在教師引導(dǎo)從思維深處聯(lián)想、融會(huì)貫通后，對(duì)情境中的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行充分的觀察、提取、加工和概括，再結(jié)合個(gè)人的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，提出質(zhì)疑和問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難。在學(xué)生提問(wèn)時(shí)，教師要不呵斥、不打斷、不敷衍［4］，這樣才能看到學(xué)生思維的深處，提升學(xué)生思維的寬度。例如，在容積的學(xué)習(xí)中，學(xué)生曾遇到如下練習(xí)題。

練習(xí) 如圖11，用一張長(zhǎng)40厘米、寬20厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，在四個(gè)角剪去四個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形之后，做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器（焊接處和鐵皮厚度不計(jì)）。這個(gè)容器的容積是多少立方厘米？

學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，在長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方形，所做成的長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去2個(gè)5厘米，長(zhǎng)方體的寬是原來(lái)長(zhǎng)方形的寬減去2個(gè)5厘米，長(zhǎng)方體容器的深度便是所剪的正方形的邊長(zhǎng)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的容積也就迎刃而解。學(xué)生對(duì)此題的解答，關(guān)鍵在于能夠?qū)⒊ニ膫€(gè)角剩下的圖形（如圖12）轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，然后再還原成長(zhǎng)方體容器。這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要具備一定的空間觀念，有一定的難度，但這種難度尚處于淺層次。學(xué)生只要理解去除四個(gè)角，就能解決問(wèn)題。

教師可以引導(dǎo)學(xué)生再繼續(xù)觀察，并提出設(shè)想：從長(zhǎng)方形鐵皮中剪下的四個(gè)角，如果還用在這個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮中，是不是可以增加這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的容積？如果可以，那么這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器又該如何剪拼？由于長(zhǎng)方形鐵皮沒(méi)有任何損耗，所做的長(zhǎng)方體容器的容積肯定會(huì)變大，學(xué)生猜想正確。但如何驗(yàn)證成為學(xué)生問(wèn)題解決的難點(diǎn)，是學(xué)生思維最大的障礙，也是學(xué)生思維的生長(zhǎng)點(diǎn)。此時(shí)需要教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，幫助學(xué)生完成這種“生長(zhǎng)”，使學(xué)生從“混沌”思維中突破，變得“清明”。

師：我們從四個(gè)角剪下相同的正方形，目的是使剩下的圖形可以折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器。如果只剪一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)相同的正方形，再進(jìn)行重新組合，能不能拼成長(zhǎng)方體？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒?/p>

師：如果我們把長(zhǎng)方形鐵皮分成兩部分，一部分做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的底面，另一部分做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的四個(gè)面，又需要怎樣操作？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生不斷地猜想、嘗試，形成兩種剪拼方式：（1）從長(zhǎng)方形鐵皮中只剪下兩個(gè)角，然后焊接到另一面，做成一個(gè)新的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器（如圖13）；（2）將長(zhǎng)方形鐵皮平均分成兩部分，一部分做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的底面，另一部分再平均分成四份，做無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的四個(gè)面（如圖14）。

學(xué)生通過(guò)充分的剪拼活動(dòng)，形成新的思考方式，其思維進(jìn)一步拓寬，由窄變寬，思維在“再創(chuàng)造”中，走向深入，走向深刻。

五、學(xué)科拓展，引思維由單到合

學(xué)科拓展是一種關(guān)注整體和整合的教育理念。學(xué)生生活的世界是一個(gè)系統(tǒng)、有機(jī)的整體，所面臨的生活實(shí)際問(wèn)題是綜合性的。如果單純從數(shù)學(xué)學(xué)科角度解決實(shí)際問(wèn)題，其效果具有一定的局限性。因此需要多種知識(shí)協(xié)同合作解決，用跨學(xué)科、整體化的思想推進(jìn)學(xué)科課程，形成學(xué)科內(nèi)容的綜合化、協(xié)同化，幫助學(xué)生建立不同學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與生活的整合，使學(xué)生能以數(shù)學(xué)的眼光觀察、思考、表達(dá)世界，形成數(shù)學(xué)的理性思維。

需要注意的是，學(xué)科整合拓展不是一味地做“加法”，也不是一味地做“減法”，而是基于共同的需求，在目標(biāo)一致的基礎(chǔ)上進(jìn)行整合，將數(shù)學(xué)知識(shí)的“點(diǎn)”與其他學(xué)科的“點(diǎn)”進(jìn)行融合，形成具有挑戰(zhàn)性的作業(yè)。例如，組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)手抄報(bào)的設(shè)計(jì)創(chuàng)作便是數(shù)學(xué)學(xué)科拓展的典例之一。在整理和復(fù)習(xí)平面圖形知識(shí)時(shí)，有學(xué)生將小學(xué)階段所學(xué)的平面圖形進(jìn)行圖形展示，然后將各個(gè)圖形的要點(diǎn)內(nèi)嵌于圖形之中，做到圖形與知識(shí)間的對(duì)等關(guān)聯(lián)，最終以圖文并茂的手抄報(bào)形式呈現(xiàn)，將平面圖形的知識(shí)要點(diǎn)表現(xiàn)得淋漓盡致。也有學(xué)生從平面圖形的面積推導(dǎo)入手，以思維導(dǎo)圖形式設(shè)計(jì)手抄報(bào)。學(xué)生在分析各個(gè)平面圖形面積的推導(dǎo)過(guò)程后，發(fā)現(xiàn)各個(gè)平面圖形的推導(dǎo)過(guò)程均以轉(zhuǎn)化作為推導(dǎo)的內(nèi)在思想，于是通過(guò)轉(zhuǎn)化這一思維點(diǎn)關(guān)聯(lián)各個(gè)圖形的面積推導(dǎo)過(guò)程，關(guān)聯(lián)面積公式，關(guān)聯(lián)面積計(jì)算等，以思維前行的方式將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，將隱性的思維點(diǎn)、抽象的知識(shí)點(diǎn)和顯性的圖形點(diǎn)進(jìn)行完美融合。數(shù)學(xué)思維從單一的問(wèn)題解決走向綜合應(yīng)用，這樣的思維更具有理性的質(zhì)感。

總而言之，思維雖然隱匿于學(xué)生頭腦之中，其發(fā)展提升更是不可摸、不可感，但只要我們抓住學(xué)生思維的“弦”，從多層次、多點(diǎn)面、多視角、多關(guān)聯(lián)、多學(xué)科去審視、去表達(dá)、去整合，就能將學(xué)生思維“可視化”，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階與發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：羅小熒）