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    引導(dǎo)學(xué)生在感悟中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

    2023-03-18 08:30:44
    數(shù)理化解題研究 2023年5期
    關(guān)鍵詞:公因式乘方底數(shù)

    耿 征

    (徐州市第十三中學(xué),江蘇 徐州 221000)

    1 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

    例1 已知xm=2,xn=5,求xm+n的值.

    學(xué)生做法:因?yàn)閤m=2,xn=5

    所以xm+n=xm+xn=2+5=7

    正確做法:因?yàn)閤m=2,xn=5

    所以xm+n=xm·xn=2×5=10

    2 提出問(wèn)題

    為什么學(xué)生知道本題是逆用同底數(shù)冪的乘法法則,但逆用的過(guò)程卻出錯(cuò)呢?

    3 分析問(wèn)題

    冪的四種運(yùn)算:

    (1)積的乘方 (ab)n=anbn

    (2)冪的乘方(am)n=amn

    (3)同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n

    (4)同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n

    冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用,主要關(guān)注的就是指數(shù)之間的進(jìn)行運(yùn)算.

    冪的四種運(yùn)算法則的逆用:

    (1)積的乘方anbn= (ab)n

    (2)冪的乘方amn=(am)n

    (3)同底數(shù)冪的乘法am+n=am·an

    (4)同底數(shù)冪的除法am-n=am÷an

    冪的運(yùn)算法則的逆用過(guò)程,只有冪之間的乘除關(guān)系,沒(méi)有加減關(guān)系.

    學(xué)生之所以出現(xiàn)錯(cuò)誤,原因就在于對(duì)冪的運(yùn)算法則的理解缺少感悟——沒(méi)有明確冪運(yùn)算法則的逆用只有乘除關(guān)系,沒(méi)有加減關(guān)系,如果學(xué)生理解這一點(diǎn),錯(cuò)誤就不會(huì)發(fā)生了.

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟;關(guān)于“零指數(shù)”教學(xué)方案的設(shè)計(jì)可作如下考慮:教學(xué)目標(biāo)不僅要包括了解零指數(shù)冪的規(guī)定,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算,還要包括感受這個(gè)規(guī)定的合理性,并在這個(gè)過(guò)程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考、感悟理性精神;學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中,通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流,逐步感悟數(shù)學(xué)思想.

    教師的引導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在:通過(guò)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題,或者準(zhǔn)確、清晰、富有啟發(fā)性的講授,引導(dǎo)學(xué)生積極思考、求知求真,激發(fā)學(xué)生的好奇心.

    由此可見(jiàn),在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,我們不能輕易放過(guò)出現(xiàn)的問(wèn)題,不能輕易放過(guò)學(xué)生提出的疑問(wèn),而是要帶領(lǐng)學(xué)生及時(shí)對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題、產(chǎn)生的疑問(wèn)反思,找出問(wèn)題的根源、疑問(wèn)的解決方法,這就是對(duì)數(shù)學(xué)的感悟.

    4 解決問(wèn)題

    4.1 增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)定義的感悟能力——看破本質(zhì)

    例2 分解因式6a(1-b)2-2(b-1)2

    學(xué)生做法:6a(1-b)2-2(b-1)2=(1-b)2(6a-2)

    教師引導(dǎo)過(guò)程:

    教師:這位同學(xué)的做法錯(cuò)在哪里?

    學(xué)生:(6a-2)沒(méi)有分解完.

    教師:那應(yīng)如何繼續(xù)分解?

    學(xué)生:(6a-2)=3 (3a-1)

    教師:為什么會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤呢?

    學(xué)生:應(yīng)該一開(kāi)始就提取公因式

    教師:所以正確的做法應(yīng)該為?

    學(xué)生展示:6a(1-b)2-2(b-1)2=6a(b-1)2-2(b-1)2=2(b-1)2(3a-1)

    教師:正確!請(qǐng)大家繼續(xù)思考,如何避免類(lèi)似錯(cuò)誤再次發(fā)生?

    學(xué)生:……

    教師:因式分解的結(jié)果要求分解到不能再分解為止,所以建議大家每次因式分解結(jié)束,請(qǐng)一定要檢查,是否分解到位!尤其是公因式是否提取完整!

    學(xué)生沒(méi)有分解到位,而這也是學(xué)生最容易犯的錯(cuò)誤.學(xué)生之所以沒(méi)有分解到位,表面上是因?yàn)楣蚴教崛〔煌暾?、不全面,而深層次的原因是?duì)因式分解概念本質(zhì)理解的不清晰.

    因式分解是指將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成整式乘積的形式,而因式分解的結(jié)果有三個(gè)要求:

    (1)結(jié)果必須是乘積形式;

    (2)結(jié)果每一項(xiàng)必須是整式;

    (3)結(jié)果每一項(xiàng)必須分解到不能再分解為止.

    這三個(gè)要求就是對(duì)因式分解本質(zhì)的解讀.上述案例出錯(cuò)的原因是沒(méi)有達(dá)到因式分解的結(jié)果的第三個(gè)要求.

    因此在教學(xué)過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生每次分解結(jié)束,要檢查結(jié)果是否分解到位;先考慮提取公因式,而公因式先要考慮系數(shù).

    4.2 增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)定理的感悟能力——逆向思維

    例3如圖1,直線(xiàn)AB、CD被直線(xiàn)EF所截,∠1=75°,下列說(shuō)法正確的是( ).

    圖1

    A.若∠4=75°,則AB∥CD

    B.若∠4=105°,則AB∥CD

    C.若∠2=75°,則AB∥CD

    D.若∠2=155°,則AB∥CD

    學(xué)生思路1:先看A選項(xiàng),因?yàn)椤?=75°,所以∠3=105°,但∠3≠∠1,所以AB不平行于CD.依次類(lèi)推,選擇B

    學(xué)生思路2:由AB∥CD,∠1=75°,可以得到∠2=∠3=75°,∠4=105°,從而確定B正確.

    兩種思維過(guò)程都是正確的,思路1是多數(shù)學(xué)生會(huì)想到的,是學(xué)生做題一般的思維過(guò)程.但為什么思路2也可以得到正確答案呢?因?yàn)椤皟芍本€(xiàn)平行,同位角相等”與“同位角相等,兩直線(xiàn)平行”是一對(duì)互逆真命題,故可以逆向思考.

    初中幾何結(jié)論中,還有很多互逆真命題,像勾股定理及其逆定理,直角三角形兩銳角互余與兩角互余的三角形是直角三角形等等,教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生建立互逆命題之間的聯(lián)系.

    在具體解決數(shù)學(xué)題時(shí),也可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考.

    例4如圖2,在ABCD中點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn),連接DO并延長(zhǎng),交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接BD,EC.

    (1)求證:四邊形BECD是平行四邊形;

    (2)若∠A=50°,則當(dāng)∠BOD為多少時(shí),四邊形BECD是矩形.

    圖2

    在解決第(2)個(gè)問(wèn)題時(shí),可以考慮先假設(shè)四邊形BECD是矩形,逆向推出∠BOD的度數(shù).

    4.3 提高對(duì)數(shù)學(xué)圖形的感悟——比較還原

    例5已知,∠AOB=90°,點(diǎn)C在射線(xiàn)OA上,CD∥OE.

    (1)如圖3,若∠OCD=120°,求∠BOE的度數(shù);

    (2)把“∠AOB=90°”改為“∠AOB=120°”,射線(xiàn)OE沿射線(xiàn)OB平移,得O′E,其他條件不變,(如圖4所示),探究∠OCD、∠BO′E的數(shù)量關(guān)系;

    (3)在(2)的條件下,如圖5,作PO′⊥OB垂足為O′,與∠OCD的平分線(xiàn)CP交于點(diǎn)P,若∠BO′E=α,請(qǐng)用含α的式子表示∠CPO′(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案).

    圖3 圖4 圖5

    學(xué)生思路:

    (1) 因?yàn)镃D∥OE,所以∠EOC=∠OCD=120°,所以∠BOE=360°-∠EOC-∠COB=150°

    圖6

    (2)如圖6,過(guò)O作OF∥CD,那么OF∥OE′,

    所以∠COF=180°-∠OCD,∠FOB=∠OO′E

    所以∠COF+∠FOB=180°-∠OCD+∠OO′E=∠AOB=120°,即∠OCD-∠OO′E=60°.

    又因?yàn)椤螼O′E=180°-∠BO′E,

    所以∠OCD+∠BO′E=240°.

    可以看出,學(xué)生把前兩個(gè)圖形孤立來(lái)看,兩幅圖兩個(gè)思考過(guò)程.這無(wú)形增加了思維量,也降低了解題效率.

    引導(dǎo)過(guò)程:

    教師:請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀(guān)察,圖4與圖3比較,哪里發(fā)生了變化?

    學(xué)生:射線(xiàn)OE的位置,∠AOB的大小.

    教師:通過(guò)你們的做法,可以看出∠AOB的大小,不影響思考過(guò)程.那么射線(xiàn)OE位置的改變,導(dǎo)致你們思維過(guò)程的變化.那能否還原O′E的位置到OE′)呢?

    學(xué)生:平移不改變圖形的大小、形狀.也就不改變∠BOE的大小.(這就是感悟的過(guò)程)

    教師:說(shuō)的很好,這就是關(guān)鍵!當(dāng)還原OE后,是否借助第(1)問(wèn)的思維過(guò)程進(jìn)行書(shū)寫(xiě)?

    學(xué)生:可以發(fā)現(xiàn),∠E′OC=∠OCD,

    那么∠EO′B=∠E′OB=360°-120°-∠OCD=240°-∠OCD

    教師:很明顯,既簡(jiǎn)化了思維過(guò)程,也簡(jiǎn)化了書(shū)寫(xiě)過(guò)程.

    教師:請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考,前兩問(wèn)產(chǎn)生了聯(lián)系,那么第(3)問(wèn)呢?

    學(xué)生:可以將結(jié)論∠OCD、∠BO′E的數(shù)量關(guān)系直接應(yīng)用到.

    利用四邊形COO′P內(nèi)角和為360°,就可以用含α的式子表示∠CPO′.

    教師:講解正確.確實(shí)將發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可以直接利用來(lái)解題.

    總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,既要時(shí)時(shí)刻刻關(guān)注學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題,又要時(shí)時(shí)刻刻對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行反思,在感悟中提升,在感悟中進(jìn)步.

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