圓錐曲線的定義在解題中的運用

方志平

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007)

定義是揭示事物本質(zhì)屬性的思想形式，面對一個數(shù)學(xué)對象，回顧它的定義，常常是解決問題的銳利武器.圓錐曲線的定義是分析、研究、解決圓錐曲線問題的重要依據(jù)與手段,是圓錐曲線幾何性質(zhì)、定理的“ 起源”.圓錐曲線的很多問題都與定義緊密相連，圓錐曲線的定義滲透在圓錐曲線的各個方面.因此合理應(yīng)用定義是尋求解題捷徑的一種重要方法.本文將借用圓錐曲線的定義巧解一些數(shù)學(xué)試題，希望能給大家一點啟發(fā).

1.巧用橢圓的定義求解

評注：本題通過橢圓的定義，把到右焦點的距離和到左焦點的距離進行相互轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)形結(jié)合的思想，使問題巧妙獲解.

圖1

評注：本題求解過程中兩次用到橢圓的定義，充分揭示了橢圓的本質(zhì)特征，橢圓上無論是已知點，還是未知點都具有橢圓的幾何意義，即到兩個焦點距離的和是定值.

2.巧用雙曲線的定義求解

圖2

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評注：本題在求解過程中，巧妙運用雙曲線的定義，并注意挖掘題目隱含的幾何意義，避免煩瑣的推理與運算，從而快速、準(zhǔn)確地解決了問題.

∴∠F1PF2=60°.

評注：為了求∠F1PF2,聯(lián)想到在△PF1F2中用余弦定理，但|PF1|和|PF2|長度未知,考慮|PF1|和|PF2|又是雙曲線的兩個焦半徑，根據(jù)題意，于是想到利用雙曲線的第二定義求解.

3.巧用拋物線的定義求解

圖3

評注：巧用拋物線的定義，將拋物線上的點到其焦點的距離和到準(zhǔn)線距離進行互化，是解決本題的重要策略.在△ABF中，利用余弦定理，再結(jié)合基本不等式問題順利得到解決.

圖4

例6 如圖4,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過點F的直線與拋物線交于A、B兩點,且|AB|=3p.設(shè)點A、B在l上的射影分別為A′、B′，今向四邊形AA′B′B內(nèi)任投一點M，則點M落在△FA′B′內(nèi)的概率是.

評注：由于AB是過焦點的弦，且弦長已知，此弦長可拆分為兩個焦半徑|AF|,|BF|的和，于是聯(lián)想到拋物線的定義，從而求得|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|=|AB|=3p,至此，問題的瓶頸得到了突破.

綜上，圓錐曲線的第一定義體現(xiàn)了“質(zhì)”的區(qū)別，而第二定義則體現(xiàn)了“形”的統(tǒng)一，第一定義和第二定義的靈活轉(zhuǎn)換常常是打開解析幾何思路的鑰匙，在題目中挖掘這些隱含信息將有助于競賽試題的解決.另外，運用圓錐曲線的定義解題，通過數(shù)形結(jié)合，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運算，使問題巧妙獲解.