研磨經(jīng)典問題，尋根拓展提升
——以一道數(shù)學(xué)質(zhì)檢試題為例

盧燕霞

福建省龍巖市教育科學(xué)研究院 (364000)

1 試題析解

(龍巖市2022年高三3月質(zhì)檢第20題)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a，b，c是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且a

(1)求a；

分析：本題意圖考查解三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式，以及三角變換公式等，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).本題的亮點(diǎn)在于已知條件“C=2A”，呈現(xiàn)內(nèi)容豐富，表現(xiàn)在角的動(dòng)態(tài)變化過程，與正、余弦定理有關(guān)，也與二倍角公式有關(guān)，還與平幾知識(shí)有關(guān)聯(lián)；第(2)問的“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”也生動(dòng)刻畫了角的旋轉(zhuǎn)，與角的定義產(chǎn)生聯(lián)系，形成新角，自然地與三角恒等變換有關(guān)聯(lián).

圖1

(i)如圖1，sin∠CAD=

圖2

2 題根檢索

高考題的題根，或源于教材，或源于歷年真題，或源于數(shù)學(xué)名題等，從中進(jìn)行改編、整合.關(guān)注試題中的題干“三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)”、“C=2A”，可以發(fā)現(xiàn)該題源于往年高考試題的加工與整合，在教材中也有背景.

高考題根1 (2021年新高考全國Ⅱ第18題)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，b=a+1，c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

高考題根2 (2014年安徽高考理科第16題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.

(1)求a的值；

教材題根:(必修5第25頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題)研究一下，一個(gè)三角形能否具有以下兩個(gè)性質(zhì)：(1)三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)；(2)最大角是最小角的2倍.

3 拓展研磨

在研磨中，解題是師生努力的共同方向，但經(jīng)典試題隱藏的價(jià)值才是真正的寶庫，其中包含了解題思想、數(shù)學(xué)方法和學(xué)科核心素養(yǎng)等育人價(jià)值.本文試題中出現(xiàn)的“倍角”，其實(shí)也隱藏著一個(gè)結(jié)論，在往年高考題中頻頻出現(xiàn)，含金量高，其證明過程涉及豐富的數(shù)學(xué)思想，極大整合了解三角形部分的知識(shí)與方法，具有重要的解題指導(dǎo)意義.

結(jié)論在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，且A=2B，求證：a2-b2=bc.

分析：本題關(guān)鍵點(diǎn)是由角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，正弦定理、余弦定理、射影定理和三角函數(shù)的定義都具備邊角的轉(zhuǎn)化關(guān)系；由A=2B可知a>b，角A可能是銳角，也可能是鈍角.

證法1：(平幾法)巧作輔助線，利用三角形相似得到比值相等獲證.

圖3

證法5：(定義法)利用三角函數(shù)的定義、點(diǎn)的坐標(biāo)、二倍角公式推理獲證.建系往往有簡化計(jì)算量的功效，具有簡潔、優(yōu)美的特點(diǎn)，因而通過建系寫出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，再建立等量關(guān)系，化簡表達(dá)式，得到命題的結(jié)論.

圖4

說明：本法實(shí)質(zhì)是利用三角函數(shù)的定義；此證法是借助點(diǎn)坐標(biāo)的不同表達(dá)，但它們是等量關(guān)系；證明過程中的bcosA=c-acosB的本質(zhì)是射影定理.

4 拓展應(yīng)用

倍角關(guān)系在解三角形中屬于特殊情形，但在高考題中也屢見不鮮，受到命題者的青睞.在解題中若能熟練運(yùn)用上述結(jié)論，就能快速求解有關(guān)的邊、角問題，準(zhǔn)確得到答案(選擇、填空題中尤為明顯)，這里列舉若干題，供大家參考.

真題2 (2012年天津高考理科第6題)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知8b=5c，C=2B，則cosC=( ).

說明：不僅在三角形中的倍角關(guān)系，在圓錐曲線中也有“倍角”關(guān)系，而且隱藏了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，能通過倍角得到軌跡是雙曲線.

此外，2008年四川高考卷文科第7題、2009年湖南高考卷文科第14題、2013年北京高考卷理科第15題等都屬于同類型，請(qǐng)讀者查閱研究.

探究已知兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足條件∠MBA=2∠MAB，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

高考真題、高質(zhì)量的模擬題是最好的訓(xùn)練題，是最佳的研磨素材.認(rèn)真研究經(jīng)典試題，有利于發(fā)現(xiàn)高考命題特點(diǎn)和命題趨勢，從中總結(jié)規(guī)律，探尋解題技巧，研究隱含的思想方法，挖掘相關(guān)的變式拓展，便于回歸教材，明確考試和復(fù)習(xí)的方向，更好地駕馭課堂，真正落實(shí)“考什么”、“怎么考”、“怎么解”、“為什么這樣解”，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)探究意識(shí)和批判性思維，培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)，提升教育教學(xué)質(zhì)量，都有重要的現(xiàn)實(shí)意義.