明思想之道，優(yōu)解題之術(shù)
——基于數(shù)學(xué)思想的2022年新高考全國Ⅰ卷部分試題的求解

何 燈 王少光

福建省福清東張中學(xué) (350305) 福建省福清第三中學(xué) (350315)

“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”是中國古代的哲學(xué)思想，就是指“明確方向，把握規(guī)律，辦事有方”.它闡明了做任何事情都應(yīng)遵循的基本道理，是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的瑰寶，可以成為我們在深化教育領(lǐng)域綜合改革的新形勢下做好數(shù)學(xué)教育的指導(dǎo)思想[1].

知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個(gè)層次[2].在日常教學(xué)中，教師往往注重知識的講解，方法的傳授，卻將數(shù)學(xué)思想的滲透丟棄一旁.為什么很多學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)僅僅停留在最初級的模仿階段？題目變一下，就不會了呢？究其原因，絕大多數(shù)學(xué)生是不懂得站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法，或者是思維混亂導(dǎo)致想不起來用什么方法來求解問題.顯然，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法尤為重要.

本文以2022年新高考全國Ⅰ卷部分試題為例，就數(shù)學(xué)基本思想方法的解題策略作一探析，以饗讀者.

1.分類與整合思想——分類策略

分類策略是“分類與整合思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，它是指根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，區(qū)分不同的情況予以分析解決.此類問題有利用考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的理解，有助于學(xué)生理性思維能力的提高.

分析：本題需要考生利用二項(xiàng)式定理將(x+y)8展開，再利用分類策略討論第一個(gè)括號中取某一項(xiàng)時(shí)，第二個(gè)括號中需要取哪一項(xiàng)，相乘才能出現(xiàn)與x2y6有關(guān)的項(xiàng).

2.函數(shù)思想——函數(shù)策略

函數(shù)策略是“函數(shù)思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，是指在解題中充分考慮對應(yīng)、相依關(guān)系，以及運(yùn)動(dòng)變化過程，通過假設(shè)變量，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)概念以及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的策略.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體內(nèi)容中，很多問題的求解離不開函數(shù)思想的應(yīng)用，如比大小、方程根的個(gè)數(shù)判定、含參不等式問題等.

A.a

分析：本題需要考生根據(jù)三個(gè)數(shù)的形式特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行比較分析.

3.化歸與轉(zhuǎn)化思想——轉(zhuǎn)化策略

轉(zhuǎn)化策略是“化歸與轉(zhuǎn)化思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，它是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，使問題變得熟悉或易于解決的一種策略.

題11 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C：x2=2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則( ).

A.C的準(zhǔn)線為y=-1 B.直線AB與C相切

C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2

分析：本題A、B選項(xiàng)的判定較為容易，C、D選項(xiàng)的判定需要求解出|OP|·|OQ|與|BP|·|BQ|的具體形式，要求考生有一定運(yùn)算求解能力.若采用轉(zhuǎn)化策略對|OP|·|OQ|與|BP|·|BQ|的表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，就可以避免繁雜的計(jì)算，將問題輕松解決.

4.數(shù)形結(jié)合思想——圖形策略

圖形策略是“數(shù)形結(jié)合思想”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，它是指利用圖象，將數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化來解決問題的策略.“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用圖形策略有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力[3].

題14 寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

圖1

分析：本題符合條件的直線有三條，考生只要能夠較為準(zhǔn)確的畫出兩個(gè)圓，即可通過觀察得到直線x=-1符合要求.命題者的考查意圖是希望考生在數(shù)形結(jié)合思想的引領(lǐng)下，畫出圖形如圖1、觀察圖形、利用圖形、求解問題，而不是通過設(shè)直線，聯(lián)立方程等繁雜的方法來求解問題.

圖2

分析：本題若分別求出△ADE三邊的長，計(jì)算量比較龐大，命題者的考查意圖是希望考生對題設(shè)條件的數(shù)量關(guān)系作感知，以發(fā)掘條件的隱含信息，借助圖形，如圖2，觀察得出圖形的關(guān)鍵特征，對所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以有效解決問題.

5.特殊與一般思想——特殊化策略

特殊化策略是“特殊與一般思想方法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，是指通過選取特殊元素，依據(jù)問題在一般情況下真，則在特殊情況下亦真，反之，在特殊情況下不真則在一般情況下亦不真.高考中對它的考查方式主要有：通過尋求特殊值、特殊點(diǎn)、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊的位置關(guān)系等來研究解決不確定問題、運(yùn)動(dòng)變化問題、抽象問題等.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

6.結(jié)語

日本數(shù)學(xué)家、教育家米山國藏說過這樣一段話：“學(xué)生們在學(xué)校學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后很快就忘掉了，但是，只有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使他們受益終生.”教師在教學(xué)中要充分發(fā)掘教材中的知識點(diǎn)和典型例子中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，依靠數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)問題求解，讓學(xué)生在潛移默化中去領(lǐng)悟、運(yùn)用并逐步內(nèi)化為思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生能力的提升.