著力考查關鍵能力　充分發(fā)揮導向作用

周遠方　陳朝建　胡紅芳

編者按：《中國數(shù)學教育》“中考專刊”深耕中考研究十六載，堅持圍繞當年的中考數(shù)學試題策劃中考專題. 2022年，本刊編委會成員群策群力，調(diào)整2023年“中考?？辈邉澐桨福浴读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》為依據(jù)，參照數(shù)學課程學業(yè)質(zhì)量標準的要求，突出核心素養(yǎng)導向的評價觀. 邀請來自全國20個省、市的權威專家分“命題分析”和“解題分析”兩個專版，按“整體評價”和“專題評價”兩個層次，通過三個維度展開分析，幫助教師理解中考的命題理念和考查要求，促進學生理解中考試題的考查要點和解題方向. 本專題將持續(xù)刊登，歡迎廣大教師繼續(xù)關注?。ㄎ恼轮兴弥锌荚囶}如有出入，以官方發(fā)布為準.）

摘? 要：通過梳理2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題，從必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)和核心價值的角度，對試題的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性特點進行整體分析，并以典型試題和優(yōu)秀試題為例，按目標解析、解法分析、試題評析和類題賞析的要求，詮釋中考試題考查功能、甄別功能、育人功能和引領功能的導向作用，同時提出有針對性和可操作性的中考復習備考建議.

關鍵詞：中考數(shù)學；試題特點；整體分析；解題分析；復習建議

2022年中考數(shù)學試題的命制落實了《教育部辦公廳關于做好2022年中考命題工作的通知》的總體要求，貫徹了新頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）關于命題的規(guī)定要求，貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關鍵能力考查，體現(xiàn)了中考數(shù)學“兩考合一、一考多用”的評價功能和全面育人的導向作用. 試題體現(xiàn)了以下特點：第一，突出數(shù)學本質(zhì)，重視理性思維，堅持素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則；第二，倡導理論聯(lián)系實際、學以致用，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值；第三，關注我國社會主義建設和科學技術發(fā)展的重要成果，設計真實問題情境，體現(xiàn)了時代特征和制度優(yōu)勢；第四，穩(wěn)中求變、穩(wěn)中求新，科學把握必備知識與關鍵能力的關系，準確把握了數(shù)學題型的開放性與數(shù)學思維的開放性，全面體現(xiàn)基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的考查要求.

一、試題特點分析

2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題呈現(xiàn)注重基礎性、突出綜合性、關注應用性、引導創(chuàng)新性的共同特點，試題著眼于全方位考查學生數(shù)學關鍵能力和核心素養(yǎng)的發(fā)展水平. 與往年相比，2022年中考數(shù)學試題既有傳承又有創(chuàng)新，師其意而不泥其跡.

1. 注重基礎，充分發(fā)揮必備知識的考查功能

中考數(shù)學試題是對學生義務教育階段數(shù)學學習的學業(yè)質(zhì)量水平的整體檢測，涵蓋的知識面廣，每年推陳出新、形式多樣，然而對數(shù)學“四基”的考查是始終不變的，基礎性仍是2022年中考試題的顯著特點之一. 與往年相比，2022年中考的許多基礎性試題更加注重在相互關聯(lián)中考查通性通法，以評價學生必備知識的系統(tǒng)性和認知體系的完整性.

例1 （云南卷）臨近端午節(jié)，某學校數(shù)學興趣小組到社區(qū)參加社會實踐活動，幫助有關部門了解某小區(qū)居民對去年銷量較好的鮮花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黃粽四種粽子的喜愛情況. 在對該小區(qū)居民進行抽樣調(diào)查后，根據(jù)統(tǒng)計結果繪制如圖1所示的統(tǒng)計圖.

說明：參與本次抽樣調(diào)查的每一位居民在上述四種粽子中選擇且只選擇了一種喜愛的粽子.

根據(jù)以上信息，解答下列問題.

（1）補全條形統(tǒng)計圖；

（2）若該小區(qū)有1 820人，估計喜愛火腿粽的有多少人？

目標解析：該題主要考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖等統(tǒng)計基礎知識，考查用樣本估計總體的思想、數(shù)據(jù)觀念和應用意識.

解法分析：第（1）小題需要利用扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的對應關系，先根據(jù)喜愛鮮花粽的人數(shù)及其所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進而計算喜愛火腿粽的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖；第（2）小題用樣本估計總體，由1 820乘30%即可估計喜愛火腿粽的人數(shù).

解：（1）這次隨機調(diào)查中被調(diào)查到的人數(shù)是70 ÷ 35% = 200（人），喜愛火腿粽的人數(shù)為200 - 70 - 40 - 30 = 60（人），補全的條形統(tǒng)計圖如圖2所示.

（2）估計喜愛火腿粽的有1 820 × 30% = 546（人）.

答：估計喜愛火腿粽的有546人.

試題評析：該題以統(tǒng)計圖為載體，意在評價學生的數(shù)據(jù)觀念，試題考查的內(nèi)容雖然基礎但是形式不失鮮活，在學生熟知的生活背景中展開數(shù)學問題，引導學生在情境中解決問題，感悟數(shù)據(jù)蘊含的信息，進而從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習慣，發(fā)展了應用意識，凸顯了對中考數(shù)學試題基礎性的考查特點.

類題賞析：統(tǒng)計圖表既是統(tǒng)計與概率的必備知識，又是每年中考考查的重點內(nèi)容. 通過統(tǒng)計圖表考查學生的數(shù)據(jù)觀念，有助于學生形成對數(shù)據(jù)的感悟，有助于學生對數(shù)據(jù)的歸納整理、分析判斷并發(fā)現(xiàn)其中隱藏的規(guī)律，有助于學生通過比較更好地理解不同統(tǒng)計量與統(tǒng)計圖表的意義及適用場合. 類似的試題還有2022年黑龍江哈爾濱卷第23題、2022年湖北荊州卷第19題、2021年山東臨沂卷第17題、2021年湖南株洲卷第23題、2020年江蘇泰州卷第20題和2020年浙江湖州卷第20題等. 這類試題都是讓學生通過統(tǒng)計圖表發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律，利用樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征來描述和推斷總體的統(tǒng)計特征，在一定程度上反映了運用數(shù)學工具解決統(tǒng)計問題的考查特點.

2. 突出綜合，充分發(fā)揮關鍵能力的甄別功能

基于中考“兼顧畢業(yè)和升學”的功能定位，綜合性自然成為中考試題的重要特征之一. 這種綜合性既體現(xiàn)在考查內(nèi)容縱橫聯(lián)系的綜合上，也體現(xiàn)在考查對象動靜結合和變與不變的綜合上，更體現(xiàn)在多種解法的綜合運用上. 2022年中考數(shù)學試題既有四個領域內(nèi)部的深度綜合，也有不同領域之間的跨界綜合，通常作為壓軸題，對學生的關鍵能力具有較強的甄別功能.

例2 （福建卷）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線[y=ax2+bx]經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點. P是拋物線上一點，且在直線AB的上方.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；

（3）如圖3，OP交AB于點C，[PD∥BO]交AB于點D. 記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為[S1]，[S2]，[S3]. 判斷[S1S2+S2S3]是否存在最大值. 若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.

目標解析：該題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、面積計算、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎知識，考查學生的運算能力、推理能力、幾何直觀等核心素養(yǎng)的發(fā)展水平.

解法分析：第（1）小題直接運用待定系數(shù)法求解析式即可；第（2）小題先用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再通過三角形面積的轉(zhuǎn)換和解方程，即可求得m的值；第（3）小題利用相似三角形的性質(zhì)，將[S1S2+S2S3]表示成關于m的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.

試題評析：該題綜合性較強，涉及多個數(shù)學知識點、方法及原理的運用. 特別是第（3）小題中將面積比轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關鍵，有較強的區(qū)分度. 函數(shù)與幾何知識的綜合加大了對關鍵能力的考查力度，要求學生能在具體問題中結合數(shù)量關系與空間形式，串聯(lián)相關數(shù)學概念、性質(zhì)、法則和方法，并能用數(shù)學語言表達思維過程，綜合考查數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展水平.

類題賞析：函數(shù)是研究運動變化的重要數(shù)學模型，是培養(yǎng)和考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體，是中考壓軸題的命題熱點，在初中數(shù)學中具有核心地位. 近幾年的中考二次函數(shù)壓軸題大多數(shù)是以“拋物線的帽子 + 幾何的內(nèi)核”的形式呈現(xiàn)，即以拋物線為背景，將拋物線與三角形、四邊形、圓等圖形結合起來考查有關圖形面積最值問題和學生的綜合應用能力. 類似的試題還有2022年江蘇蘇州卷第26題、2021年湖北荊門卷第24題、2021年湖南常德卷第25題、2021年江蘇鹽城卷第27題和2021年重慶A卷第25題等. 解決此類問題的關鍵是先找到已知與未知的關系，表示出圖形的面積或周長，再利用函數(shù)相關知識加以解決.

3. 關注應用，充分發(fā)揮核心素養(yǎng)的育人功能

《標準》要求學生在解決數(shù)學問題的過程中，感受數(shù)學在實際生活中的應用，體會數(shù)學的應用價值. 因此，2022年中考數(shù)學重視運用數(shù)學必備知識、思想方法及數(shù)學模型解決實際問題，發(fā)揮數(shù)學應用廣泛、聯(lián)系實際的學科特點，命制具有教育意義的試題，增強學生的社會責任感，引導學生學以致用，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

例3 （天津卷）在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境.

已知學生公寓、閱覽室、超市依次在同一條直線上，閱覽室離學生公寓[1.2 km]，超市離學生公寓[2 km]. 小琪從學生公寓出發(fā)，勻速步行了[12min]到閱覽室；在閱覽室停留[70min]后，勻速步行了[10min]到超市；在超市停留[20min]后，勻速騎行了[8min]返回學生公寓. 圖6給出的圖象反映了這個過程中小琪離學生公寓的距離[y km]與離開學生公寓的時間[xmin]之間的對應關系.

根據(jù)相關信息，解答下列問題.

（1）填表1.

（2）填空.

① 閱覽室到超市的距離為___________；

② 小琪從超市返回學生公寓的速度為_________；

③ 當小琪離學生公寓的距離為[1 km]時，他離開學生公寓的時間為___________.

（3）當[0≤x≤92]時，試直接寫出y關于x的函數(shù)解析式.

目標解析：該題主要考查學生運用數(shù)學知識和方法解決簡單實際問題的能力，考查學生的應用意識和數(shù)學建模能力.

解法分析：第（1）小題綜合題意和函數(shù)圖象，可以將表格補充完整；第（2）小題根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以將各個小題中的空補充完整；第（3）小題根據(jù)第（2）小題中的結果和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求出當[0≤x≤92]時y關于x的函數(shù)解析式.

解：（1）由圖6可知，小琪前12分鐘的速度為1.2 ÷ 12 = 0.1（km / min）.

故當x = 8時，離學生公寓的距離為8 × 0.1 = 0.8（km）；

在[12≤x≤82]時，小琪離學生公寓的距離不變，都是1.2 km，

故當x = 50時，小琪離學生公寓的距離為1.2 km；

在[92≤x≤112]時，小琪離學生公寓的距離不變，都是2 km，

所以當x = 112時，小琪離學生公寓的距離為2 km.

故填寫完整的表格如表2所示.

（2）① 閱覽室到超市的距離為2 - 1.2 = 0.8（km）.

② 小琪從超市返回學生公寓速度為2 ÷ （120 -112） = 0.25（km / min）.

③ 分如下兩種情形.

當小琪離開學生公寓，與學生公寓的距離為[1 km]時，他離開學生公寓的時間為1 ÷ 0.1 = 10[min]；

當小琪返回并與學生公寓的距離為[1 km]時，他離開學生公寓的時間為112 + （2 - 1） ÷ ［2 ÷ （120 - 112）］ = 112 + 4 = 116（min）.

試題評析：該題依托學生熟悉的生活情境，以初中數(shù)學中隱含的高中“分段函數(shù)”的圖象和性質(zhì)為載體，考查學生運用數(shù)形結合、函數(shù)與方程的思想分析和解決問題的能力. 試題對學生讀懂信息、明確題意的數(shù)學閱讀理解能力提出了較高要求，體現(xiàn)了數(shù)學模型的應用價值和工具作用，有利于引導學生養(yǎng)成理論聯(lián)系實際的習慣，發(fā)展模型觀念和應用意識.

類題賞析：數(shù)形結合思想是研究函數(shù)的基本思想. 綜觀近幾年全國各地中考函數(shù)試題，立足于對函數(shù)基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗等方面的考查，突出對學生數(shù)學觀察、數(shù)學思考和數(shù)學表達能力的考查，滲透了對抽象能力、推理能力、運算能力和模型觀念等數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，彰顯了數(shù)學的理性思維和數(shù)學的育人功能. 類似的試題還有2022年湖北十堰卷第23題、2022年四川成都卷第24題、2020年黑龍江牡丹江卷第25題、2020年江蘇淮安卷第24題和2020年浙江寧波卷第22題等. 此類試題不僅體現(xiàn)了這種考查特點，而且致力于教材資源的開發(fā)，使教材發(fā)揮其應有的范本功能.

4. 適度創(chuàng)新，充分發(fā)揮核心價值的引領功能

中考的核心功能是立德樹人、服務選擇、引導教學，構建德智體美勞全面發(fā)展的教育體系是新時代教育和中考的重要任務. 2022年中考數(shù)學試題關注數(shù)學文化育人的價值，充分發(fā)揮中考數(shù)學在深化中學課程改革、全面提高教育質(zhì)量的引導和促進作用，堅持適度開放創(chuàng)新，突出理性思維特點，考查數(shù)學關鍵能力.

培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是初中數(shù)學新課程的重要任務. 開放性試題為學生提供了發(fā)揮的空間和選擇的權利，這種選擇包括選擇適合自己特點的問題，選擇解決問題的方向，選擇恰當?shù)慕忸}方法，這是理性思維的高度體現(xiàn)，需要學生有較強的獨立思考能力和批判性思維品質(zhì)，對學生素養(yǎng)和能力的考查更深刻、更有效.

例4 （北京卷）在平面直角坐標系[xOy]中，已知點[Ma，b，N.] 對于點[P]給出如下定義：將點[P]向右[a≥0]或向左[a<0]平移[a]個單位長度，再向上[b≥0]或向下[b<0]平移[b]個單位長度，得到點[P]，點[P]關于點[N]的對稱點為[Q]，稱點[Q]為點[P]的“對應點”.

（2）[⊙O]的半徑為1，[M]是[⊙O]上一點，點[N]在線段[OM]上，且[ON=t? 12

目標解析：該題主要考查點的平移、對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點間的距離，中位線的性質(zhì)及線段的最值問題，考查學生的創(chuàng)新意識、動手實踐能力、運算能力和推理能力.

解法分析：第（1）小題只需要根據(jù)題意在圖中找出點[Q]的位置即可；解決第（2）小題的關鍵是結合圖形的對稱性質(zhì)，得出[PQmax-PQmin]的線性關系.

解：（1）① 點Q的位置如圖8所示. 因為點M的坐標為[M1，1]，所以點[P-2，0]向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到[P-1，1]. 依題意，可得[N2，2]. 因為點[P]關于點[N]的對稱點為點[Q]，所以點[Q]的橫坐標為[2×2--1=5]，縱坐標為[2×2-1=3]. 所以點Q的坐標為[Q5，3]. 在坐標系內(nèi)找出該點即可.

因為[Ma，b]，點[P]向右[a≥0]或向左[a<0]平移[a]個單位長度，再向上[b≥0]或向下[b<0]平移[b]個單位長度，得到點[P]，

試題評析：該題以新定義為載體，綜合性強，考查學生即學即用的能力. 試題分步設問、梯次遞進. 第（2）小題中，畫出點Q和點[P]的軌跡是破題的關鍵，有助于引導學生在解題過程中逐步克服困難，養(yǎng)成獨立思考、反思質(zhì)疑和勇于創(chuàng)新的學習習慣.

類題賞析：即學即用能力是指學生能夠即刻運用新習得的數(shù)學知識或方法解決問題的一種遷移能力，其學習方法與“定義—表示—性質(zhì)—應用”的研究路徑一脈相承. 近幾年部分中考試題新穎別致，關注利用創(chuàng)新思維解決問題的一般觀念，解決問題的過程需要運用聯(lián)系與變化的觀點，厘清量與量之間的關系，發(fā)現(xiàn)對應關系及其規(guī)律，體現(xiàn)創(chuàng)新性的考查要求. 類似的試題還有2022年浙江寧波卷第14題、2021年湖北荊州卷第21題、2021年浙江衢州卷第23題和2021年重慶B卷第22題等. 此類試題采用新定義的方式，落實“雙減”政策的要求，加強對思想內(nèi)涵的考查，減弱繁難的推理論證，立足新穎性，注重適度的開放性和有效的探索性.

二、優(yōu)秀試題剖析

優(yōu)秀數(shù)學試題通常應該具備六個基本要素，即基本要求達標、考核目標明確、情境設計新穎、區(qū)分功能優(yōu)良、育人價值突出和引導作用顯著. 其中，結合學生認知水平和生活經(jīng)驗， 設計真實合理的生活情境、數(shù)學情境和科學情境，滲透數(shù)學文化，考查學生對數(shù)學概念、原理和思想方法的理解程度，有效展現(xiàn)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)及繼續(xù)學習的潛能，是優(yōu)秀數(shù)學試題的一個顯著標志.

在2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題中，有很多情境化的優(yōu)秀試題值得分析研究，深刻領悟其中蘊含的價值功能，可以為今后的數(shù)學復習備考提供參考.

1. 體現(xiàn)課程學習情境

為體現(xiàn)課程學習情境而選取的情境材料主要源于學生已有數(shù)學課程的學習經(jīng)歷、學習體驗和學習收獲，主要關注學生通過學習掌握的知識基礎，包括數(shù)學概念、原理、運算和邏輯推理等問題情境. 與之相應的情境化試題主要在基礎性和綜合性的層次上考查學生對已有知識與方法的掌握和運用水平，為檢驗基礎提供量尺.

例5 （重慶B卷）如圖10，在平面直角坐標系中，拋物線[y=-34x2+bx+c]與x軸交于點[A4，0]，與y軸交于點[B0，3].

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點P為直線[AB]上方拋物線上一動點，過點P作[PQ⊥Ox]于點Q，交[AB]于點M，求[PM+65AM]的最大值及此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，點[P′]與點P關于拋物線[y=][-34x2+bx+c]的對稱軸對稱. 將拋物線[y=-34x2+bx+c]向右平移，使新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點A. 點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A，[P′]，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來.

目標解析：該題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等基礎知識，考查學生的抽象能力、推理能力和運算能力，在數(shù)形結合中考查學生的幾何直觀和模型觀念.

解法分析：第（1）小題中，將[A4，0]，[B0，3]代入拋物線[y=-34x2+bx+c]，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達式；第（2）小題中，先求出直線[AB]的解析式，將[PM+65AM]轉(zhuǎn)化為[PM+2MQ]，再把[PM+][2MQ]用點[P]的橫坐標表示出來，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；第（3）小題先求出平移后新拋物線的解析式，再利用平行四邊形的中心對稱性分情況列出方程組求解即可.

試題評析：該題是代數(shù)與幾何的綜合題，源于教材又高于教材，以通性通法（待定系數(shù)法）為考查基點，以坐標系中“化斜為直”（將斜線段用豎直或水平的線段表示）、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題為突破點，以利用二次函數(shù)的平移規(guī)律構造平行四邊形為核心考點，將數(shù)形結合、數(shù)學建模、運算方法融入其中，難度與要求逐步提升，整體難度適中. 第（2）小題需要以相似三角形為基礎進行線段之間的轉(zhuǎn)化，既傳承了往年試題的優(yōu)點，也體現(xiàn)了該題設計的亮點；第（3）小題開放選擇，需要動手作圖、分析位置、分類找點，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力.

類題賞析：《標準》明確提出了“增加代數(shù)推理，增強幾何直觀”的主張，體現(xiàn)了通過幾何建立直觀、通過代數(shù)予以表達的現(xiàn)代數(shù)學的基本特征. 近幾年部分中考試題明顯加強了代數(shù)與幾何融合的命題力度，突出了依標命題、教考銜接的命題特點. 類似的試題還有2022年廣東卷第23題、2020年浙江湖州卷第24題、2020年廣西玉林卷第26題、2020年貴州黔東南州卷第26題、2020年黑龍江大興安嶺卷第24題、2020年湖北黃岡卷第25題和2020年湖南郴州卷第26題等. 這些試題都是以函數(shù)為載體，考查平行四邊形的存在性問題. 此類問題重在考查學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等關鍵能力，蘊含數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學思想方法，涵蓋的知識面廣，綜合性強，突出考查學生思維的嚴謹性.

2. 體現(xiàn)綜合實踐情境

為體現(xiàn)綜合實踐情境而選取的情境材料主要源于與日常生活、生產(chǎn)實踐及社會實際密切相關的問題背景，關注數(shù)學與其他學科和社會生活實際的關聯(lián)，包括生活生產(chǎn)實際、科學研究等問題情境. 與之相應的情境化試題主要在應用性層次上考查學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，為拓展數(shù)學應用提供途徑.

例6 （北京卷）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分. 建立如圖11所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度[y]（單位：m）與水平距離[x]（單位：m）近似滿足函數(shù)關系[y=ax-h2+k? a<0].

某運動員進行了兩次訓練.

（1）第一次訓練時，該運動員的水平距離[x]與豎直高度[y]的幾組數(shù)據(jù)如表3所示.

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關系[y=ax-h2+k? a<0]；

（2）第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關系[y=-0.04x-92+23.24.]

記該運動員第一次訓練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓練的著陸點的水平距離為[d2]，則[d1]? ? ?[d2]（填“>”“=”或“<”）.

目標解析：該題主要考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應用，考查數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類與整合的思想方法，以及模型觀念、數(shù)據(jù)觀念和應用意識.

解法分析：第（1）小題中明確要求“直接寫出”，提示學生避免應用計算量較大的待定系數(shù)法，聚焦表格中的數(shù)據(jù)特點進行分析，根據(jù)拋物線的對稱性，結合表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標，進而得出h，k的值及運動員豎直高度的最大值；再將表格中除頂點坐標之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關系式即可求出a的值，從而得出函數(shù)解析式. 第（2）小題的難點在于兩次的著陸點不在熟悉情境中的水平面上，需要引入?yún)?shù)[t]表示下落過程中運動員位置的縱坐標，分別求出兩次下落過程中縱坐標為 t 時對應的橫坐標，再結合拋物線的形態(tài)判斷[d1]和[d2]的大小關系.

解：（1）根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為[8，23.20]，所以[h=8]，[k=23.20]，即該運動員豎直高度的最大值為23.20 m.

試題評析：該題以北京冬奧會的滑雪大跳臺為情境，緊扣函數(shù)的核心內(nèi)容，突出數(shù)學的應用價值，強調(diào)理性思維和數(shù)學探索，要求學生能夠?qū)⒛吧臄?shù)學問題轉(zhuǎn)換成熟悉的數(shù)學問題，并綜合運用數(shù)學知識分析問題，進而解決問題. 試題第（1）小題的解法相對開放，學生既可以用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，也可以利用拋物線的對稱性運用數(shù)形結合的思想方法解決問題，通過對解法優(yōu)劣的選擇區(qū)分不同層次的學生；第（2）小題打破常規(guī)（著陸點不在同一水平面上），解題時需要引進參數(shù)來刻畫運動員的實時位置，對學生的關鍵能力提出了較高要求，考查了學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考實際問題，用數(shù)學的方法解決實際問題的能力.

類題賞析：二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要模型. 近幾年全國各地中考數(shù)學以二次函數(shù)為背景的試題形式豐富多樣，有方案設計問題、行程問題、利潤問題和跨學科問題等，考查學生從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題、建立函數(shù)模型、解決實際問題的能力，有助于學生形成模型觀念，提升應用意識. 類似的試題還有2022年吉林長春卷第21題、2021年浙江臺州卷第23題、2021年貴州貴陽卷第24題、2021年湖北隨州卷第22題，2020年浙江衢州卷第22題和2020年黑龍江牡丹江卷第25題等. 這類基于真實生活情境的應用型試題，在“抽象模型—分析模型—求解模型—應用模型”的數(shù)學建模過程中，突出考查學生的閱讀理解能力和自主探究能力，潛移默化地落實抽象能力、推理能力、運算能力和模型觀念等核心素養(yǎng). 此類試題大多數(shù)出現(xiàn)在客觀題和主觀題的壓軸題位置上，是“知識與能力并重，思想與方法交融，應用與文化兼顧”的命題思想的完美呈現(xiàn)，充分體現(xiàn)了基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的考查特點.

3. 體現(xiàn)探索創(chuàng)新情境

為體現(xiàn)探索創(chuàng)新情境而選取的情境材料，主要關注學科知識的深入探索與思想方法的創(chuàng)新，包括數(shù)學探究、數(shù)學創(chuàng)新、數(shù)學實驗等問題情境. 與之相應的情境化試題主要在綜合性和應用性的層次上考查學生對已有知識與方法的遷移和運用水平，也可以在創(chuàng)新性的層次上考查學生數(shù)學學習與研究的潛在能力，為甄選提供手段.

例7 （江蘇·揚州卷）如圖12，在[△ABC]中，[∠BAC=][90°，∠C=60°]，點[D]在[BC]邊上由點[C]向點[B]運動（不與點[B，C]重合），過點[D]作[DE⊥AD]，交射線[AB]于點[E].

目標解析：該題主要考查直角三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、垂線段的性質(zhì)等基礎知識，考查學生的幾何直觀、空間觀念、推理能力和運算能力.

解法分析：第（1）小題第①問，算出[△ABD]各內(nèi)角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形，即可推出；第②問，算出[△ADE]各內(nèi)角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)其是含30°角的直角三角形，即可推出. 第（2）小題第①問，通過相似三角形的性質(zhì)和利用含30°角的直角三角形的三邊關系，構造方程求解即可；第②問，利用相似三角形和完全平方公式構造不等關系，求出AE的取值范圍即可.

試題評析：該題涉及特殊三角形的基本性質(zhì)、基本相似形的構造、動點軌跡研究、動態(tài)問題的解法、動手操作等，問題由易到難，要求逐步提升，解題需要學生全方位調(diào)動幾何學習經(jīng)驗. 試題注重對典型圖形和重要方法的考查，圖形簡潔，思維量較大，充分體現(xiàn)了通過構造基本圖形實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的考查特點.

類題賞析：依托基本圖形，將問題條件動態(tài)變化，探尋幾何要素之間的關系，挖掘變化中的不變性，研究基本圖形的基本性質(zhì)，是“圖形的變化”主題的重要內(nèi)容，也是研究幾何圖形的重要方法之一. 在探尋圖形的位置和數(shù)量關系的過程中，通過圖形特殊化或一般化設計問題情境，并將幾何直觀與代數(shù)推理有機融合，既是命制這部分試題的常用方法，也是實現(xiàn)圖形與幾何內(nèi)容育人價值的有效途徑. 類似的試題還有2022年湖南衡陽卷第26題、2022年山西卷第22題、2021年浙江金華卷第15題、2021年湖北武漢卷第23題、2020年湖北咸寧卷第23題和2020年湖北隨州卷第21題等. 這類試題立足于動態(tài)與靜態(tài)結合、幾何與代數(shù)交會、直觀與推理融合，通過創(chuàng)新問題情境，給學生充分的思考空間，讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流和反思等思維活動過程，感悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗，發(fā)展創(chuàng)新意識.

三、復習備考建議

結合2022年中考數(shù)學試題的“四能”導向，“重基礎、重思維、重反思、重銜接”應成為今后中考數(shù)學復習備考的指導思想. 同時，在復習備考過程中應注意落實好如下四種做法.

1. 吃透教材內(nèi)容，夯實學科基礎

在“雙減”政策背景下，中考數(shù)學試題落實依標命題，在范圍和標高上以《標準》為準繩，在素材與體系上以教材為依托，多數(shù)試題取材于教材中的原材料，并通過類比、延伸或拓展等加工改造而成. 也就是說，教材中的例題和習題為編擬中考數(shù)學試題提供了豐富的素材. 因此，在復習備考中，一定要立足教材，回到基礎之中，要樹立整體數(shù)學觀和教材觀，加強知識間的縱橫聯(lián)系和運用，厘清知識脈絡，建立初中數(shù)學的完整結構體系，真正做到融會貫通，進而突出重點、突破難點. 立足回歸刷教材：一方面，可以對知識進行梳理，確保基本概念和公式等的牢固掌握；另一方面，可以從教材中尋找往年中考試題的“影子”. 對于典型的例題和習題，要舉一反三、融會貫通，通過變條件、變結論、變圖形、變式子和變表達方式等不同形式，達到夯實基礎知識和掌握基本方法的目的，鉆研教材有助于選“好題”、研“好題”、做“好題”，活用“一題多解，一題多變”，熟能生巧.

2. 突出思想方法，提升思維品質(zhì)

數(shù)學思想方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中. 中考數(shù)學試題特別重視對數(shù)學思想方法的考查，初中階段常用的數(shù)學思想主要有數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等；常用的基本方法主要有配方法、換元法、待定系數(shù)法、面積法和幾何變換法等. 在中考數(shù)學復習中，教師應有意識、有目的、適時地注意數(shù)學思想方法的滲透，引導學生有效利用數(shù)學思想方法解決有關問題. 在知識復習環(huán)節(jié)，辨析概念法則，弄懂原理方法，掌握知識的形成過程，真正明晰數(shù)學知識的本質(zhì)，做到“概念清、原理透”；在問題解決中，不斷熟悉思想和方法，理順思路和表達，逐步做到“方法熟、思想通”. 復習中，不要過多地糾纏于特殊技巧或特定題型，要把精力放在通性通法上. 同時，要注意應變能力的提升，避免思維定式，即在原理吃透的基礎上嘗試不同的方法，逐步豐富學生的解題經(jīng)驗，形成方法體系，確定適合的復習方法，使知識盡快系統(tǒng)化與結構化，以此提升學生的數(shù)學思維水平，以及分析問題與解決問題的能力.

3. 注重歸納反思，加強錯題管理

注重歸納反思各專題內(nèi)容的基本問題，是做好復習的前提. 復習時學會把同一內(nèi)容的試題進行歸納分類，就會發(fā)現(xiàn)其中有些內(nèi)容的考查方式經(jīng)常出現(xiàn)，對圍繞這些內(nèi)容的常見考查形式加以重點關注，就能提高復習的有效性. 加強錯題管理，分門別類、整理錯題、分析錯因、糾正錯誤、有效利用，是做好復習的關鍵. 錯題通常分為三類：一是會做但做錯的，原因可能是審題不清、誤寫和表述不規(guī)范等；二是來不及做出來的，原因包含題量過大或者解題效率較低；三是能力不夠，確實不會做的. 針對不同錯因采取有效措施，爭取在考試中盡量做對，這正是復習的最終目的. 錯題管理重在日積月累，落實到位，養(yǎng)成習慣.

4. 強化真題訓練，重視教考銜接

《標準》對中考命題明確提出了具體要求，強調(diào)要根據(jù)學科特點合理設置試題結構，減少記憶性試題，增加探究性、開放性、綜合性試題，杜絕偏題、怪題，有效考查學生的綜合素養(yǎng). 基于此，中考復習全過程都要注重中考試題訓練，加深對命題要求的理解，提升復習的針對性和有效性. 中考數(shù)學試題既有創(chuàng)新性，又有連續(xù)性，每一道試題都經(jīng)過命題者的千錘百煉，具有重要的指導意義、研究價值和備考功能. 研究中考試題有助于明確中考的命題方向，抓住中考的重點，找到解題方法和解題規(guī)律，避免盲目備考.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］胡向東. 高考《考試說明》題例擴展與精析（理科）［M］. 北京：高等教育出版社，2022.

［3］向立政，周遠方，張云輝. 深度考查關鍵能力? 充分發(fā)揮育人功能：2022年高考數(shù)學試題命題特點及復習教學建議［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2022（9）：3-13.

作者簡介：周遠方（1962— ），男，正高級教師，湖北省特級教師，主要從事中學數(shù)學教材、教學和評價研究；

陳朝建（1970— ），男，中學高級教師，主要從事初中數(shù)學教育教學研究；

胡紅芳（1968— ），男，正高級教學，湖北省特級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究.