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    探究與應用·過程與綜合·整合與素養(yǎng)

    2023-03-01 22:56:10薛三虎薛紅霞
    中國數(shù)學教育(初中版) 2023年2期
    關鍵詞:試題特點中考試題綜合與實踐

    薛三虎 薛紅霞

    摘? 要:綜合與實踐是一類以問題為載體,以學生自主參與為主的學習活動. 通過梳理2022年全國各地區(qū)中考試題中涉及或者類似于考查“綜合與實踐”內(nèi)容的代表性試題,分析此類試題的特點,并賞析優(yōu)秀試題,給出復習建議和典型模擬題.

    關鍵詞:綜合與實踐;中考試題;試題特點;試題賞析;復習建議

    2001年至今,“綜合與實踐”領域一直是初中數(shù)學教學的主要內(nèi)容,全國各地區(qū)中考命題者都在積極探索、創(chuàng)新,力求從問題情境、設問方式、考查內(nèi)容等方面體現(xiàn)出此類試題的綜合性和實踐性等特點,以考查學生的必備知識、關鍵能力和學科素養(yǎng). 本文將從全國各地區(qū)中考試卷中選擇部分試題進行解題分析.

    一、試題特點分析

    1. 設置多樣化現(xiàn)實生活情境,突出試題的現(xiàn)實性

    例1 (山西卷)首屆全民閱讀大會(如圖1)于2022年4月23日在北京開幕,大會主題是“閱讀新時代·奮進新征程”. 某?!熬C合與實踐”小組為了解全校3 600名學生的讀書情況,隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查,形成了如表1所示的調(diào)查報告(不完整).

    試根據(jù)以上調(diào)查報告,解答下列問題:

    (1)求參與本次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)及這些學生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù);

    (2)估計該校3 600名學生中,平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù);

    (3)該小組要根據(jù)以上調(diào)查報告在全班進行交流,假如你是小組成員,試結合以上兩項調(diào)查數(shù)據(jù)分別寫出一條你獲取的信息.

    目標解析:此題涉及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識,考查學生從統(tǒng)計圖中獲取信息的能力、應用意識和數(shù)據(jù)觀念.

    解法分析:(1)從問卷第一項調(diào)查結果繪制的兩個統(tǒng)計圖中,獲得所調(diào)查的學生中選擇選項A,B,C,D的人數(shù)和各自占調(diào)查人數(shù)百分比等信息,由此求出本次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為300人.(2)由問卷第二項調(diào)查結果繪出的統(tǒng)計圖,計算出“從圖書館借閱”人數(shù). 由選擇選項A人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比,估計全校學生平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù).(3)結合調(diào)查報告所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù),可以從不同角度得到不同的結論,或者說得到不同的統(tǒng)計推斷. 一般地,在統(tǒng)計與概率中,凡是基于數(shù)據(jù)做出的統(tǒng)計推斷只有合理與不合理之分.

    解:(1)由表1中的數(shù)據(jù),可得在被調(diào)查的學生中選擇選項D的人數(shù)為33,占比為11%.

    [33÷11%=300](人)[,300×62%=186](人).

    答:參與本次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為300人,這些學生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)為186人;

    (2)由表1中的數(shù)據(jù),可得在被調(diào)查的學生中平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的占32%.

    [3 600×32%=1 152](人).

    答:估計該校3 600名學生中,平均每周閱讀課外書時間在“8小時及以上”的人數(shù)有1 152人;

    (3)答案不唯一. 給出參考答案如下.

    第一項:① 平均每周閱讀課外書的時間在“4 ~ 6小時”的人數(shù)最多;② 平均每周閱讀課外書的時間在“0 ~ 4小時”的人數(shù)最少;③ 平均每周閱讀課外書的時間在“8小時及以上”的學生人數(shù)占抽樣調(diào)查總人數(shù)的32%;

    第二項:① 閱讀的課外書的主要來源中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)最多;② 閱讀的課外書的主要來源中選擇“向他人借閱”的人數(shù)最少.

    試題分析:在關于“閱讀新時代·奮進新征程”的一次綜合與實踐活動中,學生依據(jù)調(diào)查目的設計調(diào)查問卷,基于調(diào)查的結果,經(jīng)歷了數(shù)據(jù)收集、整理與描述、統(tǒng)計推斷等完整的統(tǒng)計活動過程,考查了統(tǒng)計的本質(zhì)——數(shù)據(jù)觀念. 試題情境是一個項目式學習活動,學生在解決問題的過程中,加深了對相關統(tǒng)計圖、統(tǒng)計思想方法和統(tǒng)計意義的理解,這種完整呈現(xiàn)統(tǒng)計全過程的情境,在各版本教材中都經(jīng)常采用,有利于引導教學重視學科實踐.

    類題賞析:對于統(tǒng)計量與統(tǒng)計圖的理解,不能停留在對已知數(shù)據(jù)的統(tǒng)計計算,要重視統(tǒng)計思想方法的應用,重視引導學生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程. 2022年全國各地區(qū)中考試卷中的類似試題還有吉林卷第22題,河南卷第17題和浙江舟山卷第22題等.

    2. 設置多樣化現(xiàn)實生活情境,突出試題的綜合性

    例2 (湖北·武漢卷)如圖2,在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動,黑球在A處開始減速,此時白球在黑球前面70 cm處.

    小聰測量黑球減速后的運動速度v(單位:cm / s)、運動距離y(單位:cm)隨運動時間t(單位:s)變化的數(shù)據(jù),整理得表2.

    小聰探究發(fā)現(xiàn),黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系,運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關系.

    (1)直接寫出v關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍);

    (2)當黑球減速后運動距離為64 cm時,求它此時的運動速度;

    (3)若白球一直以2 cm / s的速度勻速運動,問黑球在運動過程中會不會碰到白球?試說明理由.

    目標解析:此題是將物理問題(同向運動的兩個小球)抽象成為數(shù)學問題,研究小球運動過程中的運動時間、速度、距離之間的變量關系和規(guī)律,考查函數(shù)知識和圖象的性質(zhì),以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的基本技能,考查學生的抽象能力、模型觀念和應用意識.

    解法分析:基于小聰?shù)膶嶒灁?shù)據(jù)和探究發(fā)現(xiàn),解決第(1)小題用求函數(shù)表達式的一般方法——待定系數(shù)法,選取運動速度v與運動時間t的兩組對應值,得到v與t之間的函數(shù)解析式為[v=-12t+10;] 在確定運動距離y與運動時間t之間的函數(shù)解析式時,根據(jù)[t=0]時[y=0,] 判斷二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,可設y = at2 + bt,從而得到函數(shù)解析式為[y=-14t2+10t.]

    由第(1)小題的結果,運用解方程的相關技能即可解決第(2)小題.

    將第(3)小題中“黑球在運動過程中會不會碰到白球”的問題,轉(zhuǎn)化成黑白兩球的距離是否可能為0的數(shù)學問題,也就是判斷函數(shù)[w=70+2t-y=14t2-8t+70]的圖象與x軸是否有交點,結論是“黑球不會碰到白球”.

    試題分析:此題是一個運動過程比較簡單的物理問題,具有跨學科的特點. 雖然在解決問題的過程中并沒有涉及相關的物理知識,但在一定程度了體現(xiàn)了數(shù)學應用的廣泛性. 事實上,從表2提供的運動速度v與運動時間t的對應值,可以初步判斷運動速度v與運動時間t之間具有一次函數(shù)關系,所以未必需要用“小聰探究發(fā)現(xiàn),黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關系”的方式給出,而省去讓學生將實際問題數(shù)學化的思維過程. 當然“運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關系”不太容易被發(fā)現(xiàn),可能是為了降低問題難度而采用“小聰探究發(fā)現(xiàn)”的方式呈現(xiàn). 在確定運動距離y與運動時間t之間的解析式時,學生如果沒有發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象經(jīng)過原點這一特征,列出三元一次方程組,可能會增加解決問題的復雜程度.

    類題賞析:根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《標準》)對綜合與實踐內(nèi)容的學業(yè)要求,本部分試題的設置突出跨學科的特點. 因此,在2022年還有部分地區(qū)的相關中考試題也在積極嘗試命制簡單的跨學科問題情境,關注數(shù)學與其他學科,以及與日常生活實際的緊密聯(lián)系. 例如,湖北恩施州卷第10題、山東臨沂卷第20題、浙江舟山卷第15題、江西卷第6題、浙江紹興卷第20題、貴州遵義卷第15題等.

    3. 拓展延伸教材例題和習題,突出試題的過程性

    例3 (江西卷)綜合與實踐

    問題提出:

    某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題:將足夠大的直角三角板PEF(∠P = 90°,∠F = 60°)的一個頂點放在正方形中心O處,并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況(已知正方形邊長為2).

    操作發(fā)現(xiàn):

    (1)如圖3(a),若將三角板的頂點P放在點O處,在旋轉(zhuǎn)過程中,當OF與OB重合時,重疊部分的面積為? ? ? ;當OF與BC垂直時,重疊部分的面積為? ? ? ;一般地,若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,重疊部分的面積[S1]與S的關系為? ? ? .

    類比探究:

    (2)若將三角板的頂點F放在點O處,在旋轉(zhuǎn)過程中,OE,OP分別與正方形的邊相交于點M,N.

    ① 如圖3(b),當BM = CN時,試判斷重疊部分△OMN的形狀,并說明理由;

    ② 如圖3(c),當CM = CN時,求重疊部分四邊形OMCN的面積(結果保留根號).

    拓展應用:

    (3)若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處,該銳角記為∠GOH(設[∠GOH=α]),將∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為[S2,] 試直接寫出[S2]的最小值與最大值(分別用含[α]的式子表示).(參考數(shù)據(jù):[sin15°=6-24,cos15°=6+24,tan15°=][2-3.])

    目標解析:此題主要涉及正方形、直角三角形、全等三角形、圖形的變化等基礎知識. 學生對正方形和直角三角形這兩個圖形應該非常熟悉. 正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,具有特殊的對稱性. 此題基于圖形的運動變化,考查學生的邏輯推理(利用合情推理發(fā)現(xiàn)結論,利用演繹推理證明結論)、直觀想象素養(yǎng),以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的能力.

    解法分析:(1)當OF與OB重合時,OE恰好經(jīng)過點C,重疊部分的面積為正方形的面積的[14,] 即1;當OF與BC垂直時,OE與DC垂直,重疊部分的面積為正方形面積的[14,] 即1. 由此猜想S1 =[14S.] 利用全等三角形可以證明.

    (2)① 從圖形的直觀性或?qū)ΨQ性猜想△OMN是等邊三角形,可先證△OMN是等腰三角形,再由∠MON = 60°說明它是等邊三角形;② 容易發(fā)現(xiàn)圖3(c)與圖3(a)的不同點,即圖3(a)是三角板PEF的直角頂點繞正方形的中心旋轉(zhuǎn),圖3(c)是三角板PEF中60°角的頂點繞正方形的中心旋轉(zhuǎn),因此四邊形OMCN的面積不可能是正方形面積的[14,] 需要將圖形進行分割再計算它的面積.

    (3)觀察圖3(b)和圖3(c)發(fā)現(xiàn),在銳角∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中,圖3(b)中重疊部分的面積小于圖3(c)中重疊部分的面積(面積分別為[33]和[3-1]),獲得猜想并畫出圖形. 當BM = CN時重疊部分的面積最小,當CM = CN時重疊部分的面積最大,并分別計算其值.

    解:(1)1,1,[S1=14S.]

    (2)① △OMN是等邊三角形,理由如下.

    如圖4,分別連接OB,OC.

    因為[BM=CN,∠OBC=∠OCB=45°,OB=OC,]

    所以△OBM ≌ △OCN.

    所以OM = ON.

    由∠MON = 60°,知△OMN是等邊三角形.

    ② 如圖5,連接OC,

    因為MC = CN,∠OCM = ∠OCN = 45°,OC = OC,

    所以△OMC ≌ △ONC.

    由四邊形內(nèi)角和為360°,通過計算,可得

    ∠OMB = ∠OND = 75°.

    過點O作OQ⊥BC于點Q,作OR⊥CD于點R,

    則[S△OQM=12OQ · MQ=2-32,S△ORN=2-32.]

    所以S四邊形OMCN = S正方形OQCR - S△OQM - S△ORN = [1-2-32-][2-32=3-1.]

    (3)S2的最小值為[tan α2,] 最大值為[1-tan45°-α2.]

    試題分析:此題源自北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》九年級下冊第一章習題1.8第4題,將教材中旋轉(zhuǎn)的圖形由正方形拓展為直角三角形,設置了層層遞進的問題串,引導學生對問題進行深入探究. 這提醒學生在學習過程中要重視對教材內(nèi)容的深度思考,基于習題嘗試提出發(fā)展性問題,不能只是完成作業(yè),而是要“做作業(yè)”. 此題采用“問題提出—操作發(fā)現(xiàn)—類比探究—拓展應用”的呈現(xiàn)方式,讓學生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程,即“像數(shù)學家一樣思考”的過程.

    類題賞析:在實踐中學習,在學習中實踐,這體現(xiàn)了《標準》的要求. 2022年還有部分地區(qū)的中考試題選用了教材習題(問題)為命題素材. 例如,四川樂山卷第25題以華東師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第121頁習題19.3第2題及參考答案為試題素材;河南卷第23題對人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第18章“數(shù)學活動”的活動1“折紙做60°,30°,15°的角”進行了延伸性探究和拓展應用.

    二、優(yōu)秀試題分析

    以往中考在考查綜合與實踐領域的內(nèi)容時,大多是將它融入數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率內(nèi)容的考查之中,很少單獨設置試題進行考查,試題的問題情境、設問方式等相對單調(diào)和簡單. 隨著課程改革的深入推進,《標準》中對本領域內(nèi)容的教學和學業(yè)質(zhì)量有了更加明確而具體的要求,中考正在逐漸加強對綜合與實踐領域內(nèi)容的考查,以此引導教師在數(shù)學教學中重視發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng),即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

    例4 (江蘇·常州卷)在四邊形ABCD中,O是邊BC上的一點. 若△OAB ≌ △OCD,則點O叫做該四邊形的“等形點”.

    (1)正方形 ? ? ? “等形點”(填“存在”或“不存在”);

    (2)如圖6,在四邊形ABCD中,邊BC上的點O是四邊形ABCD的“等形點”. 已知[CD=42,OA=5,][BC=12,] 連接AC,求AC的長;

    (3)在四邊形EFGH中,EH∥FG. 若邊FG上的點O是四邊形EFGH的“等形點”,求[OFOG]的值.

    解析:此題定義了四邊形的“等形點”,這個概念有兩個本質(zhì)特征:一是它在四邊形ABCD的邊BC上;二是滿足△OAB ≌ △OCD. 我們在學習三角形全等時有個不成文的約定,如果給出△OAB ≌ △OCD,就確定了這兩個三角形邊角之間的對應關系,也就是說這兩個三角形頂點的順序是確定的. 只有對這個概念有深刻的理解,才能解決接下來的問題. 此題設置的三個問題(任務)都是圍繞這個新概念提出的,這三個問題層層深入,思維難度不斷提高,有效考查了學生的邏輯推理,以及進一步學習數(shù)學的能力和知識的近遷移能力.

    第(1)小題中,畫正方形ABCD,經(jīng)過反復嘗試發(fā)現(xiàn),無論點O在邊BC上的任何位置,連接OA,OD后,△OAB和△OCD都不全等,所以在正方形中不存在“等形點”,這是經(jīng)過動手操作后合情推理獲得的結論.

    第(2)小題中,過點A作AM⊥BC于點M,將AC置于Rt△AMC中,根據(jù)已知條件分別求出AM和MC的長,依據(jù)勾股定理就能求出AC的長.

    第(3)小題中,需要學生自己畫出滿足條件EH∥FG的一個四邊形EFGH,由“等形點”的定義可證得[OF=OG,] 即[OFOG=1.]

    例5 (內(nèi)蒙古·赤峰卷)同學們還記得嗎?圖7(a)、圖7(b)是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形. 受這兩個圖形的啟發(fā),數(shù)學興趣小組提出了以下三個問題,試回答:

    (1)【問題一】如圖7(a),正方形[ABCD]的對角線相交于點[O,] 點[O]又是正方形[A1B1C1O]的一個頂點,[OA1]交[AB]于點[E,OC1]交[BC]于點[F,] 則[AE]與[BF]的數(shù)量關系為? ? ? ? ?;

    (2)【問題二】受圖7(a)啟發(fā),興趣小組畫出了圖8:直線[m,n]經(jīng)過正方形[ABCD]的對稱中心[O,]直線[m]分別與[AD,BC]交于點[E,F(xiàn),] 直線[n]分別與[AB,CD]交于點[G,H,] 且[m⊥n]. 若正方形[ABCD]邊長為8,求四邊形[OEAG]的面積;

    (3)【問題三】受圖7(b)啟發(fā),興趣小組畫出了圖9:正方形[CEFG]的頂點[G]在正方形[ABCD]的邊[CD]上,頂點[E]在[BC]的延長線上,且[BC=6,CE=2.] 在直線[BE]上是否存在點[P,] 使[△APF]為直角三角形?若存在,求出[BP]的長度;若不存在,說明理由.

    解析:對于問題一,可以直觀猜想(合情推理),也可以通過證明△OAE ≌ △OBF,得出結論AE = BF. 但是通過合情推理獲得的結論不一定可靠. 因此,一般來說,在數(shù)學研究中經(jīng)常采用的方法是合情推理獲得數(shù)學猜想,演繹推理證明猜想. 事實上,證明出AE = BF對于問題二的解決積累了思維經(jīng)驗. 問題三的分析與解答同樣采用猜想加證明的策略,設BP=x,將△APF的三邊分別用含x的代數(shù)式表示,建立并求解關于x的方程后解決問題.

    圖8和圖7(a)看似沒有關系,但若分別延長圖7(a)中的A1O,C1O,那么圖8、圖9幾乎就是圖7(b),沒有改變所研究問題的幾何特征.

    此題是在學生完成教材中的“實驗與探究”內(nèi)容后對問題的進一步思考與反思,有獨立思考、有合作交流,用三個問題展示了這次學習的成果,讓學生經(jīng)歷了項目化學習的大致過程. 因此,在中考復習期間也不應該丟棄教材,要注重基礎、重視教材,對教材中的例題和習題進行深入思考也是從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的一種途徑.

    三、復習備考建議

    復習是對已有知識的再學習,對已學知識進行整合與重組的過程,目的是達到知識結構化、能力化和系統(tǒng)化,加強知識的整體性和知識之間的聯(lián)系,提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力. 解決綜合性、實踐性問題,能夠幫助我們深刻理解數(shù)學概念、定理和思想方法.

    1. 注重解決現(xiàn)實問題

    在解決問題的過程中,發(fā)展學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的素養(yǎng),引導學生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程,體會數(shù)學與其他學科的聯(lián)系,體驗數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,提高對數(shù)學整體性的認識,在此過程中感受數(shù)學應用的廣泛性,提高實踐能力和創(chuàng)新意識.

    2. 重視教材問題再學習

    各版本教材中提供了許多綜合與實踐的學習內(nèi)容,復習時要對其進行系統(tǒng)梳理,讓學生再次經(jīng)歷綜合與實踐活動的全過程,同時對教材中的習題或者已經(jīng)解決了的習題進行反思性研究,嘗試自主發(fā)現(xiàn)和提出有價值的數(shù)學問題,或獨立思考,或與同學合作解決.

    3. 注重解題后的反思

    通過解決操作類、探究型綜合問題,體會觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等探究過程,積累研究問題的經(jīng)驗和方法,發(fā)展思維能力,加深對相關數(shù)學知識的理解.

    4. 注重學科實踐,開展項目學習活動

    《標準》指出,初中階段綜合與實踐領域,可以采用項目式學習的方式,以問題解決為導向,整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法……在學段目標、教學提示、教學建議等中有30多處與項目式學習相關的論述. 由此可見,項目式學習將是新時代義務教育數(shù)學教學的一種重要方式,它將通過改變教學方式,達成數(shù)學學科的育人功能,發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

    四、典型模擬題

    1. 某養(yǎng)殖場需要定期購買飼料,已知該養(yǎng)殖場每天需要200千克飼料,飼料的價格為1.8元 / 千克. 飼料的保管費與其他費用平均每天為0.05元 / 千克,購買飼料每次的運費為180元.

    任務1:該養(yǎng)殖場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少;

    小明的分析如下:如果2天購買一次,則飼料保管費與其他費用需支付200 × 0.05 = 10(元);如果3天購買一次,則飼料保管費與其他費用需支付200 × 2 × 0.05 + 200 × 0.05 = 30(元);如果4天購買一次,則飼料保管費與其他費用需支付200 × 3 × 0.05 + 200 × 2 × 0.05 + 200 × 0.05 = 60(元). 他發(fā)現(xiàn)這不是一個好方法,而自己熟悉的數(shù)學模型不能解決這個問題,于是想到了用函數(shù)圖象的方法. 設x天購買一次飼料,平均每天支付的總費用為y元. 下面是他解決這個問題的過程,試解答:

    (1)通過計算得到x與y的部分對應值如表3所示,試補全表格;

    (2)在如圖10所示的在平面直角坐標系中,描出(1)中所對應的點;

    (3)結合圖象:養(yǎng)殖場 ? ?天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少.

    任務2:提供飼料的公司規(guī)定,當一次購買飼料不少于2 000千克時,價格可享受九折優(yōu)惠. 在該養(yǎng)殖場購買飼料時是否需要考慮這一優(yōu)惠條件,說明理由.

    答案:任務1:(1)如表4所示.

    (2)如圖11所示.

    (3)6.

    任務2:答案不唯一,只要分析說明合理即可.

    2. 問題情境:數(shù)學小組在一次課外學習的交流展示時,組內(nèi)一同學提出如下問題:在△ABC中,∠ACB = 90°,D為邊BC上一點,但不與點B,C重合,過點D作DE⊥AB于點E. 連接AD,設M為AD的中點,連接EM,CM.

    (1)直觀猜想:圖12(a)中,EM與CM之間的數(shù)量關系是? ? ? ? ? ? ?;

    (2)交流分享:如圖12(b),小明將△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn),而其他條件保持不變,則上述猜想仍然成立. 他是這樣思考的:延長DE到點D′,使得D′E = DE,連接AD′,根據(jù)三角形中位線定理,…… 試按照他的思路或采用其他方法完成證明;

    (3)深入探究:另一名學生想到,若∠ABC = 30°,AC = 4,DE = 2,在△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,當直線DE經(jīng)過點A時,能求出線段AD的長. AD的長等于? ? ? ? ?.

    答案:(1)EM = CM;

    (2)略;

    (3)[213-2]或[213+2.]

    3. 善于發(fā)現(xiàn)和提出問題的同學們,閱讀了教材中“一元二次方程的發(fā)展小記”后組織了一次交流分享活動. 他們發(fā)現(xiàn)用圖解法可以求某些特殊的一元二次方程的正實數(shù)根. 小明同學展示了他用圖解法求解一元二次方程x2 + x - 1 = 0的一個正根的過程:

    如圖13(a)是一張邊長為1的正方形紙片ABCD,通過折疊確定BC的中點E,折出線段AE,再次折疊使EB落在線段EA上,得到點B的新位置B′,因而EB′ = EB. 類似地,在AB上折出點B″,使AB″ = AB′. 他的結論是:線段AB″的長度可以用來表示一元二次方程x2 + x - 1 = 0的一個正根. 試運用所學解答下問題.

    (1)證明小明同學解法的正確性;

    (2)說出用圖解法求一元二次方程根時中存在的問題? ? ? ? ? ?(寫出一個合理即可);

    (3)受小明同學的啟發(fā),小李同學經(jīng)過自主探究給出了另一種解法. 如圖13(b),他將一張邊長為1的正方形的紙片ABCD,通過折疊確定了AD,BC的中點G,H,折出線段AN,再沿線段AN折疊使AD落在線段AH上,得到點D的新位置P,因而AD = AP. 他的結論是:x2 + x - 1 = 0的一個正根等于線段? ? ? ?的長.

    答案:(1)略.

    (2)答案不唯一. 示例1:只能求解正根,不能求解負根;示例2:這種方法比較復雜.

    (3)DN.

    參考文獻:

    [1]中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學出版社,2012.

    [2]中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學出版社,2022.

    [3]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》解讀[M]. 北京:北京師范大學出版社,2012.

    [4]賈鳳梅,薛紅霞,常青. 開展數(shù)學項目學習,身臨其境理解銷售問題[J]. 中國數(shù)學教育(初中版),2018(11):3-6.

    [5]薛紅霞,賈鳳梅. 數(shù)學項目學習:測量高度[J]. 基礎教育課程(下),2020(4):47-54.

    作者簡介:薛三虎(1964— ),男,中小學高級教師,主要從事初中數(shù)學教學研究;

    薛紅霞(1970— ),女,中學高級教師,山西省特級教師,主要從事中學數(shù)學教育和課堂教學改革研究.

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