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    按圖索驥 探變求本

    2023-03-01 19:01:43陳耀忠孫陳威

    陳耀忠 孫陳威

    摘? 要:“圖形的變化”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容,是在研究幾何圖形的本質(zhì)屬性之后對(duì)圖形變化規(guī)律的進(jìn)一步探索和研究. 文章通過對(duì)2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中“圖形的變化”典型試題,從學(xué)業(yè)要求、解法分析、試題分析和類題評(píng)析四個(gè)維度進(jìn)行闡述、解析、評(píng)價(jià),充分展示了探尋基本圖形和圖形在運(yùn)動(dòng)變化中不變量的一般過程. 分析發(fā)現(xiàn),在“圖形的變化”問題解決中,只有重視教材、回歸教材、夯實(shí)基礎(chǔ)、提升能力,才能以不變應(yīng)萬變.

    關(guān)鍵詞:圖形的變化;典型試題;解法分析

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)對(duì)“圖形的變化”內(nèi)容明確了學(xué)業(yè)要求,對(duì)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界具有重要意義.

    如何達(dá)到《標(biāo)準(zhǔn)》明確的學(xué)業(yè)要求?如何求解“圖形的變化”試題?本文立足解題評(píng)價(jià)視角,從考點(diǎn)概述、典題分析、備考建議三個(gè)方面對(duì)選取的“圖形的變化”典型試題進(jìn)行剖析總結(jié),以期對(duì)中考復(fù)習(xí)備考提供參考.

    一、考點(diǎn)概述

    1. 學(xué)業(yè)要求

    “圖形的變化”內(nèi)容隸屬于初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域,其內(nèi)容主要包括圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似、投影、銳角三角函數(shù).《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求如圖1所示.

    2. 考查特點(diǎn)

    從2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷對(duì)“圖形的變化”專題內(nèi)容的考查情況來看,該部分內(nèi)容考查的題型涉及填空題、選擇題、解答題、操作題等,且各地區(qū)中考對(duì)“圖形的變化”內(nèi)容的考查都很重視. 研究發(fā)現(xiàn),2022年全國各地區(qū)中考“圖形的變化”試題考查具有以下特點(diǎn):(1)立足教材,關(guān)注對(duì)基本概念的理解和運(yùn)用;(2)盡可能設(shè)置生活化的實(shí)際背景,考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,以及在解決實(shí)際問題的過程中學(xué)生所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思維方式;(3)重視對(duì)幾何直觀、空間觀念、邏輯推理等素養(yǎng)的落實(shí)情況進(jìn)行考查.

    二、優(yōu)秀試題分析

    2022年全國各地區(qū)中考對(duì)“圖形的變化”試題的命制整體上呈起點(diǎn)低、坡度緩、立意高的特點(diǎn),符合《標(biāo)準(zhǔn)》要求,既立足對(duì)圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似、投影等基礎(chǔ)內(nèi)容的考查,又關(guān)注學(xué)生的未來發(fā)展,考查學(xué)生對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)的不同認(rèn)知水平,多角度、多維度考查學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力等素養(yǎng). 下面從學(xué)業(yè)要求、解法分析、試題分析和類題評(píng)析四個(gè)維度對(duì)2022年中考“圖形的變化”試題進(jìn)行解題分析.

    1. 依標(biāo)扣本,考查基礎(chǔ),強(qiáng)化空間觀念

    課程標(biāo)準(zhǔn)是中考數(shù)學(xué)試題命制的依據(jù),教材是中考數(shù)學(xué)試題命制的藍(lán)本. 立足“三會(huì)”、依標(biāo)扣本是2022年中考“圖形的變化”試題命制方面的典型特征.

    例1 (甘肅·蘭州卷)下列分別是2022年北京冬奧會(huì)、1998年長野冬奧會(huì)、1992年阿爾貝維爾冬奧會(huì)、1984年薩拉熱窩冬奧會(huì)會(huì)徽上的圖案,其中是軸對(duì)稱圖形的是(? ? ).

    學(xué)業(yè)要求:理解幾何圖形的對(duì)稱性,感悟現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱美.

    解法分析:此題選取四屆冬奧會(huì)會(huì)徽上的圖案為素材,要求判斷其是否為軸對(duì)稱圖形,解題的關(guān)鍵是辨別哪個(gè)圖形沿某一條直線對(duì)折后,直線兩旁的部分能夠完全重合. 此題答案選D.

    試題分析:此題既考查學(xué)生對(duì)基本概念的把握情況、對(duì)軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí),又考查學(xué)生在具體情境中應(yīng)用軸對(duì)稱圖形概念的能力.

    類題賞析:2022年全國各地區(qū)中考試卷中此類試題的命制大致選擇圖案設(shè)計(jì)、文字?jǐn)?shù)字、剪紙藝術(shù)、幾何圖形四類. 其中,山東泰安卷第3題、江蘇連云港卷第2題、四川內(nèi)江卷第4題、貴州畢節(jié)卷第2題、黑龍江齊齊哈爾卷第2題、黑龍江大慶卷第4題等以圖案設(shè)計(jì)類為考查對(duì)象;天津卷第4題、湖北武漢卷第3題、四川樂山卷第2題以漢字為考查對(duì)象;四川眉山卷第3題以英文字母為考查對(duì)象;湖北宜昌卷第2題以數(shù)字為考查對(duì)象;山東臨沂卷第2題、湖南永州卷第3題以剪紙藝術(shù)為考查對(duì)象;廣西桂林卷第4題、黑龍江哈爾濱卷第3題、四川遂寧卷第2題以幾何圖形為考查對(duì)象.

    例2 (浙江·溫州卷)某物體如圖2所示,它的主視圖是(? ? ).

    學(xué)業(yè)要求:經(jīng)歷從不同角度觀察立體圖形的過程,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

    解法分析:解決此題需要掌握主視圖就是從正面看物體所得到的圖形. 此題答案選D.

    試題分析:此題考查給定幾何體甄別三視圖,重在考查簡單組合體的主視圖.

    類題賞析:2022年中考湖南邵陽卷第4題、湖北武漢卷第5題、浙江臺(tái)州卷第2題、天津卷第5題、浙江嘉興卷第2題、湖南衡陽卷第2題、浙江湖州卷第3題、江西卷第5題、安徽卷第3題均為此類試題或此種考法,而湖北孝感卷第2題、江蘇揚(yáng)州卷第5題考查給定三視圖甄別幾何體. 還有一些地區(qū)的中考試卷中雖然也是給定幾何體,但是問法更加靈活,提出了“主視圖與俯視圖的形狀不一樣的幾何體是什么”“幾何體的三視圖中完全相同的是什么”等問題. 此類問題的難度略高于上述問題,需要學(xué)生牢固掌握幾何體的三種視圖.

    例3 (新疆卷)圖3是某幾何體的展開圖,該幾何體是(? ? ).

    (A)長方體 (B)正方體

    (C)圓錐 (D)圓柱

    學(xué)業(yè)要求:知道簡單立體圖形的側(cè)面展開圖,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

    解法分析:解決此題的關(guān)鍵是“熟練掌握圓錐的側(cè)面展開圖是扇形、底面是圓形”. 此題答案選C.

    試題分析:此題考查依據(jù)給定簡單幾何體的側(cè)面展開圖甄別幾何體,題面簡潔、圖形明了.

    類題賞析:2022年中考四川廣元卷第2題、江蘇宿遷卷第4題、湖南岳陽卷第2題、四川自貢卷第3題均為此類考法. 綜觀2022年全國各地區(qū)中考試卷中“圖形的變化”試題,基本都是結(jié)合圓柱、圓錐、長方體等常見幾何體的側(cè)面展開圖進(jìn)行命題,考查學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)和空間想象能力.

    例4 (安徽卷)如圖4,在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn)).

    (1)將△ABC向上平移6個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位,得到[△A1B1C1],試畫出[△A1B1C1]﹔

    (2)以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°,得到[△A2B2C2],試畫出[△A2B2C2].

    學(xué)業(yè)要求:理解平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),知道平移、旋轉(zhuǎn)的基本特征.

    解法分析:解決此題需要根據(jù)平移的方式確定出點(diǎn)A1,B1,C1的位置,再順次連接,即可得到[△A1B1C1]. 再根據(jù)旋轉(zhuǎn)可確定出點(diǎn)A2,B2,C2的位置,再順次連接,即可得到[△A2B2C2]. 所作[△A1B1C1]和[△A2B2C2]如圖5所示.

    試題分析:此題考查運(yùn)用作圖法分析圖形平移和旋轉(zhuǎn)變化后的性質(zhì)特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷平移和旋轉(zhuǎn)的作圖過程,構(gòu)建平移、旋轉(zhuǎn)知識(shí)經(jīng)驗(yàn),鞏固作圖技能.

    類題賞析:2022年中考浙江溫州卷第18題同樣以作圖形式考查學(xué)生對(duì)圖形的變化規(guī)律的掌握情況;浙江杭州卷第8題則是通過在格點(diǎn)中刻畫旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)來考查相關(guān)知識(shí);湖北武漢卷第21題對(duì)學(xué)生要求較高,需要學(xué)生具備較強(qiáng)的分析問題的能力.

    例5 (浙江·臺(tái)州卷)如圖6,△ABC的邊BC長為4 cm.將△ABC平移2 cm得到[△ABC,] 且[BB]⊥BC,則陰影部分的面積為? ? ? ? .

    學(xué)業(yè)要求:知道平移的有關(guān)性質(zhì).

    解法分析:陰影部分的面積等于四邊形BB′C′C的面積,此題答案為8 cm2.

    試題分析:此題考查平移前后所得圖形的面積,比較簡明.

    類題賞析:“圖形的變化”相關(guān)的度量考查在2022年中考試卷中涉及較少. 浙江嘉興卷第6題以中國古代婦女的發(fā)飾“方勝”為背景考查了平移中的距離計(jì)算,湖北十堰卷第15題則考查了扇形對(duì)稱變化后相關(guān)圖形的面積計(jì)算.

    2. 聯(lián)系實(shí)際,考查應(yīng)用,強(qiáng)化幾何直觀

    “圖形的變化”相關(guān)試題往往和實(shí)際問題相結(jié)合,通過設(shè)置具體的問題情境,彰顯數(shù)形結(jié)合思想. 2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中,很多試題都是借助現(xiàn)實(shí)情境考查學(xué)生對(duì)圖形的變化知識(shí)的掌握情況,只有少數(shù)地區(qū)使用數(shù)學(xué)情境考查該部分知識(shí).

    例6 (浙江·臺(tái)州卷)如圖7是戰(zhàn)機(jī)在空中展示的軸對(duì)稱隊(duì)形. 以飛機(jī)B,C所在直線為x軸、隊(duì)形的對(duì)稱軸為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系. 若飛機(jī)E的坐標(biāo)為[40,a,] 則飛機(jī)D的坐標(biāo)為(? ? ).

    (A)[40,-a] (B)[-40,a]

    (C)[-40,-a] (D)[a,-40]

    學(xué)業(yè)要求:理解幾何圖形的對(duì)稱性,感悟現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)稱美,知道可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)對(duì)稱.

    解法分析:解決此題需要了解關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn):縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)改變符號(hào). 此題答案選B.

    試題分析:此題借助問題情境給定對(duì)稱關(guān)系,考查用坐標(biāo)語言表達(dá)對(duì)稱關(guān)系,設(shè)計(jì)新穎.

    類題賞析:2022年中考新疆卷第3題考查的是關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì):橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)改變符號(hào).

    例7 (湖北·荊州卷)荊州城徽“金鳳騰飛”(如圖8)立于古城東門外. 如圖9,某校學(xué)生測量其高AB(含底座),先在點(diǎn)C處用測角儀測得其頂端A的仰角為32°,再由點(diǎn)C向城徽走6.6 m到點(diǎn)E處,測得頂端A的仰角為45°. 已知B,E,C三點(diǎn)在同一直線上,測角儀離地面的高度CD = EF = 1.5 m,求城徽的高AB.(參考數(shù)據(jù):sin32°≈ 0.530,cos32°≈ 0.848,tan32°≈ 0.625.)

    學(xué)業(yè)要求:能用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.

    解法分析:如圖10,延長DF交AB于點(diǎn)G,則∠AGF = 90°,DF = CE = 6.6 m,CD = EF = BG = 1.5 m. 設(shè)FG = x m,先在Rt△AGF中利用銳角三角函數(shù)的定義表示出AG的長,再在Rt△AGD中,利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

    試題分析:此題立足人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊第81頁活動(dòng)2中的基本圖形(其他版本的教材中也有體現(xiàn)),考查學(xué)生解直角三角形和解決實(shí)際問題的能力. 此題以測量無法直接測量的高度為背景,要求學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決. 常見的借助銳角三角函數(shù)知識(shí)測量物體高度的基本圖形具有的重要特征為有一個(gè)公共元素,如圖11所示.

    類題賞析:2022年中考天津卷第22題、湖南邵陽卷第25題、新疆卷第21題、四川遂寧卷第22題、河南卷第19題、四川眉山卷第22題、四川廣元卷第21題等同樣考查借助銳角三角函數(shù)知識(shí)測量物體高度解決問題;安徽卷第20題、重慶A卷第22題等考查利用上述基本圖形求航行距離.

    3. 按圖索驥,探變求本,強(qiáng)化核心素養(yǎng)

    例8 (四川·遂寧卷)如圖12,正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B,連接EC,GA,交于點(diǎn)O,GA與BC交于點(diǎn)P,連接OD,OB,則下列結(jié)論一定正確的是(? ? ).

    ① EC ⊥ AG ② △OBP ∽ △CAP

    ③ OB平分∠CBG ④ ∠AOD = 45°

    (A)①③ (B)①②③

    (C)②③ (D)①②④

    學(xué)業(yè)要求:理解圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),知道圖形旋轉(zhuǎn)的基本特征,了解圖形相似的意義,會(huì)判斷簡單的相似三角形.

    解法分析:由[BA=BC,BG=BE,∠ABG=90°+∠CBG=][∠CBE,] 易得[△ABG≌△CBE.] 所以[∠BAP=][∠OCP.] 所以[∠POC=∠PBA=90°,] 即①正確. 同時(shí)可得[A,B,C,][O]四點(diǎn)共圓,所以得[△OBP∽△CAP,] 即②正確. 且[∠AOD=∠ACD=45°,] 即④正確. 關(guān)于③,有[∠AOB=][∠ACB=∠BOE=45°,] 即[OB]平分[∠AOE.] 具體解題思維導(dǎo)圖如圖13所示. 此題答案選D.

    試題分析:此題取材于經(jīng)典的雙正方形旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖,通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖,設(shè)計(jì)一系列問題,考查學(xué)生對(duì)基本圖形旋轉(zhuǎn)的識(shí)別能力. 教材通過大量習(xí)題,呈現(xiàn)了兩個(gè)全等三角形或相似三角形通過旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的基本圖,旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),并運(yùn)用這些性質(zhì)分析、解決一些簡單的幾何問題.

    常見的典型基本圖形的旋轉(zhuǎn)如圖14所示. 其中,相等的角常隱含在平行線、對(duì)頂角或某些角的和與差中.

    類題賞析:2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷在選擇題和填空題中對(duì)旋轉(zhuǎn)變換的考查較多,天津卷第11題、湖南常德卷第7題、內(nèi)蒙古包頭卷第11題、四川南充卷第16題、江蘇無錫卷第5題、浙江麗水卷第15題均以三角形旋轉(zhuǎn)為基本對(duì)象,考查探究過程中所產(chǎn)生的圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系等. 解決此類試題需要抽絲剝繭地挖出旋轉(zhuǎn)的基本圖形,然后結(jié)合等腰三角形、直角三角形、全等、相似等知識(shí)求解.

    例9 (重慶B卷)在△ABC中,∠BAC = 90°,[AB=][AC=22,] D為BC的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別為AC,AD上任意一點(diǎn),連接EF,將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG,連接FG,AG.

    (1)如圖15(a),點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,且GF的延長線過點(diǎn)B,若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn),連接PD,求PD的長;

    (2)如圖15(b),EF的延長線交AB于點(diǎn)M,點(diǎn)N在AC上,∠AGN = ∠AEG且GN = MF,求證:AM + [AF=2AE;]

    (3)如圖15(c),F(xiàn)為線段AD上一動(dòng)點(diǎn),E為AC的中點(diǎn),連接BE,H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接EH,將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi),得到△B′EH,連接B′G,直接寫出線段B′G的長度的最小值.

    學(xué)業(yè)要求:理解圖形旋轉(zhuǎn)的基本特征和性質(zhì).

    解法分析:第(1)小題中,因?yàn)榫€段EF(即CF)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EG,產(chǎn)生了等腰直角三角形EFG(即△CFG),點(diǎn)P為FG的中點(diǎn),由等腰三角形“三線合一”性質(zhì),知EP ⊥ FG,所以△BPC是直角三角形,而D為其斜邊的中點(diǎn). 由利用斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得PD = 2.

    第(2)小題中,如圖16,過點(diǎn)E作EH⊥AE交AD的延長線于點(diǎn)H,由已知可得△AEH為等腰三角形. 則容易證明△EFH ≌ △EGA. 所以∠EHF = ∠GAE = 45°. 所以∠GAE = ∠MAF. 由已知可知,∠AEG = ∠AMF = 90° - ∠AEM. 因?yàn)椤螦GN = ∠AEG,所以∠AMF? = ∠AGN . 再結(jié)合GN = MF,可以證明△AMF ≌ △AGN. 所以AM = AG = FH. 所以[AM+AF=FH+AF=AH=2AE.] 結(jié)論得證.

    第(3)小題,由于變化過程中點(diǎn)E的位置是確定的,所以線段BE的長為定值[10.] 所以點(diǎn)B′在以點(diǎn)E為圓心、[10]為半徑的圓上運(yùn)動(dòng). 因?yàn)锽′G + GE ≥ B′E,所以當(dāng)EG最大,且B′,G,E三點(diǎn)共線時(shí),B′G最小. 經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A或D重合時(shí),EG取最大值,且這樣的點(diǎn)存在,進(jìn)而可知線段B′G的最小值為[10-2.]

    試題分析:此題先通過線段的旋轉(zhuǎn)變化產(chǎn)生兩個(gè)相似的等腰直角三角形,并以旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為出發(fā)點(diǎn),設(shè)計(jì)一系列問題,層層遞進(jìn),著重考查學(xué)生在圖形變化的過程中捕捉不變規(guī)律的能力,并要求學(xué)生利用不變量進(jìn)行邏輯推理,進(jìn)而解決問題. 解決好此類問題的關(guān)鍵是要具備按圖索驥、通時(shí)達(dá)變的能力.

    關(guān)于兩個(gè)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變化,建議掌握以下內(nèi)容.

    △ABC和△ADE是以點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)的一組相似的等腰直角三角形.

    (1)如圖17,則有:

    ① △ABD ≌ △ACE,且△ACE ∽ △ANM;

    ② 當(dāng)點(diǎn)P,M,N分別是CD,DE,BC的中點(diǎn)時(shí),△PMN也是等腰直角三角形.

    (2)如圖18,點(diǎn)D在邊BC上,則有:

    ① △ABD ≌ △ACE;

    ② BC ⊥ CE.

    (3)如圖19,記O,M,N分別是BE,AE,AB的中點(diǎn),則有:

    ① 四邊形AMON是平行四邊形;

    ② △OCD是等腰直角三角形.

    類題賞析:兩個(gè)相似圖形依據(jù)一定條件限制進(jìn)行旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生的圖形性質(zhì)頗多,以此為背景命題是近幾年中考的熱點(diǎn). 2022年中考,四川成都卷第26題以兩個(gè)相似矩形旋轉(zhuǎn)為背景進(jìn)行命題,江蘇連云港卷第27題以兩個(gè)直角三角板為背景進(jìn)行圖形構(gòu)造,都體現(xiàn)了這種命題思路.

    例10 (安徽卷)已知四邊形ABCD中,BC = CD. 連接BD,過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E,連接DE.

    (1)如圖20(a),若[DE∥BC],求證:四邊形BCDE是菱形.

    (2)如圖20(b),連接AC,設(shè)BD,AC相交于點(diǎn)F,DE垂直平分線段AC.

    ① 求∠CED的大小;

    ② 若AF = AE,求證:BE = CF.

    學(xué)業(yè)要求:理解軸對(duì)稱圖形的運(yùn)動(dòng),知道軸對(duì)稱的基本特征,理解幾何圖形的對(duì)稱性.

    解法分析:第(1)小題,根據(jù)題意,可知CE垂直平分BD,從而ED = EB. 進(jìn)而可得∠EDB = ∠EBD. 再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義,可證明結(jié)論.

    第(2)小題第①問,先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì),得∠AED = ∠CED = ∠BEC. 再根據(jù)平角定義即可以得到∠CED = 60°;第②問中,利用“AAS”證明△ABF ≌ △ACE,得AC = AB. 所以AB - AE = AC - AF,即BE = CF.

    試題分析:此題問題設(shè)計(jì)層次分明. 第(1)小題要求直接證明菱形,條件簡明. 第(2)小題設(shè)有兩個(gè)問,第①問主要借助垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行角的傳遞,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一個(gè)平角被三等分;第②問的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生分析問題的能力提出了更高層次的要求,結(jié)論中隱含的特殊角、等腰三角形、四點(diǎn)共圓等為求解該題提供了豐富的想象空間. 此題由對(duì)稱基本圖形入手(試題涉及的部分基本圖形如圖21和圖22所示),衍生出一系列問題,題面簡潔,內(nèi)涵深刻.

    軸對(duì)稱是基本的圖形變換,是學(xué)習(xí)空間與圖形知識(shí)的必要基礎(chǔ),常見的軸對(duì)稱圖形如圖23所示.

    類題賞析:2022年中考湖南常德卷第26題以“風(fēng)箏”形對(duì)稱圖形為背景進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的考查,很好地展示了探尋圖形的變化中不變的規(guī)律的過程. 四川成都卷第23題、四川德陽卷第16題、浙江臺(tái)州卷第16題、山東濱州卷第18題、浙江舟山卷第16題、江蘇揚(yáng)州卷第17題、山東泰安卷第18題等則是通過選擇題或填空題考查對(duì)稱變換.

    三、復(fù)習(xí)備考建議

    通過對(duì)2022年全國部分地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中的“圖形的變化”試題進(jìn)行解題分析,提出以下備考建議.

    1. 重視教材,回歸教材

    課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的依據(jù),也是中考命題的依據(jù),教材是表達(dá)課程標(biāo)準(zhǔn)理念的有效載體. 通過分析發(fā)現(xiàn),2022年中考“圖形的變化”試題考查問題的素材大多取材于教材. 因此,復(fù)習(xí)備考中,不能舍本逐末,要回歸教材、吃透教材,領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖. 要深度研究教材素材,創(chuàng)造性地分析、運(yùn)用教材. 要對(duì)教材中的例題、習(xí)題,以及公式、定理進(jìn)行深入拓展. 要跳出“題?!?,多維度深挖教材,捕捉教材中的經(jīng)典圖形,總結(jié)、提煉出軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等相關(guān)基本圖形,同時(shí)對(duì)衍生問題進(jìn)行有效整合,以達(dá)到以不變應(yīng)萬變的效果.

    2. 關(guān)注基礎(chǔ),強(qiáng)化理解

    分析發(fā)現(xiàn),要想解決好“圖形的變化”相關(guān)試題,需要厘清平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)三大變換的要素、性質(zhì),以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別;理解相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系;需要經(jīng)歷從不同角度觀察立體圖形的過程,準(zhǔn)確把握長方體、圓錐、球等簡單幾何體的側(cè)面展開圖. 在“圖形的變化”學(xué)習(xí)中,要重視基礎(chǔ)知識(shí),要以信息技術(shù)演示或者實(shí)物操作的形式感悟圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移變化的基本特征,要理解感知變化是需要參照物的,要借助參照物闡釋圖形變化的基本特征,進(jìn)而了解三類變化的基本性質(zhì).

    3. 關(guān)注作圖,強(qiáng)化識(shí)圖

    識(shí)圖能力是指學(xué)生在識(shí)圖過程中所表現(xiàn)出來的綜合素質(zhì). 會(huì)識(shí)別圖形指能在復(fù)雜交錯(cuò)的圖形中尋找基本圖形,能將圖形進(jìn)行分解、重組,從而發(fā)現(xiàn)有用的信息. 識(shí)圖能力直接關(guān)系到學(xué)生能否從問題中識(shí)別出基本圖形并加以運(yùn)用,進(jìn)而解決問題. 復(fù)習(xí)備考中,要通過作圖、用圖、識(shí)圖、構(gòu)圖,掌握基本的作圖技巧,提升識(shí)圖能力和構(gòu)圖水平,同時(shí)要加強(qiáng)圖形語言的表達(dá)能力. 問題解決中,要從觀察圖形特征入手,通過探尋、構(gòu)造基本圖形,尋找解決問題的突破口.

    “圖形的變化”專題備考中,要將圖形的變化和圖形的性質(zhì)相結(jié)合,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活,用數(shù)學(xué)的語言描述生活,用數(shù)學(xué)的理性對(duì)待生活,最終形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和習(xí)慣.

    4. 關(guān)注思維,強(qiáng)化推理

    復(fù)習(xí)備考中,要重視學(xué)習(xí)的過程,主動(dòng)經(jīng)歷操作、觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證、證明、應(yīng)用等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié),在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程中感悟、體驗(yàn)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造,實(shí)現(xiàn)“知其然,更知其所以然”,進(jìn)而鍛造思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,養(yǎng)成言必有據(jù),分析細(xì)致、縝密的習(xí)慣. 在學(xué)習(xí)圖形的變化內(nèi)容時(shí),若要解決旋轉(zhuǎn)問題,則要學(xué)會(huì)從“新圖形自身的性質(zhì)有哪些變化?”“對(duì)應(yīng)元素之間有何數(shù)量和位置關(guān)系?”“新圖形又生成了哪些新條件或新規(guī)律?”“題干的條件和新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論都得到有效使用了嗎?”四個(gè)方面分析問題. 總之,要通過經(jīng)歷知識(shí)的形成過程發(fā)展思維的深度和廣度,進(jìn)而提高思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)造性.

    四、典型模擬題

    1. 如圖24,在Rt△ABC中,[∠ACB=90°,BC=][2AC,] 點(diǎn)[D,E]分別是邊[BA,BC]的中點(diǎn),連接[DE.] 將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)[α 0°<α<90°,] 得到△BFG,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F,連接AF,CG.

    (1)求證:[∠BFA=∠BGC;]

    (2)若[∠BFA=90°,] 求[sin∠CBF]的值.

    答案:(1)略.

    (2)[sin∠CBF=215+510.]

    【評(píng)析】此題以兩個(gè)相似的特殊直角三角形旋轉(zhuǎn)所得的圖形作為考查對(duì)象. 第(1)小題要求證明這個(gè)圖形的一般性質(zhì);第(2)小題在第(1)小題的基礎(chǔ)上研究特殊情形. 解題過程中多次運(yùn)用圖形變化的性質(zhì),需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?jì)算.

    2. 如圖25,矩形[ABCD]中,[AB=12,AD=25,] 點(diǎn)[E]是邊[BC]上一點(diǎn),[CE=16,] 點(diǎn)[M]是邊[AD]上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)[N]是邊[BC]上一動(dòng)點(diǎn),射線[AN]與射線[ME]相交于點(diǎn)[F],且滿足[∠AFM=∠EAD,] 將[△ABE]沿[AB]翻折得到[△ABG].

    (1)連接[DE],求[∠AED]的度數(shù);

    (2)當(dāng)[△AFM]是以[FM]為腰的等腰三角形時(shí),求[EN]的值;

    (3)當(dāng)[AN]平分[∠EAD]時(shí),求證:[GF]平分[∠AGE.]

    答案:(1)[∠AED=90°];

    (2)[0]或3;

    (3)略.

    【評(píng)析】此題考查對(duì)稱變換的相關(guān)知識(shí),以矩形為基本圖形,通過變化考查相關(guān)角度的關(guān)系,以及全等與相似的應(yīng)用. 第(3)小題多次運(yùn)用相關(guān)條件得到相等的角或線段,最終利用全等得到欲證結(jié)論,對(duì)學(xué)生的識(shí)圖能力和邏輯推理能力要求較高.

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    基金項(xiàng)目:蚌埠市教育科學(xué)規(guī)劃課題——安徽省中考數(shù)學(xué)試卷與課標(biāo)一致性研究(2021073).

    作者簡介:陳耀忠(1970— ),男,正高級(jí)教師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、競賽和中高考命題研究;

    孫陳威(1987— ),男,一級(jí)教師,主要從事中考數(shù)學(xué)試題與課標(biāo)一致性研究.

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