導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的方法

李發(fā)明

(山東省泰安第一中學(xué) 271000)

導(dǎo)數(shù)在高考解答題中始終扮演著壓軸題的角色，主要考查的題型有導(dǎo)數(shù)與不等式的證明、恒成立與能成立問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題、洛必達(dá)法則、隱零點(diǎn)問(wèn)題以及極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.本文將對(duì)隱零點(diǎn)問(wèn)題中較難的虛設(shè)零點(diǎn)法的幾個(gè)類(lèi)型進(jìn)行歸納總結(jié)，以期對(duì)學(xué)子及同行有所幫助.

1 可以消掉隱零點(diǎn)得到具體值的問(wèn)題

例1 已知函數(shù)f(x)=xex-x-lnx，求f(x)的最小值.

解析定義域?yàn)閤∈(0，+∞)，

所以f′(x) 在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閒′(1)=2(e-1)>0，

①

即x0=-lnx0.

②

所以f′(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

所以f(x)min=f(x0)=x0ex0-x0-lnx0.

將①②兩式代入,得

練習(xí)1 已知函數(shù)f(x)=xe2x-2x-lnx，求f(x)的最小值.

③

兩邊取自然對(duì)數(shù)得2x0=-lnx0.

④

所以g(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以f′(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(x0)=x0e2x0-2x0-lnx0.

將③④兩式代入,得

2 無(wú)法消掉隱零點(diǎn)的求范圍問(wèn)題

例2 已知函數(shù)f(x)=x+2xlnx，若對(duì)于任意x>1，f(x)>k(x-1)恒成立，求整數(shù)k的最大值.

即2x0-2lnx0-3=0.

此時(shí)g′(x)在(1，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

所以kmax=4.

練習(xí)2 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-x-2，當(dāng)x>0時(shí)，(x-k)f′(x)+x+1>0恒成立，求整數(shù)k的最大值.

令h(x)=ex-x-2，易知h(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閔(1)=e-3<0，h(2)=e2-4>0，

所以存在x0∈(1，2)使得h(x0)=0，即ex0=x0+2.

所以h(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以g′(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

所以kmax=2.

3 無(wú)法消掉隱零點(diǎn)且需要放縮的求范圍問(wèn)題

例3已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)，當(dāng)m≤2時(shí)，證明:f(x)>0.

解析當(dāng)m≤2時(shí)，ln(x+2)≥ln(x+m)，所以-ln(x+2)≤-ln(x+m).

所以只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=ex-ln(x+2)>0,x∈(-2,+∞)即可.

⑦

兩邊取自然對(duì)數(shù),得x0=-ln(x0+2).

⑧

所以f′(x)在(-2，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.所以f(x)在(-2，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

所以f(x)min=f(x0)=ex0-ln(x0+2).

將⑦⑧兩式代入,得

所以當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于含有參數(shù)m的不等式問(wèn)題，通過(guò)分析當(dāng)m≤2時(shí)函數(shù)f(x)的變化情況，找到f(x)取最小值的情況，將證明ex-ln(x+m)>0放縮為證明ex-ln(x+2)>0.此放縮有兩個(gè)好處，一是將變化的參數(shù)m固定成了定值2；二是方便求導(dǎo)、方便計(jì)算.

練習(xí)3 已知函數(shù)f(x)=ex-t-lnx，當(dāng)t≤2時(shí)，證明：f(x)>0.

解析當(dāng)t≤2時(shí)，ex-t≥ex-2，所以只需證明當(dāng)t=2時(shí)f(x)>0即可.

當(dāng)t=2時(shí)，f(x)=ex-2-lnx，x∈(0，+∞)，

⑨

兩邊取自然對(duì)數(shù)得x0-2=-lnx0.

⑩

所以f′(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(x0)=ex0-2-lnx0.

將⑨⑩兩式代入,得

所以當(dāng)t≤2時(shí)，f(x)>0.

4 需要對(duì)隱零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)行二次化簡(jiǎn)的問(wèn)題

例4設(shè)函數(shù)f(x)=xex-lnx-kx+x-1，若f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(*)

令F(x)=xlnx，所以F′(x)=lnx+1.

易知f′(x)>0在x∈(1，e)上恒成立.

即x0=-lnx0.

所以h(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以g′(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

所以k≤2.

練習(xí)4設(shè)函數(shù)f(x)=xe2x-lnx-kx，若f(x)≥1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

令h(x)=2x2e2x+lnx，x∈(0，+∞)，

所以h(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

兩邊取自然對(duì)數(shù),得

令F(x)=x+lnx，易知F(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

即2x0=-lnx0.

所以h(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以g′(x)在(0，x0)上為負(fù)，在(x0，+∞)上為正.

所以g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

所以k≤2.

隱零點(diǎn)問(wèn)題是高考導(dǎo)數(shù)壓軸題最?？嫉念?lèi)型之一，虛設(shè)零點(diǎn)法則是其中難度較大、出現(xiàn)較頻繁的題型，它能綜合考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)掌握的熟練程度，學(xué)生應(yīng)在理解透“虛設(shè)零點(diǎn)”的基礎(chǔ)上多加練習(xí)，以期熟能生巧.