巧用六大模型 輕松解決四面體外接球問題

黃偉亮

(廣東省佛山市南海區(qū)石門中學 528248)

幾何體外接球問題是高中數(shù)學的一個難點，對學生空間想象能力有較高的要求，能很好地考查學生的數(shù)學素養(yǎng)，因此成為了高中階段各類考試的高頻考點.幾何體外接球的球心必在經(jīng)過幾何體任意一個平面的外心且與該平面垂直的垂線上，兩個平面的外心的垂線相交于一點，該點就是幾何體的球心.四面體是空間中最基本的幾何體，且四面體一定有外接球.本文介紹解決四面體外接球問題的六大模型，利用這六大模型，能大大降低四面體外接球問題的難度，從而能輕松解決四面體外接球問題.

1 正方體模型

常見的能夠轉化為正方體模型的有3種四面體，特征如下：

圖1 圖2 圖3

(1)墻角三棱錐——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度相等)，如圖1；

(2)鱉臑——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度相等)，如圖2；

(3)正四面體，如圖3.

例1 (2019年全國新課標Ⅰ卷)如圖4，已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

解法1不妨設側棱長為2a，則EF=a.

CE2=CF2-EF2=3-a2.

圖4

從而PA，PB，PC兩兩垂直.

解法2 三棱錐P-ABC為正三棱錐，因為正三棱錐的對棱互相垂直，所以PB⊥AC.

因為EF⊥CE，EF∥PB，

所以PB⊥CE.

又AC∩CE=C，所以PB⊥平面PAC.

解析如圖5，取AC中點M，連接SM，BM，因為AB=BC，SA=SC，所以SM⊥AC，BM⊥AC.

圖5

所以∠SMB就是二面角S-AC-B的平面角.

設S在底面ABC上的射影為S1，則S1在BM的延長線上，且S1M=SMcos(π-∠SMB)=1，于是四邊形ABCS1是正方形.

2 長方體模型

常見的能夠轉化為長方體模型的有3種四面體，特征如下：

圖6 圖7 圖8

(1)墻角三棱錐——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度不完全相等)，如圖6；

(2)鱉臑——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度不完全相等)，如圖7；

(3)對棱相等，如圖8.

評注正方體模型是長方形模型的特殊情況，圖1-圖3分別是圖6-圖8的特殊情況.

解析該三棱錐對棱相等，可轉化為長方體模型.設長方體的長寬高分別為a，b，c，則a2+b2=20，a2+c2=20，b2+c2=8.

于是球心到平面ABC的距離為

例4(2022年衡水金卷一模)如圖9，兩個腰長均為10cm的等腰直角三角形拼成一個四邊形ABCD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為____cm3.

圖9

3 圓柱模型

常見的能夠轉化為圓柱模型的四面體特征為：有一條棱垂直于一個平面，如圖10.

圖10

評注長方形模型是圓柱模型的特殊情況，圖3和圖6是圖10的特殊情況.

例5(2019年汕頭一模)三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面積為2，則三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為____.

于是△ABC的外接圓半徑r=x.

4 圓錐模型

常見的能夠轉化為圓錐模型的四面體特征為：一個頂點在平面α(設另外三個點所在的平面為α)上的射影是這三個點的外接圓圓心，如圖11.

圖11

評注該四面體的特征也可以是3條棱相等.

解析由PA=PB=PC=4可知點P在平面ABC上的射影就是△ABC的外心，所以四面體P-ABC可轉化為圓錐模型.

5 二面角模型

證明如圖12，設△ABC和△BCD的外接圓圓心分別為O1和O2，過點O1和O2分別作平面ABC和平面BCD的垂線，兩垂線交于點O，則點O就是四面體A-BCD的外接球球心.

圖12

BC中點為M，O，O1，M，O2四點共圓，其外接圓直徑就是MO.

由于一般的二面角模型公式比較難記，建議按照以下步驟進行計算：

第1步：計算公共棱長度l；

例7(2015年江西高考)在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為( ).

例8 三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=BC=2，PA=PC=3，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為____.

解析平面PAC⊥底面ABC，△ABC是直角三角形且直角是公共棱所對的角，所以三棱錐P-ABC外接球半徑等于△PAC的外接圓半徑.

6 建系模型

選擇適當?shù)目臻g直角坐標系，設球心坐標為O(x,y,z)，外接球半徑為R，根據(jù)OA=OB=OC=OD=R，構建一個四元二次方程組，解出球心坐標以及球的半徑.一般地，只要我們建立適當?shù)淖鴺讼?，使得球心的坐標未知?shù)只有一個，同時使得某些點的坐標較容易寫，就能得到比較簡單的方程，從而能快速求出球心坐標及外接球半徑.

A.100π B.108π C.110π D.111π

圖13

所以外接球的表面積為111π.故選D.

根據(jù)四面體的不同特征，將四面體轉化為不同的模型，就能使用相應的模型公式迅速解決四面體外接球問題.六大模型部分內(nèi)容是兼容互通的，同一個四面體，根據(jù)其特征的不同往往可以轉化為多種模型.如例1的2019年全國新課標Ⅰ卷的題目，由PA=PB=PC可將四面體轉化為圓錐模型.又如例9的2022年佛山一模的題目，由側面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°可知BA⊥平面PAC，由此可將四面體轉化為圓柱模型(以△ABC外接圓圓面為底面，PA為母線長的圓柱).總而言之，利用六大模型，能快速地解決四面體外接球問題，而對模型的甄別是解決四面體外接球問題的關鍵.