利用幾何畫(huà)板講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

文｜宗迎峰

一次函數(shù)是學(xué)生首次學(xué)習(xí)，由于具有高度抽象性，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)一定難度。一次函數(shù)探索過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合思想，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及其他函數(shù)提供了可以類比的研究途徑。在教學(xué)過(guò)程中若單純使用傳統(tǒng)教學(xué)手段，學(xué)生很難完全理解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。而利用幾何畫(huà)板不僅可以方便地畫(huà)出一次函數(shù)的圖象，學(xué)生還能通過(guò)動(dòng)手操作體驗(yàn)到函數(shù)圖象與性質(zhì)隨函數(shù)解析式變化而做出的相應(yīng)改變，進(jìn)一步提升信息素養(yǎng)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對(duì)一次函數(shù)提出的學(xué)業(yè)要求是會(huì)根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式y(tǒng)=kx＋b（k≠0）探索并理解k值的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響，同時(shí)還提出，數(shù)學(xué)課堂上要利用數(shù)學(xué)專用軟件開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)取決于k值和b值，只從解析式角度去分析，顯然不夠直觀，學(xué)生難以完全理解和掌握。在正比例函數(shù)的基礎(chǔ)上探索一次函數(shù)圖象的平移變化，盡管學(xué)生也可以用描點(diǎn)法畫(huà)出圖象進(jìn)行研究，但描出的點(diǎn)比較有限，圖象不夠精確。同時(shí)，如果畫(huà)出的圖象數(shù)量過(guò)少，缺乏普遍意義，學(xué)生難以觀察歸納出本質(zhì)特征；如果畫(huà)出的圖象太多，又比較耗時(shí)。而運(yùn)用幾何畫(huà)板（5.06 版）這一工具，通過(guò)演示對(duì)比正比例函數(shù)與一次函數(shù)，學(xué)生能夠更好地體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，并且在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受“從特殊到一般”這一重要數(shù)學(xué)研究方法。

一、一次函數(shù)圖象平移

一次函數(shù)圖象初中階段只涉及上下平移，選擇函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 進(jìn)行研究，這兩個(gè)函數(shù)解析式比較簡(jiǎn)單，便于計(jì)算和描點(diǎn)。

（一）從“數(shù)”的角度分析研究

學(xué)生觀察解析式的異同，思考：函數(shù)y=2x＋3 和函數(shù)y=2x相比，多了常數(shù)項(xiàng)3，當(dāng)自變量取相同數(shù)值時(shí)，函數(shù)值會(huì)有什么差異？

學(xué)生列表求值，x取一些特殊數(shù)值，計(jì)算兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并對(duì)函數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，觀察規(guī)律。

思考：當(dāng)x取相同數(shù)值時(shí)，y=2x＋3 的函數(shù)值比y=2x多3，這在圖象上會(huì)有什么樣的表現(xiàn)？

猜想函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 圖象的關(guān)系。

以上是從自變量與函數(shù)值的角度分析兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系，學(xué)生能理解“當(dāng)橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)y=2x＋3上的點(diǎn)縱坐標(biāo)比y=2x大3”，進(jìn)而根據(jù)“點(diǎn)動(dòng)成線”提出自己的猜想，但缺乏直觀感受。

（二）從“形”的角度分析研究

學(xué)生在操作臺(tái)上用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 的圖象，其他學(xué)生同時(shí)在練習(xí)本上用描點(diǎn)法畫(huà)出圖象。雖然幾何畫(huà)板可以直接畫(huà)出圖象，也比較直觀準(zhǔn)確，有利于學(xué)生觀察，但學(xué)生用描點(diǎn)法畫(huà)圖的過(guò)程也是不可缺少的，這既是為了培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，同時(shí)又因?yàn)楫?huà)出函數(shù)圖象、觀察函數(shù)圖象進(jìn)而歸納性質(zhì)特征是研究函數(shù)的思路，這為以后研究新函數(shù)提供了途徑。

1.學(xué)生畫(huà)出圖象以后，與操作臺(tái)同學(xué)畫(huà)出的圖象進(jìn)行對(duì)比，觀察自己所畫(huà)圖象是否正確。

觀察圖象思考：函數(shù)y=2x＋3 的圖象是什么形狀？函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x＋3 的圖象有什么位置關(guān)系？

猜想：函數(shù)y=2x圖象通過(guò)怎樣的平移能夠得到函數(shù)y=2x＋3 的圖象？

以上活動(dòng)是讓學(xué)生通過(guò)觀察初步感知函數(shù)y=2x＋3 的圖象與性質(zhì)。

2.在兩個(gè)函數(shù)圖象上構(gòu)造一些橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)。

學(xué)生觀察思考：當(dāng)函數(shù)y=2x與y=2x＋3 圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同時(shí)，縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)y=2x上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)比y=2x＋3 小3。

為了更有說(shuō)服力，在函數(shù)y=2x上構(gòu)造點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作y軸平行線，然后構(gòu)造這條平行線與函數(shù)y=2x＋3 的交點(diǎn)B，度量點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)。拖動(dòng)點(diǎn)A，就可以清晰地看到：隨著點(diǎn)A位置的改變，點(diǎn)B和點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)多3。

3.思考：點(diǎn)A通過(guò)怎樣的平移能到點(diǎn)B的位置？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A向上平移3 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B。

教師演示平移的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

為了便于學(xué)生觀察，把先前所構(gòu)造的函數(shù)y=2x圖象上的點(diǎn)在“顯示”菜單中設(shè)置成“追蹤點(diǎn)”，這樣，當(dāng)點(diǎn)擊“動(dòng)畫(huà)點(diǎn)”按鈕時(shí)，函數(shù)y=2x的圖象向上平移的軌跡就直觀地顯示出來(lái)了。

4.思考：根據(jù)“點(diǎn)動(dòng)成線”，函數(shù)y=2x的圖象通過(guò)怎樣的平移能夠得到函數(shù)y=2x＋3 的圖象？

學(xué)生通過(guò)前面過(guò)程已經(jīng)理解了兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系，能夠得出結(jié)論：函數(shù)y=2x圖象上的每個(gè)點(diǎn)都向上平移3 個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y=2x＋3的圖象，所以函數(shù)y=2x＋3 的圖象也是直線。

觀察兩條直線的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們互相平行。

教師用幾何畫(huà)板演示直線平移過(guò)程。

利用前面做出的點(diǎn)A和點(diǎn)B構(gòu)造線段AB，在線段AB上構(gòu)造點(diǎn)C，選中點(diǎn)C和點(diǎn)A，在“構(gòu)造”菜單里點(diǎn)擊“軌跡”，出現(xiàn)和直線y=2x平行的直線。選中點(diǎn)C，按“編輯→操作類按鈕→動(dòng)畫(huà)”流程操作，出現(xiàn)“動(dòng)畫(huà)點(diǎn)”按鈕，右鍵設(shè)置“屬性”，“方向”選擇“向后”，然后點(diǎn)擊“確認(rèn)”。點(diǎn)擊“動(dòng)畫(huà)點(diǎn)”，可以看到函數(shù)y=2x圖象向上平移3 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=2x＋3圖象的過(guò)程。

把常數(shù)項(xiàng)換成其他數(shù)字進(jìn)行演示，學(xué)生觀察總結(jié)。

用類似的教學(xué)流程在動(dòng)態(tài)變化中來(lái)講函數(shù)y=2x圖象和函數(shù)y=2x－3 圖象的關(guān)系，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，增加學(xué)生參與演示的機(jī)會(huì)。

5.在教學(xué)k值小于0 的一次函數(shù)圖象性質(zhì)過(guò)程中，把上面的流程做一個(gè)相反的變化。

先提出問(wèn)題：把正比例函數(shù)y=－2x的圖象向上平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度，哪些特點(diǎn)發(fā)生變化？哪些特點(diǎn)不變？請(qǐng)猜想解析式。

學(xué)生已經(jīng)有了前面的探究經(jīng)歷，所以在學(xué)習(xí)活動(dòng)中不急于演示動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，可以先引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的增減性、經(jīng)過(guò)的象限、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等方面對(duì)正比例函數(shù)y=－2x進(jìn)行想象，然后思考它向上平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度以后有哪些特點(diǎn)發(fā)生變化，哪些特點(diǎn)不變。

學(xué)生回答之后，不評(píng)價(jià)對(duì)錯(cuò)，先畫(huà)出函數(shù)y=－2x+4 的圖象，然后演示動(dòng)態(tài)過(guò)程，讓學(xué)生觀察圖象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

學(xué)生觀察思考：正比例函數(shù)y=－2x的圖象在向上平移過(guò)程中，解析式哪些部分發(fā)生變化？哪些部分不變？

在“度量”菜單中有“度量方程”的功能，拖動(dòng)函數(shù)圖象，學(xué)生能夠觀察到當(dāng)函數(shù)圖象位置發(fā)生變化時(shí)，k值不變，一直都是－2，b值發(fā)生變化。這為下面總結(jié)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)作出了鋪墊。

一次函數(shù)圖象是一條直線，但在幾何畫(huà)板中經(jīng)過(guò)定點(diǎn)畫(huà)這個(gè)函數(shù)圖象的平行線是不能直接作出的，往往是在原函數(shù)圖象上構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)，然后經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)畫(huà)出一條和原函數(shù)圖象重合的直線，最后再經(jīng)過(guò)定點(diǎn)來(lái)構(gòu)造這條新直線的平行線，從而得到與原一次函數(shù)圖象平行的直線。

“軌跡”構(gòu)造的直線也無(wú)法直接度量方程，同樣可以在這條直線上構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)，隱藏直線，然后構(gòu)造經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線，度量新直線的解析式。

在演示圖象平移過(guò)程中往往會(huì)出現(xiàn)一種情況：圖象平移之后會(huì)跳回原來(lái)的位置，不能停留在終點(diǎn)，不利于學(xué)生觀察。以直線y=－2x平移到直線y=－2x+4為例來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，先根據(jù)前面流程作出直線y=－2x向上平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線y=－2x+4 的動(dòng)畫(huà)，再選中直線y=－2x+4 做“隱藏/顯示”按鈕（流程是編輯→操作類按鈕→隱藏/顯示），然后依次選中“動(dòng)畫(huà)點(diǎn)”和“隱藏/顯示”兩個(gè)按鈕，在“編輯”菜單中“操作類按鈕”選擇“系列按鈕”，這樣就實(shí)現(xiàn)了一個(gè)按鈕控制整個(gè)移動(dòng)過(guò)程，并且不會(huì)發(fā)生跳回現(xiàn)象。

6.歸納總結(jié)階段把重點(diǎn)轉(zhuǎn)向?qū)W生的操作體驗(yàn)。因?yàn)榻?jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生已經(jīng)對(duì)一次函數(shù)圖象和性質(zhì)有了初步的理解，還需要通過(guò)進(jìn)一步的體驗(yàn)感悟來(lái)加深印象。

為了讓學(xué)生直觀感受k值的作用，教師可讓學(xué)生畫(huà)出大量k值固定不變的一次函數(shù)的圖象，如k=0.5，畫(huà)出直線y=0.5x，y=0.5x＋4，y=0.5x＋2，y=0.5x－1.5，y=0.5x－4…學(xué)生觀察到這些函數(shù)的圖象都是平行的直線。

總結(jié)規(guī)律：一次函數(shù)的k值相同時(shí)，它們的圖象是一組互相平行的直線；反過(guò)來(lái)，當(dāng)一次函數(shù)圖象是平行直線時(shí)，它們的解析式k值相同。

學(xué)生在幾何畫(huà)板中畫(huà)出k=-2 的一次函數(shù)y=-2x，y=-2x+4，y=-2x+2，y=-2x-0.5，y=-2x-3…的圖象，通過(guò)觀察再次驗(yàn)證規(guī)律。

思考：觀察兩組函數(shù)圖象以及前面正比例函數(shù)圖象到一次函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，你能說(shuō)出一次函數(shù)圖象從左到右上升或下降的規(guī)律嗎？

由此得到k的第二個(gè)作用：k＞0，一次函數(shù)圖象從左到右上升，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；k＜0，一次函數(shù)圖象從左到右下降，函數(shù)值隨自變量的增大而減小。

把正比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象放在同一個(gè)坐標(biāo)系中，更方便比較它們的異同。

通過(guò)以上過(guò)程，學(xué)生對(duì)一次函數(shù)中k值對(duì)圖象的兩個(gè)作用有直觀、清晰的理解認(rèn)識(shí)。

二、一次函數(shù)圖象與y 軸的交點(diǎn)

一次函數(shù)中常數(shù)項(xiàng)的作用與以后要學(xué)習(xí)的二次函數(shù)中常數(shù)項(xiàng)的作用相同，所以常數(shù)項(xiàng)的研究方法對(duì)今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)具有指導(dǎo)作用，仍然從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度進(jìn)行研究，以函數(shù)y=2x+3 為例。

（一）從“數(shù)”的角度分析研究

思考：一次函數(shù)y=2x+3，當(dāng)x=0 時(shí)，y值等于幾？

學(xué)生求出當(dāng)x=0 時(shí)，y=3。

思考：這個(gè)計(jì)算結(jié)果反映了函數(shù)y=2x+3 的圖象有什么樣的特征？

根據(jù)自變量和函數(shù)值的關(guān)系，可以知道函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）。

思考：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

學(xué)生利用前面分析具體解析式獲得的經(jīng)驗(yàn)，從特殊到一般，可以推導(dǎo)出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）。

從“數(shù)”的角度盡管也能得出結(jié)論，但缺乏直觀性，不利于學(xué)生思維的發(fā)散，難以進(jìn)行更深層次的發(fā)掘。

（二）從“形”的角度分析研究

1.利用正比例函數(shù)圖象的平移分析

思考：一次函數(shù)y=2x+3 的圖象可以由哪個(gè)正比例函數(shù)圖象通過(guò)怎樣的平移得到？與y軸的交點(diǎn)發(fā)生了怎樣的變化？

這是由函數(shù)圖象的平移得到與y軸交點(diǎn)的平移。

學(xué)生由函數(shù)y=2x的圖象向上平移3 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=2x+3 的圖象，可以聯(lián)想到圖象與y軸的交點(diǎn)也向上平移了3 個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)y=2x+3 的圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）。

2.幾何畫(huà)板畫(huà)圖分析

學(xué)生在操作臺(tái)上利用幾何畫(huà)板畫(huà)出一次函數(shù)y=4x+3，y=2x+3，y=0.5x+3，y=-0.5x+3，y=-x+3，y=-2x+3…的圖象。

觀察思考：這些圖象與y軸的交點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生可以看出它們與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)都是（0，3）。

觀察思考：它們的解析式有什么樣的共同點(diǎn)？

學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)b值都是3。

這樣學(xué)生就建立起了b值與函數(shù)圖象y軸交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析為什么它們的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)都是（0，3）。

最后學(xué)生共同歸納出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中b值的作用：決定著一次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，b值相同的一次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在同一位置。

三、結(jié)語(yǔ)

如果使用傳統(tǒng)教學(xué)手段，只能側(cè)重從“數(shù)”的角度分析一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，盡管也可以用描點(diǎn)法對(duì)畫(huà)出的圖象進(jìn)行分析研究，但不利于學(xué)生完全理解一次函數(shù)的本質(zhì)，也不利于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)掘。

課堂上利用幾何畫(huà)板講授一次函數(shù)，一方面動(dòng)態(tài)演示，從微觀和運(yùn)動(dòng)變化的角度進(jìn)行探索，真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，另一方面強(qiáng)大的交互性讓學(xué)生有更多的參與機(jī)會(huì)，學(xué)生在“做中學(xué)”，通過(guò)體驗(yàn)感悟，能夠從本質(zhì)上理解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并且留下深刻印象。同時(shí)，利用幾何畫(huà)板把正比例函數(shù)的圖象和大量的一次函數(shù)的圖象放在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中加以對(duì)比，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化中清晰、準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)和理解它們的關(guān)系，進(jìn)一步體驗(yàn)到類比的數(shù)學(xué)思想。

但是幾何畫(huà)板只能作為一種輔助教學(xué)手段，在教學(xué)過(guò)程中不能完全以演示代替教師的啟發(fā)引導(dǎo)和學(xué)生的畫(huà)圖實(shí)踐，只有合理利用，才能真正促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的變革，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。