尋根溯源話試題 拓展探究促提升
——2022年武漢中考數(shù)學(xué)試題第23題的拓展與探究

項(xiàng) 當(dāng)

(光谷湯遜湖學(xué)校，湖北 武漢 430072)

1 考題再現(xiàn)

圖1 圖2 圖3

2)再探究一般情形．如圖1，證明探究1)中的結(jié)論仍然成立.

(2022年湖北省武漢市數(shù)學(xué)中考試題第23題)

2 課本原型

縱觀題干和圖形，發(fā)現(xiàn)例1以課本習(xí)題為背景，在熟悉的基本圖形中延長(zhǎng)ED，與AB相交于點(diǎn)F，提升了學(xué)生識(shí)圖的難度，從條件特殊到一般，再過渡到特殊，探究結(jié)論的相似之處.

例2如圖4，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=CD，求證：DB=DE.

圖4

(人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第93頁第13題)

3 試題評(píng)價(jià)

2022年是實(shí)施“雙減”政策下的首次中考，武漢市在此政策下繼續(xù)圍繞核心素養(yǎng)、依標(biāo)務(wù)本的理念命制試題.例1與往年試題結(jié)構(gòu)、題型、難度上保持一致，但“穩(wěn)中出變，變中求新，新中求進(jìn)”，在背景材料選擇上更傾向于教材習(xí)題，源于課本，卻又高于課本，即“題在書外，根在書內(nèi)”，充分站在學(xué)生的立場(chǎng)，聚焦學(xué)情，體現(xiàn)了試題的人文和諧，呼喚人本回歸；試題圖形簡(jiǎn)潔明了(基本圖形為兩個(gè)底邊在一條直線上的等腰三角形，其中一個(gè)等腰三角形頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的腰上)，文字簡(jiǎn)練準(zhǔn)確，整體呈現(xiàn)和諧流暢.

試題設(shè)置不同能力進(jìn)階的問題，第1)小題將條件特殊化，通過∠ABD=∠ADF，證明△AFD∽△ADB，可快速解題，并且后面兩個(gè)小題方法一脈相承.不少學(xué)生緊盯等邊三角形、含30°直角三角形相關(guān)的邊與邊之間性質(zhì)，結(jié)合分支特殊條件解決第1)小題，但不利于后面小題的解答，屬于識(shí)圖推理題，相對(duì)簡(jiǎn)單.第2)小題將條件弱化，由等邊三角形過渡到一般等腰三角形，從特殊到一般，可繼續(xù)沿用第1)小題的相似方法，抓住不變的特征，靈活運(yùn)用比例線段的關(guān)系進(jìn)行證明與計(jì)算，進(jìn)而解決第2)小題.不少學(xué)生用給出的中點(diǎn)引入輔助線，使得解答過于繁雜.本題綜合考查了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、模型意識(shí)等，若方法不當(dāng)，則會(huì)使解答過程較第1)小題困難.第3)小題繼續(xù)弱化條件，圖形變復(fù)雜，線段關(guān)系進(jìn)一步隱蔽，方法盡管與第2)小題一脈相承，但需要學(xué)生仔細(xì)考慮，引入必要的輔助線，在圖形的“生長(zhǎng)”過程中，體會(huì)知識(shí)間的縱橫、因果、異同等關(guān)系，較高程度地考查了學(xué)生通過類比遷移從觀察到分析、再到解決問題的綜合能力，繼續(xù)落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)，題目較綜合，難度偏大.總之，學(xué)生通過拾級(jí)而上、漸次深入的問題解答,實(shí)現(xiàn)從低階思維到高階思維的提升.讓學(xué)生學(xué)有所答，答有所獲，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感.

4 解法探究

1)解由AB=AC,∠BAC=60°可知△ABC為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，則

由

∠ABC=∠ACB=60°，

得

∠ABD=∠DBC=30°，

又

DB=DE，

故

∠DBE=∠DEB=30°.

因?yàn)?/p>

∠CDE+∠DEC=∠ACB，

所以

∠ABD=∠CDE=∠ADF=30°，

由

∠ADF=∠ABD=30°， ∠BAD=∠DAF=60°，

得

△AFD∽△ADB，

從而

于是

評(píng)注本題巧妙地將兩個(gè)等腰三角形的底邊在一條直線上重合，結(jié)合特殊條件60°角，運(yùn)用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行導(dǎo)角，找到一對(duì)相似三角形，確定線段的比例關(guān)系.本題起點(diǎn)雖低，但意義頗深，啟示深遠(yuǎn)，埋下了△AFD∽△ADB的恒成立關(guān)系，后面的第2)和第3)小題需要學(xué)生在圖形的變化中抓住這一不變性解題，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力.

2)思路1延續(xù)第1)小題的方法，直接證△AFD∽△ADB.

證法1由AB=AC,∠ABC=∠ACB，∠ABC=∠ABD+∠DBC，DB=DE，∠DBE=∠DEB，因?yàn)?/p>

∠CDE+∠DEC=∠ACB=∠ABC，

所以

∠ABD=∠CDE=∠ADF.

又D是AC的中點(diǎn)，從而

由∠ADF=∠ABD，∠BAD=∠DAF，得

△AFD∽△ADB，

從而

于是

思路2利用平行線構(gòu)造相似.

證法2如圖5，取BC的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)DH.由D是AC的中點(diǎn)，得

圖5

DH

又AB=AC，從而

DH=DC，

于是

∠DHC=∠DCH.

因?yàn)锽D=DE，所以

∠DBH=∠DEC,

從而

∠BDH=∠EDC,

于是

△DBH≌△DEC,

即

BH=EC,

亦即

又因?yàn)镈H∥AB,所以

△EDH∽△EFB,

從而

于是

故

第1類過點(diǎn)A作平行線，如圖6和圖7所示.

圖6 圖7

模型應(yīng)用圖6形成X+X型；圖7形成A+A型.

第2類過點(diǎn)C作平行線，如圖8和圖9所示.

圖8 圖9

模型應(yīng)用圖8形成A+A型;圖9形成X+A型.

第3類過點(diǎn)E作平行線，如圖10和圖11所示.

圖10 圖11

模型應(yīng)用圖10形成X+X型;圖11形成A+A型.

第4類過點(diǎn)B作平行線，如圖12和圖13所示.

圖12 圖13

模型應(yīng)用圖12形成X+A型;圖13形成X+A型.

第5類過點(diǎn)D作平行線，如圖5和圖14所示.

圖14

模型應(yīng)用圖14形成X+X型.

評(píng)注本題條件雖然一般化，但思路1與第1)小題一脈相承，直接證明可套用第1)小題的解題過程，關(guān)鍵是找出∠BAD=∠DAF不變量，證明△AFD∽△ADB.思路2呈現(xiàn)的是大多數(shù)學(xué)生引入輔助線的做法，平行線分線段成比例定理，將未知線段比轉(zhuǎn)化為已知線段比，利用出現(xiàn)的重組相似型或者利用平行線分線段成比例找到突破口.

3)解法1(構(gòu)造A型相似)如圖15，取BC的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)DH，易證

圖15 圖16

△DGH≌△ECD，

則

GH=CE，

從而

于是

易得

△EDH∽△EFB，

即

又

因此

即

解法2如圖16，過點(diǎn)C作CH∥EF交AB于點(diǎn)H，則

∠HCB=∠E=∠DGC， ∠ABC=∠ACB，

易得

△HBC∽△DCG，

即

設(shè)CD=2，則

HB=2n，AB=AC=4，AH=4-2n，AF=2-n，

得

解法3如圖17，延長(zhǎng)AB和DG相交于點(diǎn)H.取BC的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)DM，由DG=DE，可知

圖17

∠BGH=∠DGE=∠DEG.

由AB=AC，∠ABC=∠ACB，∠HBG=∠DCE，得

∠BHG=∠CDE=∠ADF，

又∠DAF=∠HAD，則

△AHD∽△ADB，

從而

設(shè)AD=CD=m，則AB=2m.設(shè)CG=1，則BC=n.易知

由△DMG∽△HBG，得

即

從而

故

評(píng)注本題方法可以類比第2)小題的解答思路，方法還有多種，由于篇幅有限，不一一羅列.第3)小題使得兩個(gè)等腰三角形的點(diǎn)B(G)不重合，所給條件更加一般化，不變的是兩個(gè)等腰三角形底邊仍然重合在一條直線上，需要學(xué)生從隱藏的圖形中學(xué)會(huì)類比遷移來分析并解決問題.遇到求線段比問題時(shí)，若苦于無法找到兩條線段之比的中間過渡元素，則思維容易陷入困境.一般來說，遇到“六點(diǎn)四線”型使用直接法做不出來之時(shí)，可以添加平行線導(dǎo)比轉(zhuǎn)化.此題引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)和育人導(dǎo)向功能.

5 結(jié)論拓展

追根溯源此背景圖，可以發(fā)現(xiàn)解題題眼在于有兩組恒成立等角關(guān)系，即∠ABD=∠CDE，∠BFE=∠BDC，從而引申出全等和相似.筆者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D不是中點(diǎn)時(shí)，結(jié)論仍然成立，情況如下：

1)如圖18，點(diǎn)D在AC上，不是AC的中點(diǎn).

圖18 圖19

2)如圖19，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上.

3)如圖20和圖21，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上.

圖20 圖21

總結(jié)對(duì)于兩個(gè)等腰三角形的底邊在同一條直線上、一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的一腰所在直線上時(shí)，總有兩個(gè)等腰各自同一側(cè)腰(左左和右右)構(gòu)成的夾角相等.另外，兩個(gè)等腰各自相反側(cè)腰(左右和右左)構(gòu)成的夾角相等，即“共底雙等腰，等角腰中藏”，并且類似于以上,在：①AB=AC, ②DB=DE， ③∠CDE=∠ABD或∠BFE=∠BDC這3個(gè)條件中，我們都可以知二求另外一個(gè)結(jié)論.

6 教學(xué)啟示

在“雙減”下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，頻繁的刷題訓(xùn)練只會(huì)導(dǎo)致作業(yè)負(fù)擔(dān)和課堂低效，是摧毀教學(xué)質(zhì)量的最大頑固.鑒于此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)合理使用教材進(jìn)行教學(xué)，用心領(lǐng)會(huì)教材藍(lán)本的精髓，挖掘和拓展課本中習(xí)題設(shè)計(jì)的內(nèi)在教育價(jià)值，學(xué)會(huì)將復(fù)雜圖形進(jìn)行“削枝剪葉留主干，追本溯源尋本質(zhì)”，同時(shí)要由淺入深，由繁到簡(jiǎn)，循序漸進(jìn)，形成一系列的問題串、方法鏈、知識(shí)網(wǎng)，引導(dǎo)學(xué)生做到一題多解探根源，多法歸一促思維，提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)思維能力，讓教材的使用更加有效，從而使數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)更加高效.