夯實基礎知識 加強思維訓練
——一道解三角形題的探究剖析與教學思考

張 莉, 余樹寶

(1.合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,安徽 合肥 230601；2.合肥工業(yè)大學附屬中學,安徽 合肥 230009)

解三角形是高中數(shù)學重點內(nèi)容之一.兼具高考指導性的《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《新課標》)中,對“解三角形”內(nèi)容做了如下的要求：借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關系,掌握余弦定理、正弦定理；能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.為此,歷年高考對解三角形知識主要著眼于余弦定理、正弦定理的應用,同時伴隨著考查三角函數(shù)的相關知識,如三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角公式(四大公式：誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系式、兩角和與差公式、二倍角公式及其變形后的輔助角公式和降次公式)等,問題指向于解決一些有關三角形邊與角的值、面積、周長及形狀判定等方面.另外,在問題解決的過程中,突出考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合等數(shù)學思想,考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等學科素養(yǎng).因此,高考解三角形題對學生的必備知識、關鍵能力以及學科素養(yǎng)等方面還是有較高的要求.

針對這一重要考點,筆者近日對一道高考題展開教學,談談自己的教學過程、設計意圖以及教學思考.

1 真題呈現(xiàn)

例1記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

1)證明：2a2=b2+c2；

(2022年全國數(shù)學高考乙卷第17題)

2 試題分析

這是一道綜合性問題,屬于探索創(chuàng)新試題，主要考查正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式等必備知識,考查學生的邏輯推理與運算求解等關鍵能力,考查學生的理性思維、數(shù)學探究等學科素養(yǎng).在問題解決中,要求學生能靈活運用轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法.

試題第2)小題,在已知a的前提下,要求△ABC的周長,只需求出b,c或b+c.為此,本題的解題路徑就是由第1)小題可知b2+c2=2a2=50,再由余弦定理便能夠得到關于b,c的又一個方程,聯(lián)立兩式解方程可得b,c或b+c的值,從而得到△ABC的周長.

3 教學設計

問題是數(shù)學的心臟.本課基于問題情境,開展啟發(fā)式、互動式、探究式的教學活動,發(fā)展學生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

3.1 邊角互換證明等式

問題1觀察已知條件和目標等式,你能發(fā)現(xiàn)什么？

學生能夠發(fā)現(xiàn)已知條件是一個關于角的等式,而我們要證明的等式是一個關于邊的等式.

師(追問)：那么關于角和邊的互換,我們通常會用到什么數(shù)學知識呢？

學生能夠很容易想到正弦定理和余弦定理在邊角互換中的作用,由此教師可引導學生回顧正弦定理、余弦定理及其變形后的若干公式.

設計意圖引導學生觀察題目所給條件與目標等式之間的關系,培養(yǎng)并提高學生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力.引導學生回憶所學知識,加深對正弦定理和余弦定理的理解,形成完整的知識體系.

問題2如何用正弦定理和余弦定理來實現(xiàn)“化角為邊”呢？

學生先獨立思考,嘗試進行證明,教師巡視并加以引導.

教師引導學生觀察式子sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)并發(fā)現(xiàn)sin(A-B)與sin(C-A)無法實現(xiàn)“化角為邊”,只能利用兩角差的正弦公式對式子進行展開化為“單角”的正、余弦值,于是原式可化為

sinAcosBsinC+sinAsinBcosC=2cosAsinBsinC.

展開之后會發(fā)現(xiàn),等式兩邊的每一項都有齊次的內(nèi)角正弦值,此時可利用正弦定理把這些正弦值全部化成所對應的邊,整理可得

accosB+abcosC=2bccosA.

接著提醒學生再觀察這個式子與目標等式有什么不同？不難發(fā)現(xiàn),只需利用余弦定理的變式,可再一次實現(xiàn)“化角為邊”,最后通過化簡證得2a2=b2+c2.

教師在巡視中發(fā)現(xiàn)有些學生在對sin(A-B)與sin(C-A)展開之后,便不知該何去何從.究其思路，受阻原因主要有兩個：一是等式復雜,運算能力不強；二是方向不明,解題信心不足.

教師要求學生書寫解答過程,并進行展示、點評.

設計意圖旨在引導學生破解問題解決的策略,積累數(shù)學解題經(jīng)驗,提高學生的邏輯推理和運算求解能力.同時通過完成解答過程,提高學生的語言表達能力和規(guī)范答題能力.正如史寧中教授所說：“數(shù)學教學的最終目標,是要讓學習者會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.”而數(shù)學的眼光就是抽象,數(shù)學的思維就是推理,數(shù)學的語言就是模型.

問題3例1還有其他的解法嗎？

教師一定要相信,學生的思維是活躍的、積極的、開放的、多樣的.

一番討論后,有學生發(fā)現(xiàn)：得到

sinAcosBsinC+sinAsinBcosC=2cosAsinAsinC

后,等式左邊合并同類項可得

sinA(cosBsinC+sinBcosC),

括號里又可以利用三角恒等變換公式，得

sinAsin(B+C)=2cosAsinBsinC.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

sin(B+C)=sinA,

于是

sin2A=2sinBsinCcosA,

此式兩邊同樣是齊次的正弦值,于是由正弦定理得

a2=2bccosA,

再由余弦定理得a2=2bccosA=b2+c2-a2,

從而

2a2=b2+c2.

相比前一種解法,運算量大大減少,值得肯定.

還有學生認為,沒必要對sin(A-B)與sin(C-A)進行展開,條件可化為

sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),

利用積化和差公式得

即

cos 2B+cos 2C=2cos 2A,

從而

1-2sin2B+1-2sin2C=2(1-2sin2A),

于是

sin2B+sin2C=2sin2A,

利用正弦定理得

2a2=b2+c2.

該解法得到了全班同學的贊賞，同時也引發(fā)了學生的反思.三角公式不僅有我們常說的“四大公式”,其實課本例題、習題中還有半角公式、和差化積公式、積化和差公式,但并沒有引起大多學生的重視,適時靈活選用這些公式,對豐富解題路徑、簡化解題過程、提高解題效率非常重要.

探究1sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)成立嗎？

此式叫做正弦平方差公式.引導學生證明此式,可得sin(A+B)sin(A-B)=sin(C+A)sin(C-A),從而sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,再利用正弦定理“化角為邊”也可得到目標等式.

設計意圖教師引導學生通過多種方法來解決問題,開拓學生的思維,提高學生分析問題、解決問題的能力,發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算等學科素養(yǎng).通過讓學生獨立寫出完整的解題過程,培養(yǎng)學生獨立思考、自主學習的意識.

3.2 建立方程求解周長

問題4如何求△ABC的周長？能分別求出b和c的值嗎？

教師引導學生分析：要求△ABC的周長,只需要分別求出b和c即可,也就需要得到一個關于b,c的方程組.

于是△ABC的周長為a+b+c=14.

設計意圖通性通法是解決高考試題的主要方法和基本要求,一味追求解題技巧是不值得提倡的.設計此問題,旨在引導學生重視方程思想在求未知量的普適作用.

問題5對于求△ABC的周長,不需要分別求出b和c的長度,只需要求出b+c的值即可.此題能直接求出b+c的值嗎？

設計意圖旨在引導學生在數(shù)學運算時要有整體性思想,這對簡化運算過程、提高運算速度非常重要.另外,引導學生通過逆向思維、帶著問題找答案、尋找解決問題辦法的方式,能夠培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯推理能力.

4 教學思考

4.1 注重基礎知識的掌握

巧婦難為無米之炊.對于數(shù)學學習者來說,首要任務是要理解并牢記數(shù)學基礎知識,在此基礎上練就基礎技能,領會基本思想,積累基本活動經(jīng)驗.縱觀近幾年的高考試題,不難發(fā)現(xiàn),高考在考查綜合性、應用性、創(chuàng)新性的同時,更加強調(diào)并考查數(shù)學的基礎性.基礎知識來源于課本,這就要求教師在教學中要回歸課本、回顧知識,加深學生對數(shù)學基本概念的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生與發(fā)展的理解,深入研究教材中例題和習題的題型與解法,讓學生領會每一個數(shù)學基礎知識的作用和價值.另外,教師還可以運用思維導圖或結(jié)構(gòu)框圖幫助學生對基礎知識進行梳理,形成完整的知識網(wǎng)絡體系,幫助學生更好地理解知識,體會知識之間的聯(lián)系.

4.2 注重學生思維的訓練

如果說基礎知識是“硬件”的話,那么解題思維就是“軟件”,掌握了基礎知識,還必須要學會靈活應用基礎知識分析和解決問題.《新課標》中提出“把握數(shù)學核心概念的本質(zhì),明晰什么是數(shù)學的通性通法”.為此,教師要向?qū)W生強調(diào)數(shù)學問題解決的基本方法即通性通法在解題中的重要性.在開展問題教學的過程中,建議教師注重學生思維上的訓練,以問題為導向,采取啟發(fā)式、互動式或探究式的教學方法,引導學生思考交流,指導學生總結(jié)解決每一類問題的基本方法和策略.與此同時,還要重視培養(yǎng)學生多角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力,加強一題多解、多題一解、一題多變、多點歸納的教學.

4.3 注重學生解題的規(guī)范

《新課標》中提出：在教學過程中,引導學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,使用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題.因此,教師要加強對學生數(shù)學語言表達能力的訓練,尤其是書面表達能力.高考中經(jīng)常會出現(xiàn)考生在答題時審題不仔細、考慮問題不全面、對基礎知識應用不熟練、過程表述不嚴謹、書寫格式不工整等現(xiàn)象,造成一些不必要的丟分.在課堂教學中,教師一方面要做好解答過程書寫的板書示范,另一方面要做好學生的規(guī)范解題過程的指導和訓練,要向?qū)W生強調(diào)高考規(guī)范答題的重要性,教育學生在解題過程中語言表達要條理清晰、語句簡潔、自然流暢,要有較強的邏輯性、嚴謹性、規(guī)范性.