綜合運(yùn)用物理思維化解一道競賽題中的連續(xù)積累問題

葉鳴揚(yáng) 杜素峰

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校，江蘇 南京 210011）

“大同杯”初中物理競賽是上海市初中物理學(xué)科最具權(quán)威性的物理競賽活動(dòng)，在華東地區(qū)乃至全國范圍都有一定的影響力.近年來，筆者所在地區(qū)部分高中學(xué)校的中考科技特長生選拔考試以及教師榮譽(yù)稱號(hào)認(rèn)定的筆試考試中，仍會(huì)出現(xiàn)一些“大同杯”試題及其改編題.可以說，無論出于對學(xué)生學(xué)科拔尖的需要，還是出于對教師自我提升的需要，“大同杯”試題都是十分優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)研究材料.

分析“大同杯”中的經(jīng)典賽題，不僅要有廣博的物理知識(shí)，靈活的物理思維，還要兼?zhèn)漭^強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底.其中一些競賽考題，涉及了對連續(xù)變化量進(jìn)行積累的問題.對于物理教師來說，使用微積分知識(shí)是可以快速求解的.然而，初中學(xué)生卻沒有接觸過微積分，教師在研究和講授相關(guān)習(xí)題時(shí)，應(yīng)注意轉(zhuǎn)換思路，避免使用超前的數(shù)學(xué)知識(shí).

1 原題

例題.（2016年上?！按笸袑W(xué)杯”初中物理競賽復(fù)賽第8題）如圖1所示，假設(shè)有一塊長方體石塊堵住了水的去路.設(shè)水的密度為ρ，石塊的質(zhì)量為m，石塊的左右側(cè)面為正方形，邊長為a，寬度為b，石塊與地面足夠粗糙，不會(huì)滑動(dòng)，水若能推倒石塊，則石塊的寬度b應(yīng)該滿足的條件是

圖1

2 本題解析及常見錯(cuò)因

2.1 本題解析

解決本題需要掌握3個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)：

（3）水對石塊的壓力的等效作用點(diǎn)（以下簡稱為“壓心”）位于石塊高度處，即壓力的力臂

綜合上述分析，可以列出臨界情況下的力矩平衡方程

故本題應(yīng)選（C）.

2.2 學(xué)生主要錯(cuò)因

筆者在校本物理思維拓展課程的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍難以理解的關(guān)鍵在于知識(shí)點(diǎn)3.不少學(xué)生誤認(rèn)為水壓的“壓心”在處，于是得出臨界時(shí)的力矩平衡條件

2.3 證明水壓對豎直矩形受壓面的“壓心”在處

如圖2所示，在距離水面h深處，取一極小深度d h，水在此處產(chǎn)生的壓強(qiáng)為ρgh，受壓面的面積為

圖2

d S＝a·d h.

水對面積d S產(chǎn)生的壓力為

d F＝p·d S＝ρgh·a d h.

以石塊底端O點(diǎn)為支點(diǎn)，d F的力臂為d h到石塊底部的距離，即a－h(huán)，故d F產(chǎn)生的力矩

d M＝d F·（a－h(huán)）＝ρgha（a－h(huán)）·d h.水對石塊產(chǎn)生的總力矩為

將總力矩表示為

3 綜合運(yùn)用思維方法證明“壓心”位置為 a

3.1 尋找新思路

對初中學(xué)生介紹微積分方法，是十分不現(xiàn)實(shí)的.這其實(shí)是對教師提出了更高的要求，需要教師轉(zhuǎn)變思路，深入思考，摸索出初中生能夠理解的方法.

在分析非線性連續(xù)變化、連續(xù)累積等物理問題時(shí)，微積分無可替代.但在分析很多線性變化問題時(shí)，是可以通過無線分割、數(shù)形結(jié)合等思想方法轉(zhuǎn)化為幾何問題的.如高中階段，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移問題、彈簧彈力的做功問題等，都可以轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的幾何問題進(jìn)行分析求解.

深入研究本題各變量的變化規(guī)律后不難發(fā)現(xiàn)，它們都是按照線性規(guī)律變化的：如圖3所示，由液體壓強(qiáng)分布規(guī)律以及力臂的定義得，自石塊底部向上直至水面處，石塊受到的壓強(qiáng)由ρga均勻減小為0，而水壓的力臂卻由0均勻增大到a.這就給本題的積分問題轉(zhuǎn)化為幾何問題帶來了可能.

圖3

3.2 運(yùn)用類比方法進(jìn)行建模

原情境中，水平方向的壓力與“壓心”問題，可以類比為初中學(xué)生更為熟悉的豎直方向的重力與重心問題.如圖4所示，構(gòu)建一個(gè)水平輕質(zhì)杠桿OA，支點(diǎn)為O.自O(shè)點(diǎn)向A點(diǎn)依次懸掛材質(zhì)均勻，寬度為Δh，長度均勻減小的細(xì)長小矩形.

圖4

顯然，自左向右每個(gè)小矩形的重力由ρga·Δh均勻較小到0，而每個(gè)小矩形的重力對于O點(diǎn)的力臂卻由0均勻增大到最大值.力和力臂的變化規(guī)律，與例題中的水壓問題十分相似.

3.3 運(yùn)用無限分割思想進(jìn)行等效

上一節(jié)的建模還不能完全等效例題中的水壓情形，因?yàn)樵诿總€(gè)細(xì)長小矩形的Δh內(nèi)，重力并未發(fā)生變化.而例題中的水壓是在發(fā)生連續(xù)不斷的線性變化的.為了使細(xì)長小矩形的重力也逼近自O(shè)點(diǎn)向A點(diǎn)連續(xù)線性減小到0的規(guī)律，需要將細(xì)長小矩形無限細(xì)分下去.

小矩形劃分地越細(xì)，整體圖形就越趨近于三角形；當(dāng)每一個(gè)小矩形都無限細(xì)分到Δh→0時(shí)，它們所構(gòu)成的整體圖形就是一個(gè)三角形了.

至此，原題尋找水壓“壓心”的問題，就等效轉(zhuǎn)化為了尋找三角形重力力臂的問題.如圖5所示，一塊底為h的直角三角板可繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，學(xué)生根據(jù)初中幾何知識(shí)易得，三角形的重心P位于中線AC上，且AP＝2PC.所以三角板總重力G對于O點(diǎn)的力臂長為h.

圖5

4 結(jié)語

對于學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)的中學(xué)物理教師來說，中學(xué)物理所需的微積分知識(shí)并不困難.但是教學(xué)活動(dòng)是由相互依存的教和學(xué)兩方面構(gòu)成的，即使是物理競賽輔導(dǎo)，也必須考慮到學(xué)生的發(fā)展階段和理解能力，切不可把提升物理思維的良機(jī)變成灌輸超前數(shù)學(xué)知識(shí)的過程.

遇到線性變化過程的累積問題，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生尋找變量的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化到與變化規(guī)律相似的幾何模型中進(jìn)行巧妙求解.這樣，既不增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又能發(fā)展學(xué)生多元的思維能力，才是研究物理競賽題的意義所在.只有引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用現(xiàn)有的知識(shí)，靈活運(yùn)用分析問題的思維方法，才能促進(jìn)思維能力的發(fā)展，達(dá)成解題素養(yǎng)的提升.