利用Mathematica研究四電荷系統(tǒng)的電勢與電場強(qiáng)度分布

曲 浩 馮 豪 郭芳俠

（陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119）

在高中電學(xué)學(xué)習(xí)中，由于電勢以及電場強(qiáng)度的抽象性與復(fù)雜性，學(xué)生理解起來較為困難.受限于高中階段物理知識(shí)以及數(shù)學(xué)工具的深度，學(xué)生往往只能利用對(duì)稱性和疊加原理進(jìn)行局部的定性分析，不能對(duì)復(fù)雜電場進(jìn)行精確計(jì)算，從而全面分析和呈現(xiàn)電場和電勢的特征.以往研究中，陳燕［1］和許冬保［2］分別對(duì)等量和不等量的兩個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場、電勢進(jìn)行了討論，董順成［3］利用Geo-Gebra軟件呈現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)電荷在不同電性、不同電荷量情況下的電場分布情況，而對(duì)于四電荷系統(tǒng)激發(fā)的電場的研究較少.

本文首先從理論上計(jì)算4個(gè)位置對(duì)稱的點(diǎn)電荷在空間中產(chǎn)生的電場和電勢，然后應(yīng)用Mathematica軟件直觀展示靜電場的分布，為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供有力支持和幫助.

2022年高考全國乙卷物理試題第19題如下.

如圖1，兩對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷＋q、－q（q＞0）固定于正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上，L、N是該正方形兩條對(duì)角線與其內(nèi)切圓的交點(diǎn)，O為內(nèi)切圓的圓心，M為切點(diǎn).則

圖1

（A）L和N兩點(diǎn)處的電場方向相互垂直.

（B）M點(diǎn)的電場方向平行于該點(diǎn)處的切線，方向向左.

（C）將一帶正電的點(diǎn)電荷從M點(diǎn)移到O點(diǎn)，電場力做正功.

（D）將一帶正電的點(diǎn)電荷從L點(diǎn)移到N點(diǎn)，電場力做功為零.

答案：（A）（B）.

本題情境是靜止、等量的兩個(gè)正電荷和兩個(gè)負(fù)電荷構(gòu)成的體系，主要考查學(xué)生運(yùn)用點(diǎn)電荷電場、電勢分布解決復(fù)雜電場中特殊場點(diǎn)的問題以及電場力做功的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力要求較高.圖1中的L、N和M 3點(diǎn)的電場方向、電勢很容易利用點(diǎn)電荷電場、電勢規(guī)律及疊加原理解決，這里不再贅述.下面進(jìn)一步分析4個(gè)電荷所在的正方形平面內(nèi)各點(diǎn)的電場和電勢分布，以期全面地展示電場和電勢的分布特點(diǎn).

1 電勢與電場強(qiáng)度分布的計(jì)算

為方便對(duì)一般情形的分析討論，將正方形頂點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)電荷設(shè)為q1、q2、q3、q4，并設(shè)正方形 的邊長為2R，則內(nèi)切圓的半徑為R.以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立x Oy直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

圖2

則4個(gè)電荷的坐標(biāo)為q1（R，R）、q2（－R，R）、q3（－R，－R）、q4（R，－R）.這里僅討論x Oy平面內(nèi)的電場分布，設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)A的位矢為

r＝x i＋y j，取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，4個(gè)點(diǎn)電荷在A點(diǎn)產(chǎn)生的總電勢為

通過（1）（4）（5）3個(gè)表達(dá)式，就可以得到x Oy平面內(nèi)任意點(diǎn)的電勢和電場強(qiáng)度.

2 電勢與電場分布圖像

為使圖2的點(diǎn)電荷系統(tǒng)在空間中產(chǎn)生的電場和電勢更加直觀，利用Mathematica進(jìn)行計(jì)算并繪制圖像.

2.1 x Oy平面內(nèi)的電勢分布

使用 Mathematica軟件計(jì)算（1）式，并利用ContourPlot以及Plot3D命令繪制點(diǎn)電荷所在平面（xOy平面）內(nèi)的等勢線圖和電勢高低變化的立體圖，分別如圖3、圖4所示.

圖3形象直觀地顯示出4個(gè)點(diǎn)電荷所在的二維平面上電勢的分布情況.由圖可以看出，正電荷附近電勢較高，負(fù)電荷附近電勢較低；一、三象限電勢為負(fù)，二、四象限電勢為正；正方形的各邊垂直平分線上（x軸和y軸）的各點(diǎn)電勢都為零，是等勢線；相鄰電荷間等勢線最為密集，反映了在該區(qū)域電場強(qiáng)度相對(duì)較大.圖4則很好地反映了x Oy平面內(nèi)電勢大小的相對(duì)變化，正電荷周圍圖像凸起（電勢為正），負(fù)電荷周圍圖像凹陷（電勢為負(fù)），相鄰電荷間電勢梯度最為“陡峭”，反映出該區(qū)域電場強(qiáng)度是相對(duì)較大的.對(duì)稱性方面，電勢關(guān)于正方形的兩條對(duì)角線對(duì)稱.因此不難判斷圖1中將一帶正電的點(diǎn)電荷從M點(diǎn)移到O點(diǎn)，兩點(diǎn)位于同一等勢線上，故電場力不做功；而將一帶正電的點(diǎn)電荷從L點(diǎn)移到N點(diǎn)，兩點(diǎn)電勢不同，電場力一定做功.故而（C）（D）選項(xiàng)錯(cuò)誤.

圖3

圖4

2.2 x Oy平面內(nèi)的電場分布

使用 Mathematica軟件計(jì)算（4）（5）式，并利用VectorPlot以及Plot3D命令繪制電場矢量圖和電場強(qiáng)度大小變化的立體圖，分別如圖5、圖6所示.

圖5

圖6

圖5顯示出電場強(qiáng)度的大小關(guān)于正方形的對(duì)角線或任意邊的垂直平分線（x軸和y軸）對(duì)稱，但電場方向不相同，對(duì)角線上的場強(qiáng)方向沿對(duì)角線方向，但方向是變化的.該圖還顯示了圖1中的L和N兩點(diǎn)處的電場方向相互垂直，M點(diǎn)的電場方向平行于內(nèi)切圓在該點(diǎn)處的切線，方向向左，故選項(xiàng)（A）（B）正確.點(diǎn)電荷平面內(nèi)電場強(qiáng)度大小的分布如圖6所示，“柱子”的粗細(xì)可以反映該處點(diǎn)電荷電量的大小，此圖對(duì)應(yīng)4個(gè)點(diǎn)電荷電荷量相等的情況.還可看出在點(diǎn)電荷附近電場強(qiáng)度較大，這也是不難理解的.

3 拓展討論

以上討論是正方形一對(duì)角線兩端是等量負(fù)電荷，另一對(duì)角線兩端是等量正電荷時(shí)的電勢和電場的分布.現(xiàn)在將點(diǎn)電荷的電性、電荷量、位置進(jìn)行變化，研究電性、電荷量或位置不同的情況下電勢和電場的分布.將電荷量及坐標(biāo)變化代入前文所得公式（1）（4）（5）中，再利用 Mathematica軟件計(jì)算并繪制得到對(duì)應(yīng)的電場和電勢分布圖.

圖7和圖8是4個(gè)等量同號(hào)的正電荷位于正方形4個(gè)頂點(diǎn)上的電場矢量圖和等勢線以及電勢分布.平面內(nèi)電勢大于0，電勢、電場強(qiáng)度大小關(guān)于各邊平分線和對(duì)角線具有對(duì)稱性.若是4個(gè)等量同號(hào)的負(fù)電荷，除電勢為負(fù)、電場方向相反外，分布圖相似.

圖7

圖8

圖9和圖10是把圖1中4個(gè)電荷的位置進(jìn)行調(diào)整，對(duì)角線上是兩個(gè)等量異號(hào)電荷情形下的電場和電勢分布.此時(shí)x軸是電勢為0的等勢線，y＞0區(qū)域電勢為正.電勢關(guān)于y軸具有對(duì)稱性.電場強(qiáng)度大小關(guān)于x、y軸具有對(duì)稱性.

圖9

圖10

圖11和圖12是將4個(gè)電荷的電荷量進(jìn)行調(diào)整，上面兩個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量為＋2q，下面2個(gè)電荷量為－q.此時(shí)和圖9相比，x軸顯然不再是等勢線.電勢為0的等勢線變成了圖中的一條閉合曲線，閉合曲線內(nèi)部區(qū)域電勢為負(fù).電勢、電場強(qiáng)度大小關(guān)于y軸具有對(duì)稱性.

圖11

圖12

圖13和圖14是將一條對(duì)角線上面兩個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量變?yōu)椤?q，另一條上的兩個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量變?yōu)椤纐.此時(shí)電勢、電場不再具有對(duì)稱性.電勢為零的等勢線變成了一條傾斜的曲線，曲線下方區(qū)域電勢為負(fù).

圖13

圖14

由此可見，當(dāng)場源電荷分布位置或電荷量發(fā)生變化時(shí)，空間的電場、電勢分布一定隨之改變.

4 結(jié)論

本文對(duì)2022年高考全國乙卷19題中4個(gè)位于正方形頂點(diǎn)的點(diǎn)電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場這一問題，定量計(jì)算電場、電勢的表達(dá)式，并利用 Mathematica繪制其電場和電勢分布圖，然后進(jìn)行了拓展，就4個(gè)點(diǎn)電荷電荷量、正負(fù)電性、位置的不同變化對(duì)應(yīng)的電勢與電場分布進(jìn)行了計(jì)算模擬，直觀形象地呈現(xiàn)了復(fù)雜情形時(shí)的電場、電勢分布，實(shí)現(xiàn)了可視化.模擬結(jié)果能夠有效幫助物理教師和學(xué)生理解位置對(duì)稱的4個(gè)點(diǎn)電荷的電場、電勢的大致分布及特點(diǎn).