在探究中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力
——以“全等三角形”教學(xué)為例

江蘇省常熟市外國(guó)語(yǔ)初級(jí)中學(xué) 濮 維

幾何直觀能力主要是指通過(guò)圖形來(lái)描述問(wèn)題并進(jìn)行分析的能力，即通過(guò)圖形將復(fù)雜的、晦澀的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化為具象的、清晰的幾何問(wèn)題，從而促進(jìn)對(duì)問(wèn)題解決思路的探索，實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)果的預(yù)估.對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，不僅可以幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更加直觀的理解，更有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，這在整個(gè)數(shù)學(xué)教與學(xué)過(guò)程中都非常重要.

全等三角形的研究本質(zhì)是平面幾何問(wèn)題中對(duì)兩個(gè)封閉的圖形關(guān)系研究的第一步，它是兩個(gè)三角形之間最簡(jiǎn)單、最直觀的關(guān)系.它不僅是后面平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，更是表示線段相等、角度相等這兩種數(shù)量關(guān)系的重要理論依據(jù).因此，教師在這一章節(jié)的教學(xué)中必須要求學(xué)生熟練掌握全等三角形的判定定理，并能靈活應(yīng)用，以解決平面幾何中相關(guān)的三角形問(wèn)題.

1 培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的思路

正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀”，幾何直觀正是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要工具.要想培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，必須結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，以本班具體學(xué)情為依據(jù)，靈活編排課程設(shè)計(jì)和教學(xué)內(nèi)容，并落實(shí)在課堂實(shí)踐和教學(xué)細(xì)節(jié)中.

(1)重視概念、定理，夯實(shí)幾何基礎(chǔ)

幾何概念是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，在幾何的概念教學(xué)中，僅講授概念的意義，再要求學(xué)生記憶定理公式是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.教師應(yīng)該從公式的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，對(duì)概念進(jìn)行全面分析，這樣才能幫助學(xué)生切實(shí)理解概念本質(zhì)和內(nèi)涵.幾何學(xué)的特點(diǎn)是概念多、易混淆，概念教學(xué)極大地影響學(xué)生對(duì)幾何學(xué)的學(xué)習(xí)能否入門(mén).因此，在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，教師必須講授定理內(nèi)在的聯(lián)系以及本質(zhì)，讓學(xué)生能真正地理解概念、分析概念、應(yīng)用概念.

(2)多媒體輔助教學(xué)，豐富學(xué)生體驗(yàn)

自新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái)，教師要改變教學(xué)觀念，豐富課堂教學(xué)形式，以充實(shí)學(xué)生的課堂體驗(yàn).教師要注重以學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)，表現(xiàn)在具體的教學(xué)實(shí)踐中，就是不斷提高學(xué)生的思維能力，激發(fā)學(xué)生的自主能動(dòng)性，讓學(xué)生成為課堂主體，主動(dòng)開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng).多媒體教學(xué)是指在課堂上運(yùn)用先進(jìn)的多媒體技術(shù)，將影像、圖片、聲音結(jié)合，這種輔助模式不僅可以充分吸引學(xué)生的注意力，生動(dòng)表現(xiàn)課堂內(nèi)容，更能打破傳統(tǒng)教學(xué)以老師為主體這種單一的教學(xué)模式，讓學(xué)生的課堂體驗(yàn)更豐富.在多媒體輔助下，開(kāi)展幾何教學(xué)活動(dòng)能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，激發(fā)學(xué)生想象力和創(chuàng)造力，從而切實(shí)達(dá)到提高學(xué)生的幾何直觀能力這一教學(xué)目標(biāo).

(3)培養(yǎng)數(shù)感能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合

數(shù)感能力是指學(xué)生對(duì)數(shù)字的敏感和接受能力，它也是新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的有關(guān)核心素養(yǎng)的十大概念之一.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感能力，不僅可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的敏感度，更能鍛煉學(xué)生對(duì)圖形的觀察力，提高學(xué)生的看圖能力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中很多問(wèn)題都可以通過(guò)圖形加以解決，數(shù)形結(jié)合思想的使用場(chǎng)合不只局限于函數(shù)與方程，在幾何問(wèn)題上也有很大的應(yīng)用空間.例如，通過(guò)數(shù)據(jù)尋找等量關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，以此來(lái)判斷幾何圖形的性質(zhì)、特點(diǎn)，以及圖形之間全等或相似關(guān)系等.

2 培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要針對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，還要設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方案，通過(guò)在教學(xué)方法中融入對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)來(lái)達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).接下來(lái)，以“全等三角形”為例，簡(jiǎn)述如何在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)全等三角形以及證明三角形全等的過(guò)程中提高學(xué)生的幾何直觀能力，從而達(dá)到學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.

教學(xué)目標(biāo)：

(1)知識(shí)與技能目標(biāo)：

1)能夠通過(guò)圖形給出的信息大致判斷三角形全等及全等的類型，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示兩個(gè)三角形全等的條件；

2)知道全等三角形的相關(guān)概念，能夠在兩個(gè)三角形中找到相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)、邊和角，培養(yǎng)證明三角形全等的能力；

3)經(jīng)歷探究三角形全等的過(guò)程，學(xué)會(huì)添加輔助線來(lái)為全等三角形的證明增加有效條件.

(2)過(guò)程與方法目標(biāo)：

1)在學(xué)習(xí)三角形全等的過(guò)程中針對(duì)三角形的頂點(diǎn)、角、邊培養(yǎng)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)原則，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣；

2)在證明三角形全等時(shí)，可以通過(guò)判定方法來(lái)倒推條件，并為證明創(chuàng)造條件，培養(yǎng)逆向思維.

(3)情感與技能目標(biāo)：

1)在認(rèn)識(shí)兩個(gè)完全重合的三角形時(shí)，通過(guò)將三角形旋轉(zhuǎn)、平移，理解體會(huì)這一過(guò)程中圖形變換的思想，養(yǎng)成動(dòng)態(tài)思維.

2)在創(chuàng)造條件證明三角形全等時(shí)訓(xùn)練創(chuàng)造思維，并感知幾何圖形的奧妙.

教學(xué)重難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)會(huì)尋找證明全等三角形所需的對(duì)應(yīng)元素，理解全等三角形的概念以及全等的性質(zhì)并將其運(yùn)用在實(shí)際解題過(guò)程中.

教學(xué)難點(diǎn)：能夠正確辨認(rèn)三角形全等條件中對(duì)應(yīng)的角與邊，并采用正確的判定來(lái)證明全等.

教學(xué)步驟：

(1)知識(shí)回顧，鞏固基礎(chǔ)

在全等三角形教學(xué)之前，教師要帶領(lǐng)學(xué)生有針對(duì)性地復(fù)習(xí)三角形這個(gè)板塊的知識(shí)，設(shè)計(jì)一些與三角形概念性質(zhì)等相關(guān)的問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)三角形的熟悉程度.

問(wèn)題1關(guān)于三角形我們學(xué)習(xí)了哪些概念？

問(wèn)題2三角形的內(nèi)角有什么特征？關(guān)于三角形內(nèi)角有什么定理以及推論？

問(wèn)題3以往學(xué)過(guò)的概念是針對(duì)單個(gè)的三角形還是針對(duì)多個(gè)三角形？

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，通過(guò)對(duì)三角形相關(guān)概念的回顧幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)三角形全等的基礎(chǔ).在三角形這樣的幾何圖形的教學(xué)過(guò)程中，教師要注重對(duì)概念知識(shí)的深化，通過(guò)加深對(duì)概念的理解來(lái)提高學(xué)生的幾何直觀能力，這樣學(xué)生在見(jiàn)到幾何圖形時(shí)能夠一眼挖掘其中隱藏的性質(zhì)，從而提高解決問(wèn)題的效率.

(2)創(chuàng)設(shè)情境，引出概念

在學(xué)生回顧了有關(guān)三角形的概念之后，教師可以通過(guò)多媒體播放兩個(gè)一模一樣的三角形(如圖1)，然后將其中一個(gè)三角形以動(dòng)畫(huà)的形式旋轉(zhuǎn)、平移、放大以及縮小，讓學(xué)生在觀察動(dòng)畫(huà)的過(guò)程中思考這兩個(gè)三角形的區(qū)別.比如，當(dāng)其中一個(gè)三角形縮小旋轉(zhuǎn)之后，它們之間是否具有相同的幾何性質(zhì)？這個(gè)三角形的邊與角發(fā)生了什么變化？從而引出形狀相同、大小相等的兩個(gè)三角形，并給出它們所有相等的條件.

圖1

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，借助多媒體等教學(xué)工具展示圖形的變換，比傳統(tǒng)的概念教學(xué)更能吸引學(xué)生的興趣，且學(xué)生能夠在動(dòng)畫(huà)的引導(dǎo)下，在腦海中針對(duì)圖形的變換有一個(gè)直觀的印象，有利于學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的學(xué)習(xí).最后讓學(xué)生針對(duì)兩個(gè)形狀、大小都相同的三角形進(jìn)行相等條件的挖掘，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)三角形的判定奠定了基礎(chǔ).

(3)自主探究，總結(jié)規(guī)律

最后，教師要結(jié)合課本給出的數(shù)學(xué)符號(hào)讓學(xué)生針對(duì)三角形全等的條件進(jìn)行探索.已知兩個(gè)三角形有三條對(duì)應(yīng)邊和三個(gè)對(duì)應(yīng)角，那么滿足幾個(gè)條件就可以證明兩個(gè)三角形全等呢？教師可以讓學(xué)生以這個(gè)問(wèn)題為切入點(diǎn)，尋找三角形的判定原理，并通過(guò)畫(huà)圖等方式來(lái)證明自己判斷的正誤.

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師選擇讓學(xué)生自主提出三角形全等的判定條件，然后通過(guò)畫(huà)圖等方式自主證明，提高學(xué)生的探究能力.教師還可以指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)添加輔助線來(lái)完成三角形全等的證明，通過(guò)設(shè)想、推理、驗(yàn)證的過(guò)程訓(xùn)練學(xué)生解決幾何問(wèn)題的思維邏輯性，同時(shí)達(dá)到對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng).

總的來(lái)說(shuō)，幾何直觀能力就是指將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題用簡(jiǎn)單的圖形表示出來(lái)，并能通過(guò)對(duì)圖形的分析解決問(wèn)題.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力可以增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力、圖形分析能力，更能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神，為后續(xù)長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).上文針對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的幾條思路，希望能給教育工作者帶來(lái)一點(diǎn)啟示.