樣本估計總體在生活中的應(yīng)用例析

山東省陽信縣幸福中學(xué) 菅會娟

有時由于研究對象個體太多，限于人力與物力而無法做全面的調(diào)查，抑或調(diào)查時具有破壞性，我們只能抽樣調(diào)查.抽樣的方法包括簡單隨機抽樣、分層抽樣，以及整群抽樣和系統(tǒng)抽樣等.從總體中抽取一部分個體，得到樣本，如何用樣本估計總體呢？有兩種途徑：一是從圖形的角度用樣本估計總體，它需要用頻率分布表列出各小組的頻數(shù)與頻率，抑或用頻率分布直方圖畫出頻數(shù)；二是從代數(shù)的角度用樣本估計總體，即算出樣本的平均數(shù)、方差和極差等，用樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù).本文中運用實例說明如何在實際生活中用樣本估計總體，以及具體的方法步驟和注意事項.

1 用捕撈的魚估計魚塘里的魚

魚塘里養(yǎng)了一定數(shù)量的魚，如何知道這些魚的總質(zhì)量呢？我們不可能將魚全部打撈上來稱其質(zhì)量，只能用樣本估計總體，即捕撈部分魚稱其質(zhì)量，求出魚的平均質(zhì)量，把樣本中魚的平均質(zhì)量作為總體中魚的平均質(zhì)量，再乘魚的條數(shù)，進(jìn)而估計魚的總質(zhì)量.

例1久盛養(yǎng)殖專業(yè)戶養(yǎng)了2 000條大肥魚，現(xiàn)到了捕撈銷售的時機，戶主想知道這些魚的總重量，現(xiàn)進(jìn)行了三次取樣，且記錄列表如下：

魚的條數(shù)每條魚的平均質(zhì)量/kg第一次捕撈151.6第二次捕撈152.0第三次捕撈101.8

(1)利用以上數(shù)據(jù)估計每條魚的質(zhì)量.再估計所有魚的總重量，如果戶主探知今天的魚7.5元/kg，那么戶主可收入多少錢？

(2)戶主魚塘的魚有大型魚與小型魚之分，且大型魚與小型魚的價格不相同，分別為10元/kg和6元/kg，如果此時收入仍不低于第(1)問中的收入，那么魚塘中大型魚的總質(zhì)量最少不能低于多少？

解析：(1)根據(jù)平均數(shù)的公式求解，每條魚的平均質(zhì)量×總條數(shù)=總質(zhì)量，總收入=總質(zhì)量×7.5.

每條魚的平均質(zhì)量=(15×1.6+15×2.0+10×1.8)÷40=1.8(kg)；總質(zhì)量=1.8×2 000=3 600(kg)；總收入=3 600×7.5=27 000(元).

(2)列不等式求解.設(shè)戶主大型魚的最小質(zhì)量為xkg，根據(jù)“此時收入仍不低于(1)中的收入”，得10x+6(3 600-x)≥27 000，解得x≥1 350.

答：魚塘中大型魚的總質(zhì)量最少不能低于1 350 kg.

評注：本題中樣本的平均數(shù)為加權(quán)平均數(shù)，因為表格中三個平均數(shù)的對應(yīng)魚的條數(shù)不同，即權(quán)重不同，所以不能用三個數(shù)的平均數(shù)作為三次捕撈的平均數(shù).在不等式的應(yīng)用里，一般設(shè)一個未知數(shù)建立不等式求解，盡量不設(shè)兩個未知數(shù)，因為二元不等式的解法比較復(fù)雜，且超出學(xué)生目前所學(xué)范圍.

2 用抽到的青年估計未被抽到的青年

微信是目前使用較廣的一種信息交換工具，為了解人們使用微信的時長及年齡段情況，且由于這樣的調(diào)查不具有重大意義，所以使用抽樣調(diào)查即可，即用樣本的特征數(shù)來估計總體的特征數(shù).在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，使用微信的人群以青年人和中年人居多，且他們每天使用微信的時長大多數(shù)在一小時以上，說明微信已成現(xiàn)代人類生活的必備工具.

(1)根據(jù)以上信息，完成下表：

青年人中年人合計經(jīng)常使用微信 不經(jīng)常使用微信 合計 180

(2)擁有4 000萬人口的某個省份，估計一下每天使用微信超過1小時的青年人(即年齡不過40歲)有多少？

解析：(1)根據(jù)題意逐條分析求解.

青年人中不經(jīng)常使用微信的人數(shù)為135-80=55，因為經(jīng)常使用微信的人數(shù)為90+30=120，所以不經(jīng)常使用微信的人數(shù)為180-120=60.故中年人中不經(jīng)常使用微信的人數(shù)為60-55=5，補全表格如下：

青年人中年人合計經(jīng)常使用微信8040120不經(jīng)常使用微信55560合計13545180

評注：本題涉及的量比較多，共有6個相關(guān)的量，解答時要先從易求的量入手，隨著求出量的增多，解答會越來越容易.本題運用成比例增長的方法，用樣本估計總體，即將樣本中的百分率作為總體中的百分率進(jìn)行估計.

3 用一周的用電量估計一月的用電量

現(xiàn)代家庭隨著家用電器的增多，用電問題成為大家越來越關(guān)注的話題.如何在月初預(yù)測出這個月將會使用的電量呢？需要使用樣本估計總體，可以通過連續(xù)幾天的觀察，得到幾天的用電量，求出樣本的平均用電量，用這個平均用電量乘本月的天數(shù)可估計出全月的用電量.

例3張經(jīng)來家喜遷新居，又增加了一些新的電器，在這種狀況下，一個月用多少度電呢？他在六月份的第一個周觀察了電表示數(shù)，記錄如下：

日期電表顯示度數(shù)/(kw·h)1日1152日1183日1224日1275日1336日1367日1408日143

(1)張經(jīng)來家六月份將用多少度電？

(2)張經(jīng)來使用一周的用電量來估算整個一年的用電情況合適嗎？

(3)如何估算張經(jīng)來家整個一年的用電量更合適？

解析：(1)先求一周的總電量，除天數(shù)得每天的平均用電量，再乘以30天，得一個月的用電量.7天的總用電量=143-115=28(kw·h)，每天的平均用電量=28÷7=4(kw·h)，六月有30天，故這個家庭六月份的總用電量為4×30=120(kw·h).

(2)根據(jù)電器的季節(jié)使用情況判定.因為六月份屬于夏季，用電量較大，所以用這個月的用電量估計全年的用電量不妥當(dāng).

(3)每種電器的使用情況不一樣，要分別估計用電量，再估計一年的用電情況.

評注：電度表每天都有一個示數(shù)，每天的用電量應(yīng)該用第二天的示數(shù)減去第一天的示數(shù)，一周的用電量應(yīng)該用周一的示數(shù)減去上周一的示數(shù).本題不僅考查了用樣本估計總體，而且還考查了抽樣調(diào)查的合理性，抽取的樣本具有代表性和廣泛性，才是合理的.

4 用樹苗成活率估計成活的樹苗

由于受土壤、氣溫、人工操作等諸多因素的影響，移栽樹苗時一般不可能100%成活，都有一定的成活率，這是我們都必須承認(rèn)的事實，所以園林公司要想得到成活后的一萬棵樹苗，那么開始移栽的樹苗數(shù)量必須大于一萬棵，到底多移栽多少棵呢？我們可以通過實驗的方法找到成活率，用一萬棵除以成活率就可以得到開始移栽的數(shù)量.

例4南方某市市政公司培育出新品種風(fēng)景樹苗，為考察這種風(fēng)景樹苗的移植成活率，調(diào)查人員進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表所示.

累積移植總數(shù)/棵1005001 0002 0005 00010 000成活率0.9100.9680.9420.9560.9470.950

這個城市實施打造人類宜居環(huán)境，需移植一批這種樹苗，若這批樹苗移植后要有28.5萬棵成活，那么需要一次性移植多少棵樹苗，較為合適？為什么？

解析：由題中表格可知，隨著樹苗移植數(shù)量的增加，樹苗移植成活率越來越穩(wěn)定.當(dāng)移植總數(shù)為10 000時，成活率為0.950，于是可以估計樹苗移植成活率為0.950，則該市需要購買的樹苗數(shù)量約為28.5÷0.950=30(萬棵).

評注：此題是用多次重復(fù)試驗得到成活率，則可將頻率的穩(wěn)定值作為一棵樹苗成活的概率，然后用成活的樹苗數(shù)除以頻率，得到總數(shù)，即移植樹苗的數(shù)量.整個解答過程可分為兩步，一是先用頻率估計概率，二是再用樣本概率估計總體概率.

用樣本估計總體的應(yīng)用還包括在摸球試驗中，用摸出一種顏色球的頻率，估計口袋里小球的總數(shù)量等，但是無論我們?nèi)绾纬槿颖?，樣本總是總體的一部分，樣本的平均數(shù)只能反映樣本的集中趨勢，然而總體的集中趨勢只能由總體平均數(shù)反映最準(zhǔn)確，兩個量不可能完全相同，有一定的差異，只能盡可能接近，我們得到的是一個估計值.