利用知識(shí)互聯(lián)破解初中“有理數(shù)除法”教學(xué)難點(diǎn)

陳潔

（上海市竹園中學(xué) 上海 200137）

一、簡(jiǎn)介

1.背景介紹

當(dāng)前階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了滬教版教材預(yù)備年級(jí)下冊(cè)第五章“有理數(shù)”前六節(jié)的內(nèi)容。掌握了分?jǐn)?shù)的乘除法相關(guān)知識(shí)，以及有理數(shù)的加、減、乘法的運(yùn)算法則，即將開始學(xué)習(xí)第七節(jié)“有理數(shù)的除法”的內(nèi)容。該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是熟悉有理數(shù)除法的運(yùn)算規(guī)律，掌握運(yùn)算法則，確定商的符號(hào)，難點(diǎn)是靈活運(yùn)用除法法則。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可知，初學(xué)時(shí)學(xué)生會(huì)遇到的障礙主要包括：①容易忽視除數(shù)必須非零；②不能便捷、清晰地確定運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)；③求解除數(shù)的倒數(shù)缺少方法。

2.本文貢獻(xiàn)

本文通過分析學(xué)生在“有理數(shù)除法”學(xué)習(xí)中遇到的困難，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)規(guī)律，設(shè)計(jì)了基于知識(shí)互聯(lián)的“有理數(shù)除法”教學(xué)方法。該方法引導(dǎo)學(xué)生借助觀察、思考、類比和歸納等方法，依據(jù)已經(jīng)掌握的分?jǐn)?shù)除法以及有理數(shù)加、減、乘法的運(yùn)算法則，經(jīng)歷有理數(shù)除法運(yùn)算規(guī)律的分析與推理，初步形成感性認(rèn)識(shí)?；谥R(shí)互聯(lián)的“有理數(shù)除法”教學(xué)方法，能夠培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)挖掘各知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，自主探索構(gòu)建知識(shí)體系的能力。

二、基于知識(shí)互聯(lián)的“有理數(shù)除法”課堂教學(xué)

本文將“有理數(shù)除法”的課堂教學(xué)劃分為以下三個(gè)階段：知識(shí)準(zhǔn)備；知識(shí)互聯(lián)探索；方法凝練。幫助學(xué)生依據(jù)已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)，自主探索整數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算和有理數(shù)乘除法運(yùn)算之間的知識(shí)互聯(lián)，明確有理數(shù)除法的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)，理解運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系的能力，促使學(xué)生從感性經(jīng)驗(yàn)到理性認(rèn)知的過渡，最終具備完成知識(shí)理論化描述的能力。

1.知識(shí)準(zhǔn)備

知識(shí)準(zhǔn)備是本教學(xué)方法的前導(dǎo)階段，主要包括以下兩個(gè)環(huán)節(jié)：（1）知識(shí)導(dǎo)入；（2）明確求除數(shù)倒數(shù)的方法。通過引導(dǎo)學(xué)生梳理分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算中求除數(shù)倒數(shù)的方法，強(qiáng)調(diào)除數(shù)的取值范圍，探索有理數(shù)除法的特點(diǎn)，及其和整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的差異。本階段的目的：借助乘除法運(yùn)算的互逆關(guān)系，明確求倒數(shù)的方法和思考方式，將對(duì)有理數(shù)除法性質(zhì)模糊認(rèn)識(shí)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)榍逦倪\(yùn)算法則做好前期準(zhǔn)備工作，為建立有理數(shù)運(yùn)算與整數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算之間的聯(lián)系奠定基礎(chǔ)。

（1）知識(shí)導(dǎo)入

在課堂導(dǎo)入1中，學(xué)生可以通過觀察整數(shù)除法中被除數(shù)、除數(shù)和商的符號(hào)之間的關(guān)系，類比整數(shù)運(yùn)算法則，探索有理數(shù)除法運(yùn)算法則，引導(dǎo)學(xué)生掌握從已知探索新知的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，以及從直觀思維到抽象思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律。

課堂導(dǎo)入1 口算：5×（-7）=__；（-5）×（-7）=__；35÷（-5）=__；35÷（-7）=___。

根據(jù)課堂導(dǎo)入1，請(qǐng)學(xué)生嘗試歸納算法。

生1：兩數(shù)相乘或者相除，如果是兩個(gè)正數(shù)，結(jié)果就是正的。如果是一正一負(fù)，結(jié)果就是負(fù)的；

生2：兩數(shù)相乘或者相除，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)；

生3：兩數(shù)相除，等于被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)。

（2）明確求倒數(shù)的方法

利用課堂導(dǎo)入2和例題1，引導(dǎo)學(xué)生明確有理數(shù)除法運(yùn)算和分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算中求除數(shù)倒數(shù)方法的一致性。即先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，或者小數(shù)化為分?jǐn)?shù)后，再將除數(shù)的分子與分母顛倒求其倒數(shù)，最后分析題目中標(biāo)注各個(gè)字母取值范圍的必要性。學(xué)生明確了求有理數(shù)倒數(shù)的方法與思考路徑后，有必要將新知建構(gòu)活動(dòng)難度增大。筆者設(shè)計(jì)了例題2，求字母的倒數(shù)。設(shè)計(jì)的新問題再次引起學(xué)生的注意。在探索有理數(shù)運(yùn)算與整數(shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算乃至整式運(yùn)算各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性和條理性。

課堂導(dǎo)入2 填空：①0÷4=____；② 0÷（-2）=____。

例題1：求下列各數(shù)的倒數(shù)：

例題2：求下列各數(shù)的倒數(shù)：

2.知識(shí)互聯(lián)探索

知識(shí)互聯(lián)是本教學(xué)方法的核心階段。主要包括以下三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）形成理性思考，總結(jié)有理數(shù)除法規(guī)律；（2）初步掌握規(guī)律；（3）練習(xí)鞏固提高。有理數(shù)運(yùn)算是對(duì)整數(shù)運(yùn)算和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的整合與拓展，因此它們的運(yùn)算規(guī)律具有可比性。知識(shí)互聯(lián)的教學(xué)方法即是依據(jù)有理數(shù)運(yùn)算的上述特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生利用整數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決有理數(shù)乘除法運(yùn)算轉(zhuǎn)換的問題。本階段的目的是：挖掘各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，將零散的知識(shí)編織成網(wǎng)，完善學(xué)生的知識(shí)體系，提升學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模式的能力。

（1）形成理性思考，總結(jié)有理數(shù)除法規(guī)律

在本環(huán)節(jié)中，利用例題3引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、類比和歸納整數(shù)運(yùn)算與有理數(shù)運(yùn)算的知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系，將感性認(rèn)識(shí)以文字語(yǔ)言的形式表現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試自主突破教學(xué)重難點(diǎn)。學(xué)生從會(huì)做練習(xí)到熟悉有理數(shù)除法運(yùn)算性質(zhì)的過程中，厘清問題的本質(zhì)，得到解決問題的通法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有的關(guān)聯(lián)性，強(qiáng)化對(duì)有理數(shù)除法運(yùn)算法則的理解。

例題3：計(jì)算：

請(qǐng)學(xué)生再次嘗試總結(jié)運(yùn)算規(guī)律。

生4：除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)；

生5：除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)；

生6：除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘以一個(gè)不為零的數(shù)的倒數(shù)。

鞏固練習(xí)：填空：有理數(shù)除法法則。

兩數(shù)相除，____得正，____得負(fù)，并把____相除；零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，都得_______；除以一個(gè)_______，等于乘以________。

（2）初步掌握規(guī)律

本文的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是熟悉有理數(shù)除法的運(yùn)算規(guī)律，掌握運(yùn)算法則。因此，教學(xué)過程中，借助例題4解決熟悉有理數(shù)乘除法運(yùn)算邏輯順序。常規(guī)的運(yùn)算邏輯順序是先確定結(jié)果的符號(hào)，然后將除法變?yōu)槌朔?，最后類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算完成化簡(jiǎn)，得到最終結(jié)果。在建立了分?jǐn)?shù)運(yùn)算、整數(shù)運(yùn)算與有理數(shù)運(yùn)算的知識(shí)互聯(lián)后，學(xué)生初步具備化繁為簡(jiǎn)的能力，為提升解決數(shù)學(xué)問題的思維能力奠定了基礎(chǔ)。

例題4：計(jì)算：

通過例題4，學(xué)生經(jīng)歷反復(fù)領(lǐng)悟有理數(shù)除法法則的過程。

生7：要將除法都變成乘法才能做；

生8：首先，觀察題目中正負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)確定結(jié)果的符號(hào)，然后，通過求倒數(shù)的方法將除法轉(zhuǎn)化為乘法后再做；

生9：如果乘除法中出現(xiàn)零，結(jié)果就為零；

生10：審題時(shí)先看有沒有出現(xiàn)零，如果有，那么結(jié)果就為零。如果沒有就先確定結(jié)果的正負(fù)號(hào)，然后除法都變?yōu)槌朔?，先化?jiǎn)，最后得到結(jié)果。

3.總結(jié)凝練

總結(jié)凝練是本教學(xué)方法的關(guān)鍵階段，其包括從總結(jié)有理數(shù)除法運(yùn)算的恒等變形規(guī)律，到凝練有理數(shù)除法的常規(guī)運(yùn)算邏輯順序，目的是培養(yǎng)學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)過程中從感性經(jīng)驗(yàn)過渡到理性認(rèn)知，從解決特殊案例拓展到解決普遍問題的能力。

（1）實(shí)現(xiàn)有理數(shù)除法法則表述

為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，如果只是一味地增加練習(xí)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于運(yùn)算法則僅限于機(jī)械模仿和淺表理解，無法做到用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新情境中的問題。此處教學(xué)設(shè)計(jì)利用知識(shí)互聯(lián)關(guān)注運(yùn)算法則的細(xì)節(jié)辨析，加深學(xué)生對(duì)于有理數(shù)運(yùn)算法則特征的理解，深刻地理解數(shù)學(xué)概念和法則等數(shù)學(xué)結(jié)論。

（2）建立思考模式

為了促使學(xué)生建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考模式，筆者設(shè)計(jì)了一道從具體的數(shù)字過渡到未知字母、從特殊到一般的變式練習(xí)，為今后學(xué)習(xí)整式除法和分式的除法建立必要的知識(shí)互聯(lián)，做好前期的知識(shí)儲(chǔ)備。

三、效果評(píng)估

為了驗(yàn)證本文所提出的利用知識(shí)互聯(lián)破解初中“有理數(shù)除法”教學(xué)難點(diǎn)的方法應(yīng)用有效性，分析該方法對(duì)于改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)和提高學(xué)生掌握知識(shí)的程度的作用。筆者選取所教的六（1）班和六（2）班的學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)。兩個(gè)班級(jí)是平行班級(jí)，可以認(rèn)為無顯著差距。將1班作為實(shí)驗(yàn)班，采用利用知識(shí)互聯(lián)破解初中“有理數(shù)除法”教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)方法；將2班作為對(duì)比班，采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式。

1.學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)情況分析

教學(xué)結(jié)束后，針對(duì)兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行問卷調(diào)查。題目采用4級(jí)記分制：從“完全可以”“基本可以”“基本不能”到“完全不能”，依次計(jì)分4到1分。具體問卷見表1所列。

表1 學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)問卷

利用知識(shí)互聯(lián)的教學(xué)方法注重分析數(shù)學(xué)知識(shí)之間的互聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生明確有理數(shù)除法運(yùn)算的邏輯順序和思維方法，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成了清晰的解題思路，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于有理數(shù)除法法則的理性認(rèn)識(shí)，從而緩解了學(xué)生對(duì)于本節(jié)課學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難情緒[2]。問卷結(jié)果符合教學(xué)設(shè)計(jì)理念。實(shí)驗(yàn)班在第3個(gè)問題、第7個(gè)問題和第8個(gè)問題中得分明顯高于對(duì)照班。說明利用知識(shí)互聯(lián)破解初中“有理數(shù)除法”教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)方法，在培養(yǎng)學(xué)生厘清知識(shí)之間的聯(lián)系和自主探索構(gòu)建知識(shí)體系的能力方面具有顯著的效果（圖1）。

圖1 學(xué)習(xí)體驗(yàn)分析表

2.學(xué)生知識(shí)掌握程度情況分析

筆者對(duì)兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試檢查學(xué)生課后的知識(shí)掌握情況。測(cè)試卷滿分為100分，80分及以上為優(yōu)良，60分及以上為及格，低于40分為低分。測(cè)試結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)班的均分高于對(duì)比班4.8分，優(yōu)良率無明顯變化，及格率高出接近14%，低分率低于對(duì)比班11.4%。說明利用知識(shí)互聯(lián)破解初中“有理數(shù)除法”教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)方法對(duì)于學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)良段的學(xué)生影響不大，但是能夠明顯提升班級(jí)及格率和降低低分率（表2）。

表2 數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)對(duì)比

結(jié)語(yǔ)

基于知識(shí)互聯(lián)分析的教學(xué)方法，利用學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，在“有理數(shù)除法”的教學(xué)中進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用。結(jié)果表明，該方法具有培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系和明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯順序的能力，以及養(yǎng)成較好的思維模式等優(yōu)點(diǎn)。在提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力方面表現(xiàn)突出，證明了其在教學(xué)實(shí)踐中的有效性，能夠較為容易地推廣到一般其他的教學(xué)實(shí)踐中，具有良好的普及價(jià)值。在完成知識(shí)的理論化描述和抽象表達(dá)的過程中，實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出“讓學(xué)生學(xué)會(huì)自行獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)造的過程”的目標(biāo)。