新課標(biāo)指引下小學(xué)低年級(jí)圖象表征促進(jìn)數(shù)學(xué)理解力探究

周冰嫻

（蘇州市勞動(dòng)路實(shí)驗(yàn)小學(xué)校，江蘇 蘇州 215000）

“雙減”政策，對(duì)于低年級(jí)教師來(lái)說(shuō)是充滿挑戰(zhàn)的，一二年級(jí)不允許布置家庭書面作業(yè)，如何做才能“提質(zhì)增效”成為教師們的難題。首先就要摒棄之前“刷題”制勝的方法，把課堂40 分鐘有效利用起來(lái)。精講例題，注重教學(xué)方法的講解，從提高學(xué)生的理解力入手，減負(fù)增效提高教學(xué)質(zhì)量。說(shuō)起來(lái)容易做起來(lái)難，那到底怎么提高教學(xué)質(zhì)量呢？教師可以借助圖像表征讓抽象的數(shù)學(xué)可視化，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在畫圖的過(guò)程中促進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的發(fā)展，從而達(dá)到抽象、推理、建模的過(guò)程。

一、定義

表征是認(rèn)知心理學(xué)的概念之一，指信息或知識(shí)在心理活動(dòng)中的表現(xiàn)和記載的方式，是外部事物在心理活動(dòng)中的內(nèi)部再現(xiàn)。為了交流研究數(shù)學(xué)概念，必須對(duì)數(shù)學(xué)的概念作出表征，表征是用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為，也指形式本身。

二、小學(xué)低年段圖像表征的現(xiàn)狀

在探索低年段圖像表征現(xiàn)狀時(shí)，筆者采用了調(diào)查問(wèn)卷、訪談等方法，從學(xué)生、教師、教材分析，有以下幾點(diǎn)現(xiàn)狀。

（一）教學(xué)忽略本質(zhì)

小學(xué)低年級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)看似是簡(jiǎn)單的，有的孩子幼小銜接已經(jīng)學(xué)過(guò)了一二年級(jí)的內(nèi)容，導(dǎo)致現(xiàn)在的孩子們到了小學(xué)已經(jīng)是“不教就會(huì)”的狀態(tài)。教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)會(huì)做題了，就不研究教學(xué)方式，更多的是把教學(xué)內(nèi)容放在拓展提高上，讓學(xué)生發(fā)展更高階的思維。孰不知，這些看似簡(jiǎn)單的知識(shí)他們并非完全掌握，學(xué)生對(duì)知識(shí)理解只是浮于表面，對(duì)于其邏輯根據(jù)、思想方法和價(jià)值意義卻不一定知曉。如，在一二年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容中，很多需要擺一擺、畫一畫的活動(dòng)如果不讓學(xué)生操作后思考，學(xué)生就缺少了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有從本質(zhì)上理解。

在2022 版課標(biāo)中，明確提出要重視知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)。只有注重知識(shí)的本質(zhì)才能讓學(xué)生的思維走得更高、更遠(yuǎn)。因此，教師不能因?yàn)橹R(shí)簡(jiǎn)單就忽略了本質(zhì)的教學(xué)。

（二）畫圖意識(shí)淡薄

筆者對(duì)一年級(jí)兩個(gè)班進(jìn)行了前測(cè)，布置了一些需要用畫圖的策略解決的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)個(gè)別學(xué)生已經(jīng)有了一些用畫圖的方法解決問(wèn)題的能力，這幾個(gè)學(xué)生平時(shí)成績(jī)都比較優(yōu)秀，但大部分學(xué)生還沒(méi)有用畫圖解決問(wèn)題的意識(shí)，看到題目就不知道從何下手，就寫下了一個(gè)錯(cuò)誤答案，下面留白區(qū)域一片空白。后來(lái)筆者問(wèn)這個(gè)學(xué)生：“這道題你是怎么想的？”他說(shuō)：“我不知道怎么做，也就是他不知道可以用畫圖的策略解決?！边€有個(gè)學(xué)生想到要畫圖解決問(wèn)題，但是他畫出來(lái)的和題中描述的條件完全不同。筆者認(rèn)為用畫圖策略解決問(wèn)題的能力需要教師有意識(shí)地進(jìn)行培養(yǎng)，并隨著教學(xué)進(jìn)度設(shè)計(jì)一系列畫圖練習(xí)，才能讓學(xué)生掌握把數(shù)學(xué)語(yǔ)言和圖像表征互相轉(zhuǎn)化的能力。

（三）思考模式受限

低年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)是以形象為主。而教材多以文字和數(shù)字編排，即使有情境圖的支撐，也不足以在抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的形象思維之間建立聯(lián)系。比如，在低年級(jí)學(xué)習(xí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，課本上都是幾段話描述怎么想的，但是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是過(guò)于抽象了。如果能在書本上有表示數(shù)量關(guān)系的線段圖，更有利于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，解決實(shí)際問(wèn)題。而運(yùn)用圖像表征分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、表達(dá)概念、表達(dá)個(gè)人思考、輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，本質(zhì)上就是把思維可視化。

圖像表征，正是一個(gè)好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，在低年級(jí)學(xué)生擅長(zhǎng)的形象思維與數(shù)學(xué)課本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間，建立起一座橋梁。

三、提效小學(xué)低段學(xué)生數(shù)學(xué)理解力的路徑

基于現(xiàn)狀，結(jié)合實(shí)踐，筆者認(rèn)為利用圖像表征促進(jìn)小學(xué)低段學(xué)生理解力的實(shí)施中可以采用以下策略：

（一）活用畫圖策略，促進(jìn)教學(xué)并軌

1.畫圖，理清數(shù)量關(guān)系

在解決問(wèn)題時(shí)，理清數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵步驟，用畫圖的方法理清數(shù)量關(guān)系是一個(gè)好方法。筆者以廓線圖和線段圖為例，除了這兩種圖，還可以用其他圖表示數(shù)量關(guān)系。

（1）畫廓線圖

低年級(jí)的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，其中一年級(jí)的數(shù)量關(guān)系以：部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)，總數(shù)-部分?jǐn)?shù)=部分?jǐn)?shù)為主。那么怎么幫助學(xué)生理清這種數(shù)量關(guān)系呢？從上學(xué)期的一圖四式，到后來(lái)的看圖列式，最后看文字列算式，都是把總數(shù)分成了兩個(gè)部分。

求總數(shù)就只要把兩個(gè)部分的數(shù)合起來(lái)，要求其中的一部分只要用總數(shù)去掉另外一部分。都是用了這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式。

在解決問(wèn)題時(shí)難點(diǎn)是分析數(shù)量關(guān)系。如，一共領(lǐng)走44 袋牛奶，還剩20 袋，原來(lái)有多少袋牛奶？這是典型的求被減數(shù)的實(shí)際問(wèn)題。很多小學(xué)生都會(huì)用減法來(lái)做。因?yàn)榭吹搅恕邦I(lǐng)走”“還?！钡仍~語(yǔ)，在他們印象里這都是和減法相關(guān)的詞。但是如果把它畫成廓線圖就會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)有的牛奶被分成了兩個(gè)部分，一個(gè)部分是被領(lǐng)走的44 袋，還有一個(gè)部分是還剩的20 袋，要求原來(lái)有多少袋牛奶？其實(shí)是求一個(gè)總數(shù)，也就是要用加法解決。

如果學(xué)生學(xué)會(huì)畫廓線圖，只要把已知條件和問(wèn)題找到，把它們填進(jìn)去，就能很快分析出數(shù)量關(guān)系了。然而會(huì)用廓線圖的小學(xué)生寥寥無(wú)幾，于是筆者專門在課后增設(shè)了一次廓線圖畫法的教學(xué)，讓學(xué)生先畫出廓線，然后找到題中的條件和問(wèn)題，再把條件問(wèn)題填進(jìn)廓線圖中，在問(wèn)題上標(biāo)注問(wèn)號(hào)。畫好后讓學(xué)生互相討論自己是怎么畫的。有的學(xué)生說(shuō)，只要先找到總數(shù)的量，然后再找其他兩個(gè)部分就好找了。課后筆者還讓學(xué)生自己選擇兩道加減法解決問(wèn)題并畫出它的廓線圖，鞏固廓線圖理解數(shù)量關(guān)系。

包括易錯(cuò)題中的?？汀百I東西”題也可以用廓線圖理解。如，小紅付了30 元，找回2 元，她買了什么？經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生對(duì)于“付出的錢”“找回的錢”“物品的價(jià)錢”這三者的數(shù)量關(guān)系很難理清，因?yàn)殡娮又Ц兜钠占?，學(xué)生對(duì)人民幣的認(rèn)知少之又少，更沒(méi)有買東西的經(jīng)驗(yàn)，脫離了他們的生活。于是筆者根據(jù)一次買東西的實(shí)例，把這三者畫成了廓線圖，讓他們知道，付出的錢是總數(shù)，被分成了兩個(gè)部分，一個(gè)部分是找回的錢，另一個(gè)部分是物品的價(jià)錢。

經(jīng)過(guò)這樣的分析以后，學(xué)生就知道了要求物品的價(jià)錢就是求一個(gè)部分?jǐn)?shù)，只要用付出的錢減找回的錢就行了。這個(gè)廓線圖是最基本的數(shù)量關(guān)系建構(gòu)模型，需要學(xué)生學(xué)會(huì)畫，因此在指導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)，把它對(duì)應(yīng)的廓線圖畫在旁邊，讓他們練習(xí)畫圖的同時(shí)，理清數(shù)量關(guān)系。

（2）畫線段圖

雖然從三年級(jí)開(kāi)始才接觸用畫線段圖的策略解決實(shí)際問(wèn)題，但是一二年級(jí)已經(jīng)出現(xiàn)了可以用畫線段圖解決的問(wèn)題了。在二年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“求比一個(gè)數(shù)多或少幾的數(shù)”時(shí)，就出現(xiàn)了線段圖，學(xué)生能找到已知條件和問(wèn)題：楊樹(shù)有39 棵，松樹(shù)比楊樹(shù)多16 棵，松樹(shù)有多少棵？能通過(guò)觀察線段圖發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，楊樹(shù)有39棵+比楊樹(shù)多的16 棵=松樹(shù)的數(shù)量。為了讓學(xué)生掌握簡(jiǎn)單的線段圖，筆者在課后編寫一道類似的數(shù)學(xué)題，并畫出它的線段圖。有的學(xué)生以自己和同學(xué)的“智慧星”數(shù)量出題，也有學(xué)生以自己和父母的年齡出題。學(xué)生在畫的時(shí)候因?yàn)槭亲约焊信d趣的問(wèn)題，所以積極性很高。

因此在二年級(jí)就讓學(xué)生接觸簡(jiǎn)單的線段圖畫法，這樣到了三年級(jí)就不會(huì)出現(xiàn)斷崖式教學(xué)了。畫線段圖的策略應(yīng)該盡早讓學(xué)生熟悉。一年級(jí)就出現(xiàn)的廓線圖其實(shí)是線段圖的前身，所以之前說(shuō)的讓學(xué)生會(huì)畫廓線圖也是為之后畫線段圖做準(zhǔn)備的。廓線圖——簡(jiǎn)單的線段圖——線段圖，這樣鋪墊一下教學(xué)效果更佳。

2.畫圖，理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念往往抽象難理解，比如認(rèn)識(shí)時(shí)間，1 時(shí)=60 分，1 分=60 秒。為什么它們之間的進(jìn)率是60？為什么1 天24 時(shí)。這些概念對(duì)二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)太難理解了。因?yàn)樗麄儸F(xiàn)在看到的都是電子鐘，沒(méi)有鐘面，因此對(duì)于認(rèn)識(shí)時(shí)間的學(xué)習(xí)他們沒(méi)有生活經(jīng)驗(yàn)。然后筆者想出了一個(gè)可以試著自己畫鐘面的方法。學(xué)生對(duì)“畫鐘”很感興趣，他們用了各色彩筆畫了1 到12 的數(shù)字，用紅色表示1 大格，知道了一圈有12 大格。用綠色表示1 小格，知道了1 大格里有5 小格，1 圈里有60 小格，也就是1 時(shí)=60 分。用長(zhǎng)長(zhǎng)的紙條表示分針、短短的紙條表示時(shí)針，知道了分針長(zhǎng)時(shí)針短。他們?cè)凇爱嬬姟睍r(shí)，對(duì)時(shí)間的概念有了更深刻的理解。畫好以后，還能撥一撥，對(duì)時(shí)間的概念掌握得更牢固。

再比如，怎么理解“余數(shù)比除數(shù)小”呢？在學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法時(shí)，學(xué)生計(jì)算經(jīng)常出現(xiàn)余數(shù)比除數(shù)大的情況。如：16÷4=3……4 這為什么是不對(duì)的呢？這是因?yàn)槎昙?jí)學(xué)生以形象思維為主，對(duì)抽象概念的理解是困難的。因此在教學(xué)例題時(shí)，讓學(xué)生畫一畫圈一圈，15÷4，把15 根小棒每4 根一份，可以圈出3 份多3 根，如果再多1 根小棒，16÷4，發(fā)現(xiàn)3 份多了4 根，4 根又可以圈出一份，這時(shí)候就是4 份。在圈畫的過(guò)程中，學(xué)生理解了為什么16÷4=3……4 是不對(duì)的，也就是因?yàn)橛鄶?shù)要比除數(shù)小，達(dá)到通過(guò)圖像表征促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的抽象概念的目的。

3.畫圖，整理知識(shí)體系

學(xué)生的知識(shí)是不成整體的，碎片化的知識(shí)有容易被遺忘的特點(diǎn)。就像一根筷子容易被折斷，而一捆筷子不容易被折斷是一樣的道理。數(shù)學(xué)知識(shí)是系統(tǒng)的一個(gè)整體，知識(shí)與知識(shí)是有聯(lián)系的。筆者認(rèn)為現(xiàn)在要做的是把他們的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，不能拘泥于知識(shí)本身的教學(xué)，要多關(guān)心知識(shí)的來(lái)源、類型差異、共同屬性以及知識(shí)之間的組織結(jié)構(gòu)。低年級(jí)學(xué)生的思維發(fā)展還在具體運(yùn)算階段，要讓他們獨(dú)立完成一張思維導(dǎo)圖是比較困難的。在單元復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以在課上進(jìn)行思維導(dǎo)圖生成，一邊引導(dǎo)學(xué)生回憶知識(shí)，一邊利用希沃白板的思維導(dǎo)圖功能簡(jiǎn)單生成一個(gè)思維導(dǎo)圖，或者直接在黑板上書寫導(dǎo)圖。如果每個(gè)單元都這樣堅(jiān)持下去，到了中年級(jí)，學(xué)生就能自己整理知識(shí)體系。運(yùn)用思維導(dǎo)圖有利于促進(jìn)學(xué)生形成知識(shí)之間的組織結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生理解力的提高，讓學(xué)生的思維變得更廣闊。

（二）創(chuàng)設(shè)畫圖練習(xí)，貫穿數(shù)學(xué)理解

認(rèn)識(shí)圖形，圖形雖然是形象的，但是學(xué)生的空間想象能力還沒(méi)有發(fā)展到一定程度。這就需要教師不斷地創(chuàng)設(shè)畫圖練習(xí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

1.巧畫，重視教材習(xí)題

如三年級(jí)學(xué)的《認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)》，一直是學(xué)生們的重災(zāi)區(qū)。經(jīng)常聽(tīng)見(jiàn)教師對(duì)學(xué)生說(shuō)“你們畫圖”，但是學(xué)生就是不畫。為什么會(huì)這樣呢？還是追根溯源到一二年級(jí)的認(rèn)識(shí)圖形，是不是也存在斷崖式教學(xué)呢？從一年級(jí)下認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形開(kāi)始就要求學(xué)生在方格圖上畫圖形了。但是在課本上并沒(méi)有重視畫法，只是讓學(xué)生認(rèn)圖形數(shù)圖形。到了二年級(jí)上開(kāi)始畫線段和在點(diǎn)子圖里畫平行四邊形，認(rèn)識(shí)了“七巧板”并運(yùn)用七巧板拼出不同的圖形。

2.常畫，積累畫圖經(jīng)驗(yàn)

只要功夫深，鐵杵磨成針。只有不斷地練習(xí)，才能讓學(xué)生獲得畫圖這一能力。要把數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征轉(zhuǎn)化成圖像表征是需要建立在理解的基礎(chǔ)上的，需要教師在平時(shí)就讓學(xué)生畫一畫，這樣學(xué)生才能真正地理解。教師在抱怨學(xué)生沒(méi)有按照教師規(guī)定的要求做之前，是不是要反省一下，有沒(méi)有把方法教給他們呢？經(jīng)過(guò)畫圖練習(xí)，才能讓圖像表征促進(jìn)學(xué)生理解力的發(fā)展。

（三）設(shè)計(jì)特色作業(yè)，提升學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)

為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)多元的評(píng)價(jià)平臺(tái)，教師可以把圖像表征和特色作業(yè)結(jié)合起來(lái)，既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能在圖像表征中促進(jìn)學(xué)生的理解力，一石二鳥(niǎo)何樂(lè)不為呢？

1.平時(shí)作業(yè)：數(shù)字開(kāi)花

本學(xué)期是特殊的，因?yàn)橐咔?，學(xué)生有兩個(gè)月時(shí)間在家里線上學(xué)習(xí)。因此，學(xué)習(xí)《認(rèn)識(shí)100 以內(nèi)的數(shù)》時(shí)，筆者很擔(dān)心能不能把數(shù)的組成學(xué)好，又擔(dān)心學(xué)生會(huì)不會(huì)因?yàn)樵诩覜](méi)有學(xué)習(xí)氛圍所以沒(méi)有學(xué)習(xí)動(dòng)力。于是筆者設(shè)計(jì)了《數(shù)字開(kāi)花》這個(gè)作業(yè)，先畫一朵花，在花蕊中寫上自己喜歡的數(shù)字，然后在花瓣上可以寫上這個(gè)數(shù)字的組成，或者一句話。比如，47,4 個(gè)十和7 個(gè)一合起來(lái)是47，或者畫上47 的計(jì)數(shù)器圖，或者寫上比46 大，比48小的數(shù)，或者個(gè)位上是7，十位比個(gè)位小3 的數(shù)等。只要寫上一句是這個(gè)數(shù)字的話就可以了。讓畫和數(shù)相結(jié)合，能讓學(xué)生更好地理解數(shù)的組成，也提高了學(xué)習(xí)興趣。

這份作業(yè)是比較容易完成的，可以利用雙休日完成，不占用太多時(shí)間，也讓孩子體會(huì)到畫數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

2.假期作業(yè)：快樂(lè)的一天

學(xué)生對(duì)時(shí)間的概念是模糊的，在寒假里讓學(xué)生將鐘面的繪制與一天的生活結(jié)合起來(lái)，為自己的一天畫一張圖。學(xué)生通過(guò)觀察鐘面時(shí)針、分針的變化，無(wú)形中對(duì)時(shí)間有了更深刻的理解。因?yàn)橐嬕惶熘械臅r(shí)間，讓學(xué)生對(duì)時(shí)間產(chǎn)生了濃厚的興趣，既鍛煉了學(xué)生的觀察能力，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的畫圖能力。下次再遇到鐘面馬上能聯(lián)想到這次作業(yè)。

這份作業(yè)可以在假期里完成，假期相對(duì)而言時(shí)間較多，可以利用假期讓學(xué)生鞏固學(xué)期中學(xué)習(xí)比較困難的內(nèi)容。

四、結(jié)語(yǔ)

學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常常找不到數(shù)量關(guān)系，其實(shí)只要通過(guò)畫線段圖這些問(wèn)題就迎刃而解了。學(xué)生在認(rèn)識(shí)圖形時(shí)常常不能理解其概念，其實(shí)只要常畫、巧畫，定能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解圖形的概念。數(shù)學(xué)理解力和圖像表征是互相促進(jìn)的關(guān)系，只有理解了數(shù)學(xué)概念才能把它轉(zhuǎn)化成圖像表征，相反通過(guò)圖像表征的方式才能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)表征之間的轉(zhuǎn)化和建立表征之間的聯(lián)系。通過(guò)圖像表征促進(jìn)低年級(jí)學(xué)生的理解力，是當(dāng)前“雙減”背景下提質(zhì)增效不可或缺的關(guān)鍵。