數(shù)學(xué)深度教學(xué)的三個(gè)著力點(diǎn)

顧健，任建波

摘要：深度學(xué)習(xí)，在行為進(jìn)程上，應(yīng)呈現(xiàn)為研究知識(shí)關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解性學(xué)習(xí);在目標(biāo)指向上，應(yīng)表現(xiàn)為感悟數(shù)學(xué)思想和培育數(shù)學(xué)精神的層進(jìn)式學(xué)習(xí);在評(píng)價(jià)方式上，應(yīng)展現(xiàn)為評(píng)價(jià)目標(biāo)多元與評(píng)價(jià)任務(wù)多樣的融合性評(píng)價(jià)?；诖耍W(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)需要做到學(xué)習(xí)資源“結(jié)構(gòu)化”、學(xué)習(xí)路徑“思想化”、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)“增值化”。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；深度教學(xué)；結(jié)構(gòu)化；思想化；增值化

“學(xué)”與“教”是相伴而行的，而幫助學(xué)生學(xué)會(huì)深度學(xué)習(xí)是深度教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，所以，深度教學(xué)的研究與實(shí)踐離不開對(duì)深度學(xué)習(xí)理論的剖析。深度學(xué)習(xí)，在行為進(jìn)程上，應(yīng)呈現(xiàn)為研究知識(shí)關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解性學(xué)習(xí)。這就要求教師為學(xué)生提供結(jié)構(gòu)化資源，創(chuàng)造主動(dòng)觀察、動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，提供分析、思考和質(zhì)疑的問題，以期實(shí)現(xiàn)深度卷入、沉浸式學(xué)習(xí)，此即學(xué)習(xí)資源“結(jié)構(gòu)化”。在目標(biāo)指向上，應(yīng)表現(xiàn)為感悟數(shù)學(xué)思想和培育數(shù)學(xué)精神的層進(jìn)式學(xué)習(xí)。這就需要教師呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的本源，挖掘其背后的思想，基于數(shù)學(xué)思想，尋找課堂教學(xué)中的突破點(diǎn)和生長點(diǎn)，以期優(yōu)化教學(xué)路徑，此即學(xué)習(xí)路徑“思想化”。在評(píng)價(jià)方式上，應(yīng)展現(xiàn)為評(píng)價(jià)目標(biāo)多元與評(píng)價(jià)任務(wù)多樣的融合性評(píng)價(jià)。這就要求教師準(zhǔn)確定位評(píng)價(jià)目標(biāo)，精心設(shè)置評(píng)價(jià)任務(wù)，精準(zhǔn)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，以期實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益的最優(yōu)化，此即學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)“增值化”。

一、學(xué)習(xí)資源“結(jié)構(gòu)化”

（一）串聯(lián)呈現(xiàn)

同一領(lǐng)域內(nèi)的數(shù)學(xué)內(nèi)容或多或少存在關(guān)聯(lián)，教師可以通過前置性學(xué)習(xí)和課前調(diào)查，將學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和需要學(xué)習(xí)的新知識(shí)串聯(lián)呈現(xiàn)，以把握學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。據(jù)此，確定教學(xué)的順序、比較學(xué)習(xí)前后的變化，對(duì)學(xué)生可能出錯(cuò)的情況做到心中有數(shù)。進(jìn)而，在教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)注哪些教學(xué)環(huán)節(jié)需要花費(fèi)較多時(shí)間，哪些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)需要進(jìn)一步擴(kuò)展，哪些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)還需要進(jìn)一步建構(gòu)。

例如，教學(xué)《小數(shù)乘整數(shù)》一課，為了解學(xué)生對(duì)這一內(nèi)容的已有經(jīng)驗(yàn)，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：你會(huì)計(jì)算1.6×3嗎？目的是讓學(xué)生通過乘法的意義，將加法計(jì)算、口算、豎式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)激活、串聯(lián)起來。課前，對(duì)班級(jí)的48名學(xué)生做了調(diào)查。學(xué)生雖然還沒有學(xué)習(xí)“小數(shù)乘整數(shù)”，計(jì)算結(jié)果卻是100%正確，具體情況見表1。

從呈現(xiàn)的計(jì)算過程來看，學(xué)生有的利用整數(shù)、小數(shù)加減的計(jì)算方法將數(shù)位對(duì)齊遷移到小數(shù)乘法，有的借助整數(shù)乘法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行推理，有的口算，有的根據(jù)乘法的意義利用加法計(jì)算。學(xué)生會(huì)計(jì)算了，接下去該如何教學(xué)？于是，課堂教學(xué)的結(jié)構(gòu)就變成了：理解不同方法的表征形態(tài)及相同之處，深度建構(gòu)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)理法相融。

（二）并聯(lián)呈現(xiàn)

貼近生活的真實(shí)情境，有利于喚醒學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，但這樣的經(jīng)驗(yàn)可能是非正式的經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中，可以將結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)知識(shí)置于多角度的不同情境之中，通過并聯(lián)的方式將已有經(jīng)驗(yàn)與新經(jīng)驗(yàn)比較，在“變化”中覓得“不變”，即抽象出更為一般的方法、策略應(yīng)用到新的情境中。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊《乘數(shù)末尾有0的乘法》一課，練習(xí)中有一道題（如圖1所示）。教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算后比較每組兩題的特點(diǎn)，體會(huì)3個(gè)數(shù)相乘可以從左往右依次計(jì)算，也可以把后面兩個(gè)數(shù)相乘，再與第一個(gè)數(shù)相乘。

如果教學(xué)僅止于此，學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)有浮于淺表之嫌。以第二組為例，教學(xué)中可以增設(shè)兩個(gè)探究問題。第一個(gè)問題：根據(jù)發(fā)現(xiàn)，還可以寫成哪3個(gè)數(shù)相乘的積，使結(jié)果仍然相同？得出還可以寫成“32×5×6”和“32×3×10”。第二個(gè)問題：可以寫成4個(gè)數(shù)相乘的積，使結(jié)果仍然相同嗎？得出可以寫成“32×3×2×5”。學(xué)生在乘數(shù)個(gè)數(shù)的變化中，逐步抽象出乘法結(jié)合律的模型。

（三）立體呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展是連續(xù)的，過去經(jīng)驗(yàn)是當(dāng)下經(jīng)驗(yàn)生發(fā)的基礎(chǔ)，同時(shí)又指向未來經(jīng)驗(yàn)的改造。理想狀態(tài)下，根據(jù)教材螺旋上升式的設(shè)計(jì)，學(xué)生學(xué)習(xí)所獲取的經(jīng)驗(yàn)也呈現(xiàn)螺旋上升的樣態(tài)。而事實(shí)并非如此。例如，“積的變化規(guī)律”的學(xué)習(xí)，因蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排跨度較大，留白較多，需要教師提供理解的支架，立體呈現(xiàn)學(xué)習(xí)資源進(jìn)行補(bǔ)白。三年級(jí)下冊在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的習(xí)題（見圖2）中進(jìn)行滲透，五年級(jí)上冊從“小數(shù)乘法”例7的豎式計(jì)算過程（見圖3）開始運(yùn)用，因此，四年級(jí)下冊的例4（見圖4）承上啟下，顯得尤為重要，有必要進(jìn)行一定的延展。

教學(xué)中可以設(shè)計(jì)一組習(xí)題，彼此獨(dú)立又相互關(guān)聯(lián)，最后結(jié)構(gòu)化展現(xiàn)（如圖5所示），便于學(xué)生從橫、縱兩個(gè)維度提煉其中的關(guān)系：縱向看，一個(gè)乘數(shù)不變，另一個(gè)乘數(shù)乘或除（0除外）幾，積也乘或除以幾；橫向看，一個(gè)乘數(shù)乘或除（0除外）幾，另一個(gè)乘數(shù)除（0除外）或乘幾，積不變。這樣，積的變化兩種情況（變、不變）得以抽象，學(xué)生獲取的經(jīng)驗(yàn)有了立體感。

二、學(xué)習(xí)路徑“思想化”

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。教師可以從小學(xué)一年級(jí)開始，長期在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想。為了讓數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)落到實(shí)處，可以挖掘教材的留白處，重現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生處，讓數(shù)學(xué)思想閃現(xiàn)理性的光芒。

（一）抽象概括，凸顯概念形成過程

數(shù)學(xué)抽象是對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行加工和提煉，以揭示其本質(zhì)屬性。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)盡可能多地讓學(xué)生親歷概念抽象與概括的思維過程，在體驗(yàn)與領(lǐng)悟中將經(jīng)驗(yàn)與概念、直覺與邏輯整體融通，并形成抽象思維能力。

例如，“平行與垂直”概念教學(xué)的常規(guī)路徑是基于知識(shí)邏輯起點(diǎn)設(shè)計(jì)的：先理解“同一平面內(nèi)”，再建構(gòu)平行概念，最后形成垂直概念。反觀教學(xué)過程，這是追求對(duì)概念要素的理解。顯然，本課教學(xué)不應(yīng)追求概念分化，而應(yīng)在“求異”中實(shí)現(xiàn)“求聯(lián)”，抽象出三個(gè)概念之間的關(guān)系?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，筆者在教學(xué)中引入魔方，讓學(xué)生通過操作，判斷轉(zhuǎn)動(dòng)前和第1次轉(zhuǎn)動(dòng)后兩條直線的位置關(guān)系。學(xué)生在觀察、操作的基礎(chǔ)上，輕松概括出“同一平面內(nèi)”這一難點(diǎn)。接著，通過第2次轉(zhuǎn)動(dòng)，直觀感受同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系除了平行還有相交，為概括垂直概念做鋪墊。操作過程如下頁圖6所示。

而在本課的練習(xí)鞏固階段，筆者引導(dǎo)學(xué)生將魔方抽象成一個(gè)正方體：如圖7，尋找與線段a相互平行、垂直的線段，抽象構(gòu)造一般意義上的“同一平面”。如此，幫助學(xué)生深入理解標(biāo)準(zhǔn)圖式模型，提升空間想象能力。

（二）數(shù)形結(jié)合，彰顯規(guī)律直觀簡潔

數(shù)形結(jié)合可以使抽象的概念直觀化、繁難的問題簡潔化。教學(xué)中，可以利用“形”作為直觀的工具實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”，幫助學(xué)生在記住操作性程序的基礎(chǔ)上達(dá)到“熟而生慧”，協(xié)調(diào)抽象思維和形象思維的發(fā)展。

例如，學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”，學(xué)生憑直覺很難理解為什么有這樣的規(guī)律。為了讓學(xué)生更好地探索規(guī)律，教學(xué)中，組織學(xué)生以數(shù)字“123”為例，通過擺放小方塊“切分”計(jì)數(shù)單位，直觀感受每個(gè)計(jì)數(shù)單位，分一次就多1個(gè)一，再抽象概括出每個(gè)數(shù)位上是幾，就多幾個(gè)一（過程如圖8所示）。學(xué)生在這樣邊操作、邊反思的過程中，能直觀地理解“各個(gè)數(shù)位上的和是3的倍數(shù)”。其實(shí)，用“位置值”的切分方法同樣能解釋“2和5的倍數(shù)的特征”。而這樣的理解體現(xiàn)了倍數(shù)特征內(nèi)在的一致性，從而在知識(shí)的勾連中實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)。

（三）類比推理，盡顯知識(shí)整體結(jié)構(gòu)

同一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)內(nèi)容可能蘊(yùn)含不同的數(shù)學(xué)思想，而類比推理可以根據(jù)這些內(nèi)容某方面的相似性，捕獲知識(shí)具有的相同屬性，從而引發(fā)知識(shí)之間的遷移，使“聞一知十”成為可能。

例如，對(duì)“數(shù)”的相關(guān)知識(shí)，可以從系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性角度進(jìn)行類比教學(xué)。學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，學(xué)生有了三年級(jí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對(duì)“率”的意義理解較為容易，而對(duì)“量”的意義感悟不深，兩種意義的關(guān)系理解不夠透徹。對(duì)此，可在這部分內(nèi)容之前增設(shè)一個(gè)課時(shí)內(nèi)容——理解“分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)”。目的是通過類

比萃取出自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的本質(zhì)都是單位個(gè)數(shù)的累積，感受分?jǐn)?shù)與自然數(shù)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)是一脈相承的；同時(shí)，為理解分?jǐn)?shù)的大小比較與小數(shù)、整數(shù)的大小比較以及計(jì)算意義之間的一致性奠定基礎(chǔ)，在歸納、抽象、類比中抓住“不變”，幫助學(xué)生降低記憶負(fù)荷，提升遷移解決問題的能力。

三、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)“增值化”

教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)是一個(gè)整體，其目標(biāo)、內(nèi)容、形式、方法均在考慮之中。深度教學(xué)的評(píng)價(jià)，應(yīng)基于學(xué)生的學(xué)習(xí)證據(jù)，作出及時(shí)的反饋，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”的整體一致性。這就需要考慮以下問題：如何制訂深度教學(xué)的評(píng)價(jià)目標(biāo)？如何設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)？如何在評(píng)價(jià)中優(yōu)化策略，實(shí)現(xiàn)教學(xué)增值？

（一）抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，制訂評(píng)價(jià)目標(biāo)

深度教學(xué)評(píng)價(jià)目標(biāo)是基于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和發(fā)展動(dòng)態(tài)制訂的，以判斷學(xué)生通過主動(dòng)參與和自主探究能否達(dá)成基礎(chǔ)知識(shí)的理解和基本技能的掌握為準(zhǔn)繩，以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和發(fā)展核心素養(yǎng)為要?jiǎng)?wù)。

例如，“面積單位”的教學(xué)，從小學(xué)階段“測量”教學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系出發(fā)，聚焦度量本質(zhì)，溝通“長、寬”與“面積”的聯(lián)系，關(guān)聯(lián)圖形度量的學(xué)習(xí)方法，結(jié)合SOLO分類理論，筆者制訂了如表2所示的評(píng)價(jià)目標(biāo)。

（二）外顯思維過程，設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)

不同的評(píng)價(jià)目標(biāo)需要匹配不同的評(píng)價(jià)任務(wù)。學(xué)生通過語言、文字、符號(hào)等不同方式完成不同的任務(wù)，展現(xiàn)學(xué)習(xí)的證據(jù)，將內(nèi)隱目標(biāo)外顯化。當(dāng)學(xué)生將核心知識(shí)和技能應(yīng)用于各種情境的挑戰(zhàn)任務(wù)時(shí)，就顯示了他們的理解和掌握。教師通過觀察和分析學(xué)生完成任務(wù)的過程和結(jié)果，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解和掌握程度，同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)評(píng)價(jià)目標(biāo)的監(jiān)控。

例如，《平年和閏年》一課的評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)如下：

（1）說一說：什么是平年和閏年？

（2）算一算：舉例說明，怎樣判斷某一年份是平年還是閏年？

（3）想一想：公歷年份數(shù)除以4沒有余數(shù)的一般是閏年，有沒有更簡便的方法進(jìn)行計(jì)算？

（4）查一查：為什么公歷年份是整百數(shù)時(shí)，必須除以400沒有余數(shù)才是閏年？

四項(xiàng)評(píng)價(jià)任務(wù)的開放性和復(fù)雜性逐步提升。第（1）項(xiàng)屬于陳述性知識(shí)的淺層理解；第（2）項(xiàng)是程序性知識(shí)的理解；第（3）項(xiàng)要結(jié)合數(shù)的位置值理解，探究出判斷公歷年份是否為閏年，可以用末兩位除以4；第（4）項(xiàng)需要通過查閱資料，結(jié)合天文知識(shí)，實(shí)現(xiàn)深度理解。

（三）拉近始末距離，實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)增值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出：評(píng)價(jià)結(jié)果的呈現(xiàn)應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生圖9

的進(jìn)步，關(guān)注學(xué)生已有的學(xué)業(yè)水平與提升空間，為后續(xù)的教學(xué)提供參考。這樣的評(píng)價(jià)，可以理解為基于學(xué)生的“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”與“學(xué)習(xí)結(jié)果”之差，將學(xué)習(xí)過程融合到結(jié)果之中，實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)的增值。

例如，《認(rèn)識(shí)公頃》一課，基于相鄰長度、面積單位的進(jìn)率這一“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，學(xué)生很難理解“學(xué)習(xí)結(jié)果”——1公頃=10000平方米。

為化解這一難點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：“為什么之前所了解的相鄰面積單位的進(jìn)率都是100，學(xué)習(xí)公頃時(shí)就不適用了？”通過這一問題評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)面積單位的理解程度，實(shí)際指向三種水平：水平1，熟知平方厘米、平方分米、平方米這三種常見的面積單位及進(jìn)率；水平2，對(duì)1公頃等于多少平方米的推導(dǎo)過程有清晰的認(rèn)知；水平3，能判斷公頃和平方米不是相鄰的兩個(gè)面積單位，還應(yīng)有“平方十米”。水平1、水平2的評(píng)價(jià)目標(biāo)指向概念理解，體現(xiàn)了學(xué)生的理解和掌握；水平3的評(píng)價(jià)目標(biāo)涵蓋理解和掌握、感悟和運(yùn)用，甚至是內(nèi)化和創(chuàng)生。

基于以上認(rèn)識(shí)，通過問題設(shè)疑，在平方米和平方百米之間增加“平方十米”（如圖9所示），由平方十米過渡到平方百米（也就是公頃），通過面積單位系統(tǒng)的構(gòu)建，呈現(xiàn)長度單位與面積單位的關(guān)系，回歸到相鄰長度單位進(jìn)率為10、相鄰面積單位進(jìn)率是100的經(jīng)驗(yàn)性理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)面積單位系統(tǒng)的深度認(rèn)識(shí)，拉近“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”與“學(xué)習(xí)結(jié)果”之間的距離。這樣，通過教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的增值。

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