探尋數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)

范韋莉

摘要：符號(hào)的使用是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。若單純地向?qū)W生解釋等號(hào)的含義，沒有直觀支撐，學(xué)生就很難在腦中形成表象?！兜忍?hào)的再認(rèn)識(shí)》一課教學(xué)，借助“數(shù)字天平”這一工具，建立天平平衡就可用等號(hào)連接的心智模型，通過創(chuàng)設(shè)有趣、有序、有料的學(xué)習(xí)活動(dòng)，幫助學(xué)生初步建立平衡觀念，經(jīng)歷等號(hào)的再創(chuàng)造過程，進(jìn)而理解等號(hào)是用來表示左右相等的關(guān)系的。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)符號(hào)；等號(hào)；本質(zhì)意義；代數(shù)思維

數(shù)學(xué)符號(hào)是一種含義高度概括、形象高度濃縮的、抽象的科學(xué)語言?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí)、理解和運(yùn)用作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一，要求學(xué)生能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能，初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。在教學(xué)中，如何幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)呢？下面結(jié)合我們自主開發(fā)的《等號(hào)的再認(rèn)識(shí)》一課，談?wù)勎覀兊脑O(shè)計(jì)與思考。

一、研究緣由

在一年級(jí)學(xué)習(xí)了“20以內(nèi)的進(jìn)位加和退位減”后，教師經(jīng)常會(huì)出示“2＋（? ? ? ? ）＝（? ? ? ?）＋3”這樣的練習(xí)。看似簡(jiǎn)單的題目，錯(cuò)誤率卻很高，學(xué)生容易出現(xiàn)如圖1所示的錯(cuò)誤。

無獨(dú)有偶。與一位家長交流，她提到她的孩子早就會(huì)20 以內(nèi)的加減法了，對(duì)“2＋6＝□”的練習(xí)已非常熟練。但有一次，她偶然將算式寫成“□＝2＋6”，孩子居然不會(huì)做。對(duì)此，她很是困惑。

為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象呢？這是學(xué)生普遍存在的共性問題還是特例？為了一探究竟，我們對(duì)一年級(jí)76位學(xué)生開展了調(diào)查，測(cè)試題目以及結(jié)果如表1所示。

上述4道題，除了考查計(jì)算能力外，還考查學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解能力。學(xué)生需憑借對(duì)等號(hào)的意義的深入理解，才能順利解決這4道題。在對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談，并分析收上來的問卷后，我們找到了學(xué)生出錯(cuò)的兩個(gè)原因：

首先，未真正理解等號(hào)的含義?！暗忍?hào)”在《辭?！分械慕忉屖恰跋嗟取保且环N表示相等關(guān)系的符號(hào)。學(xué)生對(duì)等號(hào)的最初理解，就是數(shù)量上的“同樣多”。比如，有兩種小動(dòng)物，小猴子有4只，小兔子也有4只，從而抽象出“4＝4”，以此理解等號(hào)用來表示兩個(gè)數(shù)相等。隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入，學(xué)生會(huì)接觸到如“3＋2＝5”這樣的計(jì)算練習(xí)，進(jìn)入大量“運(yùn)算—等號(hào)—答案”的訓(xùn)練模式，此時(shí)他們會(huì)認(rèn)為等號(hào)只是連接算式和結(jié)果的一個(gè)符號(hào)，從而忽視等號(hào)的本質(zhì)含義。

其次，對(duì)等號(hào)的理解需要過程。比如，“2＋6＝□”和“□＝2＋6”兩個(gè)式子從數(shù)字、符號(hào)來看是一樣的，但是從問題解決的思維過程來看是不一樣的。如果把前者“兩個(gè)數(shù)合并運(yùn)算得到結(jié)果”的解決方式看作順向思維，那么，后者則需要逆向思維和平衡觀念的參與。根據(jù)皮亞杰的研究，兒童從前運(yùn)算階段（大約在2—7歲）開始直到具體運(yùn)算階段（大約在7—11 歲）才逐漸形成逆向思維和平衡觀念。因此，學(xué)生出錯(cuò)也是正常的。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與說明

符號(hào)的使用是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。因此，打破學(xué)生原有的錯(cuò)誤認(rèn)知并進(jìn)行概念的再建構(gòu)是有必要的。但若單純地向?qū)W生解釋等號(hào)的含義，沒有直觀支撐，學(xué)生就很難在腦中形成表象。因此，我們借助“數(shù)字天平”這一工具，建立天平平衡就可用等號(hào)連接的心智模型，通過創(chuàng)設(shè)有趣、有序、有料的學(xué)習(xí)活動(dòng)，幫助學(xué)生初步建立平衡觀念，經(jīng)歷等號(hào)的再創(chuàng)造過程，進(jìn)而理解等號(hào)是用來表示左右相等的關(guān)系的。

【片段1】 在熟悉天平構(gòu)造的過程中喚起學(xué)生對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)

課堂伊始，教師出示數(shù)字天平（見圖2），告訴學(xué)生天平的左右兩臂上分別有10 個(gè)等距的掛鉤，還有若干個(gè)一樣重的卡片可以掛在鉤子上。學(xué)生觀察數(shù)字天平后，能聯(lián)想到“＞”“＜”和“＝”這些數(shù)學(xué)符號(hào)。教師可順勢(shì)指出：今天，我們就借助數(shù)字天平再次認(rèn)識(shí)等號(hào)。

教師進(jìn)一步提醒“其實(shí)前段時(shí)間才學(xué)習(xí)過等號(hào)”，并出示教材上的例題圖（見下頁圖3），引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖說一說對(duì)等號(hào)的理解。學(xué)生能感受到，當(dāng)兩種物體同樣多時(shí)，就可以用“＝”連接。

教師操作示范，利用數(shù)字天平，表示“4＝4”。學(xué)生能觀察到：當(dāng)兩個(gè)重量卡片分別掛到左邊的“4”和右邊的“4”上時(shí)，天平就平衡了。接著，教師提示學(xué)生可以嘗試用兩個(gè)重量卡片讓數(shù)字天平保持平衡。學(xué)生通過操作很快明白：只要兩邊掛在相同的數(shù)字上，也就是左邊的數(shù)和右邊的數(shù)相等，天平就平衡了。

［說明：等號(hào)第一次出現(xiàn)在教材中，是比較兩種小動(dòng)物數(shù)量的多少，由“同樣多”引入符號(hào)化表達(dá)：4＝4。此處，意在幫助學(xué)生回顧學(xué)習(xí)歷程，喚醒已有經(jīng)驗(yàn)。用兩個(gè)同樣的重量卡片在數(shù)字天平上制造平衡：一是幫助學(xué)生熟悉天平的構(gòu)造，理解天平平衡的原理；二是幫助學(xué)生在操作中初步建構(gòu)平衡表象，為下一步深入研究做鋪墊。］

【片段2】 在構(gòu)建“9＝□＋□”的過程中萌發(fā)學(xué)生的代數(shù)思維

教師提問：“有3個(gè)重量卡片，將其中1個(gè)卡片掛在左邊的“9”上，還有2個(gè)掛在右邊，怎么掛能讓天平平衡呢？”

預(yù)設(shè)：學(xué)生上臺(tái)操作，將重量卡片掛在右邊的“2”和“7”上。

教師引導(dǎo)：“我們可以把這個(gè)過程記錄下來。左邊掛在‘9上，右邊掛在‘2和‘7上，天平就平衡了，可以寫成9＝2＋7。會(huì)讀這個(gè)等式嗎？”讓學(xué)生齊讀。

教師提問：“還能怎么掛呢？下面，請(qǐng)小朋友在小組里輪流操作?！?/p>

預(yù)設(shè)：左邊掛在“9”上，右邊掛在“1”和“8”上，可以寫成9＝1＋8；左邊掛在“9”上，右邊掛在“4”和“5”上，可以寫成9＝4＋5。

在學(xué)生反饋的過程中，教師始終以核心問題“能用等號(hào)連接嗎？為什么？”引發(fā)學(xué)生思考等號(hào)的本質(zhì)含義。

值得關(guān)注的是，在活動(dòng)開展過程中，有些學(xué)生不是立刻就明白其中的道理。如左邊掛在“9”上后，右邊掛了2個(gè)在“5”上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)天平往右邊傾斜了，于是，調(diào)整再調(diào)整，直至平衡。學(xué)生通過操作、合作、交流、思考等過程，能感悟到只要右邊數(shù)字的和是9，天平就會(huì)保持平衡，就可以用等號(hào)連接。

［說明：“9＝□＋□”這個(gè)等式，從算術(shù)的角度看，通常被理解為表示數(shù)的分解，即9分為兩個(gè)數(shù)的和；從代數(shù)的角度看，則可以理解為表示數(shù)與式的等值。借助數(shù)字天平構(gòu)建“9＝□＋□”，讓學(xué)生多元表征“平衡”，正是幫助學(xué)生感悟等號(hào)的本質(zhì)含義。這個(gè)過程符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，其優(yōu)勢(shì)在于學(xué)生內(nèi)隱的思維過程可以通過操作外顯，并得到直接檢驗(yàn)。而且，這種源于對(duì)天平的意義的理解，推動(dòng)了學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，使得抽象的等式變得簡(jiǎn)明易懂。］

【片段3】 在自主構(gòu)建等式的過程中豐富學(xué)生對(duì)等號(hào)意義的理解

教師提問：“如果有4個(gè)重量卡片，都要掛在天平上，怎么掛能讓天平平衡呢？”

在學(xué)生操作數(shù)字天平之前，教師提醒他們不要盲目地嘗試，可以先思考可以怎么做，然后動(dòng)手驗(yàn)證自己的想法，最后把操作的過程和結(jié)果用等號(hào)記錄下來。

學(xué)生自主操作，教師巡視指導(dǎo)，收集不同的作品。

反饋交流的過程中，學(xué)生能創(chuàng)造出很多不同的平衡方式：（1）一邊放1個(gè)重量卡片，另一邊放3個(gè)重量卡片。如2＋2＋2＝6，9＝3＋3＋3（為乘法的學(xué)習(xí)做鋪墊），9＝1＋4＋4（為乘加、有余數(shù)的除法的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)）。（2）左右兩邊各放2個(gè)重量卡片。如2＋4＝4＋2（滲透加法交換律），3＋9＝10＋2（為進(jìn)位加法的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)）。

教師引導(dǎo)：“仔細(xì)觀察這些等式，等號(hào)的左邊可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子。無論是哪種，只要怎么樣，就可以用‘＝連接？”

預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要兩邊在運(yùn)算之后是相等的，就可以用“＝”連接。

［說明：在操作數(shù)字天平的過程中，學(xué)生的第一層次思維喚起的是“同數(shù)即等式”，如4＝4，10＝10；第二層次思維突破的是“等量即等式”，如當(dāng)左邊為定值9，右邊兩個(gè)重量卡片的和為9，天平就會(huì)平衡；第三層次思維進(jìn)階的是“總和相等即等式”，即“有4個(gè)重量卡片，怎么掛能讓天平平衡呢？”這一問題激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造潛能，讓他們認(rèn)識(shí)到，無論哪種平衡方式，只要左右兩邊的總和相等，天平就會(huì)平衡。如此不斷循環(huán)、螺旋上升，促使學(xué)生對(duì)等號(hào)的理解更加全面、立體。］

【片段4】 在拓展練習(xí)中加深學(xué)生對(duì)等號(hào)關(guān)系性意義的認(rèn)知

教師啟發(fā)：“現(xiàn)在大家對(duì)等號(hào)有了更深的認(rèn)識(shí)，請(qǐng)帶著你們的智慧，動(dòng)動(dòng)手、動(dòng)動(dòng)腦，一起來填空。”

教師出示：10＝（）＋（），1＋7＝（）＋3，2＋3＝6－（）。讓學(xué)生獨(dú)立解答。

教師在巡視的過程中可以發(fā)現(xiàn)，這幾個(gè)小題的正確率非常高。在組織交流的過程中教師還會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不僅能說出自己是如何思考的，還能驗(yàn)證自己的答案是否正確。

課的結(jié)尾，教師以視頻的方式介紹等號(hào)的由來，讓學(xué)生了解到“＝”的產(chǎn)生經(jīng)歷了漫長的過程，但這個(gè)符號(hào)本身就表達(dá)著相等的含義，而且簡(jiǎn)潔、對(duì)稱，所以一直被用到現(xiàn)在。

［說明：上述幾個(gè)環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生通過動(dòng)手“做”獲得親身感悟，打破學(xué)生原有對(duì)等號(hào)的狹隘認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生將認(rèn)識(shí)拓展到左右平衡就可以用等號(hào)來連接。當(dāng)然，教學(xué)絕不能停留在引導(dǎo)學(xué)生操作實(shí)物的階段。在操作之后，教師還要幫助學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，引導(dǎo)學(xué)生思考與提升。此環(huán)節(jié)的幾個(gè)小題，也是對(duì)前面操作天平的成果檢驗(yàn)。］