高中數(shù)學(xué)課堂中對學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

王來虎

（合肥市巢湖市第四中學(xué) 安徽巢湖 238000）

新一輪教學(xué)改革指出，學(xué)生的教育不僅要注重知識的教學(xué)，同時還要充分認(rèn)識到培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要性，幫助學(xué)生高效地掌握知識以及身心的全面發(fā)展。直觀想象是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，指的是通過對空間物體的幾何直覺和對物體形狀的認(rèn)識能力，并運(yùn)用對圖形的直觀理解來解決問題。直覺想象是解決幾何問題的一種基本能力，也是是對問題進(jìn)行深入分析的一種有效方法，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物。基于立德樹人的使命，直觀想象力的培養(yǎng)事關(guān)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的形成以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。從現(xiàn)有的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，筆者認(rèn)為，針對學(xué)生直觀想象力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)定義、空間幾何以及解析結(jié)合等方面的內(nèi)容。

一、定義教學(xué)與直觀想象的培養(yǎng)

從中學(xué)數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)來看，往往通過“定義”的方式來進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的引入，隨后應(yīng)用推理歸納等思維方法，探討相關(guān)概念的本質(zhì)屬性，在充分理解概念的基礎(chǔ)上應(yīng)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題。然而，很多數(shù)學(xué)概念都是比較抽象的，理解起來也很困難，我們經(jīng)常會借助一些“幾何”手段來理解概念，將復(fù)雜、抽象的概念變得簡明形象，讓學(xué)生直觀感知概念的本質(zhì)屬性。

例如，必修1教材在函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)研究時，給出增減函數(shù)的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，D?I，任意x1，x2∈D，如 果x1＜x2都 有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)。如何理解增函數(shù)的定義？學(xué)生就要理解定義中x1，x2任意性的，它表示的是區(qū)間D上的所有的自變量，而不是某兩個特殊值，這也體現(xiàn)初中的數(shù)學(xué)思維和高中的數(shù)學(xué)思維很大的不同，有著很大的跨越，所以高一學(xué)生在理解增函數(shù)的概念時就會很困難，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)了很多學(xué)生就只通過兩個特殊的x1，x2得到了函數(shù)的增減性。函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是反映了函數(shù)值隨著自變量x變化而變化的一種趨勢，因此在教學(xué)過程中，教師可以借助函數(shù)的圖像幫助學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，若f（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)，則圖像在區(qū)間D上的部分從左到右是呈上升趨勢的，若f（x）是區(qū)間D上的減函數(shù)，則圖像在區(qū)間D上的部分從左到右是呈下降趨勢的，利用函數(shù)的圖像，讓函數(shù)的單調(diào)性動起來了，也更加形象、更直觀、更生動，學(xué)生也更加容易理解。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的重要載體，是發(fā)揮直覺思維能力的主要途徑。在實(shí)施教學(xué)的過程中，教師要自覺引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用直觀思維理解抽象概念，從而使得抽象概念具象化。

二、立體幾何教學(xué)與直觀想象的培養(yǎng)

人本身就生活在三維空間里，立體幾何這門課程對于幫助學(xué)生認(rèn)識我們生活的世界具有很大的現(xiàn)實(shí)意義，而直觀想象能力又是學(xué)生學(xué)好幾何的關(guān)鍵。立體幾何的主要教學(xué)目標(biāo)來看，就是要逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用幾何直觀以及空間想象來更好地感知事物的空間變化。并熟練應(yīng)用數(shù)形語言來表達(dá)物體的空間關(guān)系，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確保學(xué)生具有在平面空間繪制幾何圖形，并對幾何圖形進(jìn)行分解的能力。因此，通過立體幾何的教學(xué)發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)是恰當(dāng)適宜的。

在立體幾何的教學(xué)活動中，組織學(xué)生觀察棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺以及球這些幾何體，學(xué)生能夠很好地了解各種幾何體的特點(diǎn)，以及幾何體之間的區(qū)別。例如學(xué)生通過觀察棱柱，總結(jié)出棱柱的結(jié)構(gòu)特征：有兩個面是互相平行的，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行；觀察圓柱后可得到圓柱也有兩個面互相平行，但它的側(cè)面是曲面，而不是四邊形，這樣學(xué)生通過觀察幾何體，對這兩種幾何體有了更全面的認(rèn)識，并且也能找到他們之間的不同點(diǎn)。除了觀察幾何圖形以外，我還要求學(xué)生動手去做幾何模型，陶行知先生就教導(dǎo)我們要在學(xué)中做，在做中學(xué)，所以在學(xué)生學(xué)完多面體和旋轉(zhuǎn)體之后，我就開展了一個活動：多面體和旋轉(zhuǎn)體模型制作比賽，學(xué)生們參加的熱情非常高，也制作出很多精美的幾何體模型。通過比賽不僅能讓學(xué)生動手實(shí)踐，在實(shí)踐中體會空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，而且這些模型也可以為我們后面的教學(xué)提供了教具。同時，我們還要善于利用身邊的實(shí)物模型進(jìn)行課堂教學(xué)，比如課本，隨意翻開課本就是一個很好的二面角模型，通過課本的展開可以研究二面角的范圍變化；教室門的開關(guān)與閉合可以演示線面平行的判定，也可以演示線面垂直的判定。因此，在立體幾何的課堂教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)中，要有意識地灌輸和利用這種思想，對培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力起到很好的效果。

實(shí)物模型對幫助學(xué)生認(rèn)識幾何圖形、發(fā)展空間想象能力提供了一定的幫助，但在學(xué)習(xí)空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系、解決空間幾何證明題的時候，我們還是要借助直觀圖。直觀圖是發(fā)展空間想象力的關(guān)鍵，在立體幾何部分教學(xué)時，我就加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生能根據(jù)實(shí)物畫出直觀圖形，由直觀圖能想象出實(shí)物的空間位置，表達(dá)出圖形各部分的位置關(guān)系及度量關(guān)系。同時，在教學(xué)過程中如果要畫幾何體直觀圖時，我都是按照畫圖的準(zhǔn)則，做好示范，讓學(xué)生真正掌握畫圖直觀圖的方法和要領(lǐng)，并且努力培養(yǎng)學(xué)生動手畫圖的能力。

三、解析幾何教學(xué)與直觀想象的培養(yǎng)

解析幾何也是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的一大陣地，充分挖掘解析幾何的內(nèi)容，精心設(shè)計教學(xué)，對發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力是十分有效的。

圓錐類的問題是動態(tài)問題，在平面分析幾何中，動態(tài)問題無處不在。對動點(diǎn)、動線、動曲線等動態(tài)問題的求解，要求學(xué)生具有良好的空間想象力。需要學(xué)生在腦海中生成一幅動態(tài)圖，再繪制一幅簡單的平面圖，并利用相關(guān)的曲線知識進(jìn)行求解；也可以在腦海中把一些固定的圖形變成一個動態(tài)的圖形。無論從普通到特別，或者特別到普通的思維方式，都無法在紙上描繪，必須要實(shí)現(xiàn)在思維中，需要學(xué)生充分的發(fā)揮自身的直觀想象力。

例1.設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C、D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于E.證明|FA|+|BE|為定值。

解析：如圖，因為|AD|=|AC|，BE/CA故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|BE|=|DE|又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4,所以|FA|+|BE|=4為定值。

本例中點(diǎn)C、D是圓上動點(diǎn)，引出動點(diǎn)E且其軌跡為橢圓。作出圖形的同時，應(yīng)當(dāng)能想象其動態(tài)過程，結(jié)合平面幾何的知識（圓的性質(zhì)，平行的性質(zhì)）在簡單的運(yùn)算中使命題快速得證，充分彰顯了幾何直觀的魅力。

四、數(shù)形結(jié)合教學(xué)與直觀想象的培養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想關(guān)鍵在于數(shù)字與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，其本質(zhì)是把抽象的數(shù)值與直觀的圖形相融合，建立起抽象思維與形象思維之間的聯(lián)系，通過幾何的方法去研究數(shù)字的關(guān)系或者利用數(shù)字的關(guān)系來表達(dá)圖形的變化，從而對數(shù)字以及圖形的性質(zhì)進(jìn)行充分解析，充分利用直覺想象力來建立起數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，將抽象的觀念與具體的形象、表象進(jìn)行連接與轉(zhuǎn)換，由抽象變?yōu)橹庇^，使得一個繁復(fù)的問題變得簡單明了?！皵?shù)”是對“形”的抽象化，而“形”則是對“數(shù)”的一種直接表達(dá)。所以，數(shù)字與形體之間的關(guān)系并不單純是一種連接，而是一種數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維，它讓解題更加簡單、好玩。

在數(shù)學(xué)解題過程中，我們經(jīng)常將一些代數(shù)問題幾何化，利用幾何直觀形象的特點(diǎn)幫助我們解題，充分挖掘好數(shù)形結(jié)合問題，把數(shù)的問題圖形化，形象化，這對學(xué)生直觀想象能力的提升是有幫助的。

華羅庚教授說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合是一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識，這種對數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)用的能力，是培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)所必需要的。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)還須注重“自然性”，從平面到空間，從數(shù)到形，不是一個過渡而是一次飛躍，是自然而然的質(zhì)變。隨著課程改革的逐步實(shí)施，為能讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)活動中得以實(shí)現(xiàn)，需要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致的分析，并針對性的對學(xué)生的直觀想象能力進(jìn)行培養(yǎng)，特別是在幾何題作答的過程中，教師需要做好基礎(chǔ)知識的夯實(shí)，然后給學(xué)生滲透直觀的空間意識?？傊?，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，我們在教學(xué)中要結(jié)合教材內(nèi)容精心設(shè)計，認(rèn)真研究，充分準(zhǔn)備才能起到良好的效果。