混合偏導數(shù)相等的若干充分條件的注記

江樵芬， 阮穎彬， 徐 起

(1.福建師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，福州 350117； 2.廈門大學 數(shù)學科學學院，福建 廈門 361005)

1 引 言

定理1(Clairaut定理、Schwarz定理)設fx,fy,fxy和fyx在點(x0,y0)的某鄰域內存在，fxy和fyx在點(x0,y0)連續(xù)，則fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

定理2(Peano的結果)設fx,fy和fyx在點(x0,y0)的某鄰域內存在，fyx在點(x0,y0)連續(xù)，則fxy(x0,y0)也存在，且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

定理3(Young的結果)設fx,fy在點(x0,y0)的某個鄰域內存在且在點(x0,y0)可微，則有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

文獻[1-4]嘗試減弱以上定理的條件，以期給出適用范圍更廣的混合偏導數(shù)相等的充分條件.本文對文獻[1-4]給出的若干充分條件及其證明的正確性提出質疑，深入分析其證明的錯誤之處，并給出反例說明有些充分條件不成立.

本文將從分析Clairaut定理、Peano的結果、Young的結果的證明思路出發(fā)，深入思考文獻[1-5]中一些證明的錯誤原因，嘗試去理清其證明的邏輯，發(fā)現(xiàn)問題所在，并給出教學上的建議.

2 二階混合偏導數(shù)相等的本質及證明思路分析

注意到

若記

F(Δx,Δy)=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0+Δy)-f(x0+Δx,y0)+f(x0,y0)，

在證明中一般對函數(shù)F(Δx,Δy)作如下處理.

若fxy在(x0,y0)的某鄰域內存在，令φ(x)=f(x,y0+Δy)-f(x,y0)，則

F(Δx,Δy)=φ(x0+Δx)-φ(x0)=φ′(x0+θ1Δx)Δx

=(fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)-fx(x0+θ1Δx,y0))Δx

=fxy(x0+θ1Δx,y0+θ2Δy)ΔxΔy(0<θ1,θ2<1).

若fyx在(x0,y0)的某鄰域內存在，令ψ(x)=f(x0+Δx,y)-f(x0,y)，則

F(Δx,Δy)=ψ(y0+Δy)-ψ(y0)=ψ′(y0+θ3Δy)Δy

=(fy(x0+Δx,y0+θ3Δy)-fy(x0,y0+θ3Δy))Δy

=fyx(x0+θ4Δx,y0+θ3Δy)ΔxΔy， (0<θ3,θ4<1).

則

由此，若fxy，fyx在(x0,y0)連續(xù)，容易知fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).這就證明了Clairaut定理.

Young的結果的證明與上述兩個充分條件的證明略有不同.它是這樣處理的.

若fx在(x0,y0)可微，則對充分小的Δx，Δy

從而

當Δx=Δy=h>0時，有

以上三個充分條件的證明容易在多本流行的教科書或習題集中查到，故沒有給出出處.詳細分析其證明思路是為了下文與錯誤證明做比較.

3 對一些充分條件及其證明的質疑

在上述證明思路的分析中，可以看到在處理F(Δx,Δy)時都固定了某個分量，對另一分量應用拉格朗日中值定理.應該注意到拉格朗日中值定理中存在的中值點既依賴于所討論的函數(shù)，也依賴于所討論的區(qū)間.忽略中值點對函數(shù)與區(qū)間的依賴性將導致錯誤,一元情況下與此類中值點有關的隱蔽性錯誤的討論可以見文獻[6].而在二元情況下，固定二元函數(shù)的某個分量得到的一元函數(shù)，一般與所固定的那個分量的值有關，所固定分量的不同取值對應不同的一元函數(shù)，由此得到的中值點一般與被固定的分量相關.如在得到

F(Δx,Δy)=fxy(x0+θ1Δx,y0+θ2Δy)ΔxΔy

的過程中，不同的Δy確定了不同的函數(shù)φ(x)，不同的φ(x)存在的θ1一般不同，因此θ1一般與Δy有關，同理θ2與Δx有關.這種依賴性比一元的情況更隱蔽，更容易被忽略，因此也更容易導致錯誤.以下關于混合偏導數(shù)相等的錯誤證明，其錯誤原因莫不如是(除了例5)，并且這些錯誤幾乎沒有被意識到(至少就筆者檢索到的文獻而言).下面筆者逐一分析其錯誤原因，并對錯誤結論給出反例加以說明.

例1[5](Peano的結果的錯誤證明) 設fx,fy在點(x0,y0)的某鄰域內存在，fxy在點(x0,y0)連續(xù)，則fyx(x0,y0)也存在，且fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).

錯誤證明如前所述，由于fxy在(x0,y0)的鄰域內存在，則

F(Δx,Δy)=fxy(x0+θ1Δx,y0+θ2Δy)ΔxΔy(0<θ1,θ2<1).

上式兩邊同除以Δy，并令Δy→0，由偏導數(shù)的定義及fxy在(x0,y0)連續(xù)就得到

fy(x0+Δx,y0)-fy(x0,y0)=fxy(x0+θ1Δx,y0)Δx.

再在上式兩邊同除以Δx，并令Δx→0，由fxy在(x0,y0)的連續(xù)性得到fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).

錯因分析這個證明不是利用二重極限與累次極限的關系，而是先對Δy取極限得到

fy(x0+Δx,y0)-fy(x0,y0)=fxy(x0+θ1Δx,y0)Δx

再對Δx取極限得fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).廈門大學的劉軾波教授曾在福建省“數(shù)學分析”與“高等數(shù)學”第七次課程建設研討會上指出這里存在的一個錯誤：它是利用fxy在(x0+θ1Δx,y0)的連續(xù)性得到

而不是利用fxy在(x0,y0)的連續(xù)性.這引起了筆者的注意.受其啟發(fā)，在細讀該證明之后,發(fā)現(xiàn)這里還有一個隱蔽的錯誤：θ1可能是與Δy有關的, 對Δy取完極限的式子中不應該還有Δy.因此

并不一定成立.證明走不下去.

如果忽略了θ1對Δy的依賴性，這種錯誤的證法會引發(fā)人們去思考更弱一些的條件，利用這種錯誤的證法得到一些看起來更好的結論(但實際上卻是錯誤的).

例2[1](Peano的結果的錯誤推廣) 若f(x,y)在點(x0,y0)的鄰域U(x0,y0)有定義，滿足

(i)fx(x,y),fy(x,y)在U(x0,y0)存在；

則fxy(x0,y0)存在，并有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

錯誤證明如前所處理一般有

進而得不到fyx(x0,y0)=fxy(x0,y0).

筆者將在例4后面給出反例說明這個充分條件是錯誤的.

文獻[2]給出了Clairaut定理的一種推廣，但它的證明存在錯誤.

例3[2](Clairaut定理的存疑推廣) 設二元函數(shù)f的混合偏導數(shù)fxy和fyx在點(x0,y0)的某鄰域內存在，fxy在點(x0,y0)關于x連續(xù)，fyx在點(x0,y0)關于y連續(xù)，則有

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

錯誤證明若fxy在(x0,y0)的某鄰域內存在，如前所述有

F(Δx,Δy)=(fx(x0+θ1Δx,y+Δy)-fx(x0+θ1Δx,y0))Δx

=(fxy(x0+θ1Δx,y0)Δy+o(Δy))Δx.

則

若fyx在(x0,y0)的某鄰域內存在，同理也有

錯因分析首先θ1可能與Δy有關，則

未必成立.從而

fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)-fx(x0+θ1Δx,y0)=fxy(x0+θ1Δx,y0)Δy+o(Δy)

也未必成立.證明到此進行不下去.

例4[3](Peano的結果的錯誤推廣) 若二元函數(shù)f的偏導數(shù)fx,fy及fyx在點(x0,y0)的某個鄰域內存在，且fyx在點(x0,y0)關于y連續(xù)，則fxy在點(x0,y0)存在，且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

但事實上可以找到反例說明例4所給的充分條件是錯誤的.這也從另一個側面說明例3的證明是錯誤的.

反例令

計算可得

文獻[4]中給出了Young的結果的推廣,它把條件 “fx,fy在點(x0,y0)可微”減弱為“fy或fx在(x0,y0)可微”，但它的證明同樣存在問題.

例5[4](Young的結果的存疑推廣) 設fx,fy在(x0,y0)的某鄰域內存在，fy(或fx)在(x0,y0)可微，則fxy(x0,y0)(或fyx(x0,y0))也存在且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

錯誤證明若fy在(x0,y0)可微，則對充分小的Δx,Δy，

F(Δx,Δy)=(fy(x0+Δx,y0+θ1Δy)-fy(x0,y0+θ1Δy))Δy

=fyx(x0,y0)ΔxΔy+α(Δx,Δy)ΔxΔy+(β1(Δx,Δy)-β2(Δx,Δy))θ1(Δy)2，

其中

從而

再由二重極限與二次極限的關系可知fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).

4 結 論

本文質疑了Clairaut定理的一個推廣、Peano的結果的一種證明及兩個推廣、Young的結果的一個推廣，同時給出反例說明Peano的結果的兩個推廣是錯誤的.這些證明錯誤的原因(除了例5)都是類似的：固定二元函數(shù)的某個分量，把它視為另一分量的一元函數(shù)，對它使用拉格朗日中值定理時忽略了中值點對另一分量的依賴.對于此類錯誤，建議在教學中將二元函數(shù)看作一元函數(shù)時，應強調此一元函數(shù)對所固定分量的依賴.在對這類一元函數(shù)運用微分中值定理時所存在的中值點不妨記為θΔx或θΔy，用其中的下標來體現(xiàn)依賴性.

遺憾的是對于Clairaut定理的推廣及Young的結果的推廣，筆者既給不出正面的證明，也無法給出反例說明其是錯誤的，這需要進一步的思考.

致謝感謝審稿專家對本文的有益建議以及相關參考文獻對本文的啟發(fā).