上階外微分與廣義斯托克斯公式的逆向思維

李華冰， 寧榮健

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 宣城校區(qū)基礎(chǔ)部，安徽 宣城 242000； 2.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

1 引 言

目前，已有不少學(xué)者通過外微分對格林公式、高斯公式和斯托克斯公式進行分析和歸納，得出其下列統(tǒng)一表達形式.

本文通過引入上階外微分的概念，并對上階外微分的存在條件和表現(xiàn)形式進行探討.由此討論廣義斯托克斯公式的逆向思維問題，并將其結(jié)論具體應(yīng)用到格林公式、高斯公式、斯托克斯公式上去.

2 上階外微分

定義1設(shè)λ為空間區(qū)域Ω內(nèi)的p(p=1,2,3)階外微分，如果存在p-1階外微分ω，使得λ=dω，就稱ω為λ的在外微分意義下Ω內(nèi)的一個上階外微分.

由此引出了兩個問題：

(i)λ應(yīng)滿足什么條件，才能使得λ存在上階外微ω？

(ii)如果λ存在上階外微分ω，那么如何求得ω？

為表達方便，記Vp={ω|dω=0,ω為p階外微分}，p=0,1,2.

定理2(i)Vp為線性空間，p=0,1,2；

(ii)設(shè)ω0為λ的一個上階外微分，則λ的所有上階外微分為ω0+ω，其中ω∈Vp，p=0,1,2.

證(i)顯然0∈Vp，所以Vp為非空集合.

對于任意的ω1,ω2∈Vp和常數(shù)c1,c2，由于dω1=dω2=0，故

d(c1ω1+c2ω2)=c1dω1+c2dω2=c1·0+c2·0=0，

得c1ω1+c2ω2∈Vp，所以Vp為線性空間.

(ii)對于任意的ω∈Vp，dω=0，又dω0=λ，所以d(ω0+ω)=λ+0=λ，故ω0+ω為λ的上階外微分.

反之，對于λ的任意一個上階外微分ω1，dω1=λ，有d(ω1-ω0)=λ-λ=0，所以ω1-ω0∈Vp，記ω=ω1-ω0，則ω1=ω0+ω，且ω∈Vp.

為便于討論上階外微分的存在條件和表現(xiàn)形式，在此給出龐加萊引理.

定理3[2](龐加萊引理)設(shè)ω為三維空間中任意外微分，其系數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則d(dω)=0.

定理4設(shè)Ω為空間區(qū)域，(x0,y0,z0)為Ω內(nèi)給定一點，則

(i)Pdx+Qdy+Rdz在Ω內(nèi)存在上階外微分的充分必要條件為rot{P,Q,R}=0，并且

為Pdx+Qdy+Rdz的一個上階外微分，其中P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在Ω內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

(ii)Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy在Ω內(nèi)存在上階外微分的充分必要條件為div{P,Q,R}=0，并且

為Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy的一個上階外微分，其中P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在Ω內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

證(i)如果Pdx+Qdy+Rdz存在上階外微分ω0，則Pdx+Qdy+Rdz=dω0，由定理3，

d(dω0)=d(Adx+Bdy+Cdz)=rot{A,B,C}·{dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy}=0，

得rot{A,B,C}=0.

=P(x,y0,z0)dx+{Q(x,y,z0)dy+[P(x,y,z0)-P(x,y0,z0)]dx}

+{R(x,y,z)dz+[P(x,y,z)-P(x,y,z0)]dx+[Q(x,y,z)-Q(x,y,z0)]dy}

=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

=Pdx+Qdy+Rdz，

(ii)如果Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy存在上階外微分ω0，則

Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy=dω0，

由定理3

d(dω0)=d[Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy]=div{P,Q,R}dx∧dy∧dz=0，

得div{P,Q,R}=0.

=P(x,y,z)dy∧dz+Q(x,y,z)dz∧dx+R(x,y,z0)dx∧dy

=P(x,y,z)dy∧dz+Q(x,y,z)dz∧dx+R(x,y,z0)dx∧dy+[R(x,y,z)-R(x,y,z0)]dx∧dy

=P(x,y,z)dy∧dz+Q(x,y,z)dz∧dx+R(x,y,z)dx∧dy

=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy，

所以

為Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy的一個上階外微分.

(iii)由于

下面討論Vp={ω|dω=0,ω為p階外微分}的具體情況，p=0,1,2.

定理5(i)V0={C|C為任意實數(shù)}；

證(i)對任意的ω=f∈V0，其中f=f(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由dω=df=gradf·{dx,dy,dz}=0，得gradf=0，進而有f=C，即ω=C，所以V0={C|C為任意實數(shù)}.

(ii)對任意的ω=Adx+Bdy+Cdz∈V1，其中A=A(x,y,z),B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由

dω=d(Adx+Bdy+Cdz)=rot{A,B,C}·{dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy}=0，

φ1(y,z)dy+φ2(y,z)dz=dφ(y,z)，

所以

其中A=A(x,y,z)為具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，φ(y,z)為具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).

由于

以及由定理3知d(dφ(y,z))=0，所以dω=0，ω∈V1.

(iii)對任意的ω=Ady∧dz+Bdz∧dx+Cdx∧dy∈V2，其中A=A(x,y,z),B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由

dω=d[Ady∧dz+Bdz∧dx+Cdx∧dy]=div{A,B,C}dx∧dy∧dz=0，

其中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z),φ(y,z)為具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).

反之，如果

由于d[φ(y,z)dy∧dz]=0，則有

因此得ω∈V2.

由定理2、定理4和定理5可得上階外微分的存在條件和表現(xiàn)形式，并且其表現(xiàn)形式不唯一.

如果只考慮平面情形，則有

為Pdx+Qdy的所有上階外微分.

推論2設(shè)R=R(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，(x0,y0)為D內(nèi)給定一點，則

為Rdx∧dy的所有原函數(shù)，其中A=A(x,y)為具有一階偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，c(y)為具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).

下面舉例介紹上階外微分的存在條件和求法.

例1驗證yezdx+xezdy+xyezdz存在上階外微分，并求其所有上階外微分.

解法一由于rot{yez,xez,xyez}=0，所以由定理4(i)知yezdx+xezdy+xyezdz存在上階外微分.

取(x0,y0,z0)=(0,0,0)，故由定理2、定理4(i)和定理5(i)得yezdx+xezdy+xyezdz的所有上階外微分為

其中C為任意常數(shù).

解法二由于

yezdx+xezdy+xyezdz=ezd(xy)+xyezdz=d(xyez)，

所以yezdx+xezdy+xyezdz存在上階外微分，且yezdx+xezdy+xyezdz的所有上階外微分為xyez+C，其中C為任意常數(shù).

本例中，解法一為運用本文結(jié)論的求解方法，解法二為全微分法，兩者結(jié)論完全一樣.

定理4(iii)表明當(dāng)f(x,y,z)在Ω內(nèi)的連續(xù)時，f(x,y,z)dx∧dy∧dz在Ω內(nèi)總存在上階外微分，下面舉例說明其上階外微分的求法.

例2求ydx∧dy∧dz的所有上階外微分.

解取(x0,y0,z0)=(0,0,0)，由定理2、定理4(iii)和定理5(iii)得其所有上階外微分為

其中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z),φ(y,z)為具有一階偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).

例3問xdy∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy是否存在上階外微分？

例4驗證2(y-z)dy∧dz+2(z-x)dz∧dx+2(x-y)dx∧dy存在上階外微分，并求其所有上階外微分.

解由于

所以由定理4(ii)知2(y-z)dy∧dz+2(z-x)dz∧dx+2(x-y)dx∧dy存在上階外微分.

取(x0,y0,z0)=(0,0,0)，由定理2、定理4(ii)和定理5(ii)得其所有上階外微分為

其中A=A(x,y,z)為具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，φ(y,z)為具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).

例3和例4為2階外微分的上階外微分存在性以及求法舉例.在例4中，若取A(x,y,z)=2xy-y2，φ(y,z)=y2z-yz2，則得其一個上階外微分為

(z2-2xz)dx+(x2-2xy)dy+(y2-2yz)dz；

若取A(x,y,z)=2xy+2xz,φ(y,z)=y2z，則得其另一個上階外微分為

(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz.

從形式上看，兩者并無聯(lián)系，但卻有相同的外微分.

下面給出一個二元外微分的上階外微分求法舉例.

例5求二維平面的2階外微分xydx∧dy的所有上階外微分.

解取(x0,y0)=(0,0)，由推論2得xydx∧dy的所有上階外微分為

其中A=A(x,y)為具有一階偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，c(y)為具有一階導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).

3 廣義斯托克斯公式的逆向思維形式

利用上階外微分的概念以及上述有關(guān)結(jié)論，可以幫助解決引言中提到的廣義斯托克斯公式的逆向思維問題.

下面是廣義斯托克斯公式的逆向思維問題在格林公式、高斯公式、斯托克斯公式中的具體表現(xiàn).

定理7(格林公式的逆向思維形式)設(shè)D是由平面上分段光滑的封閉曲線L所圍成的平面閉區(qū)域，并且L取正向，如果函數(shù)f(x,y)在D上具有連續(xù)，(x0,y0)為D內(nèi)給定一點，則

解得

解法二在定理7中取y0=0.由于

定理8(高斯公式的逆向思維形式)設(shè)空間區(qū)域Ω是由分片光滑的封閉曲面Σ所圍成，并且Σ取外側(cè)，如果函數(shù)f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，(x0,y0,z0)為Ω內(nèi)給定一點，則

其中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)為具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).

分析 本例中，由于Ω為球體x2+y2+z2≤1在平面x+z+y=0的上方部分，因此直接利用直角坐標(biāo)的投影法、截面法和對稱性方法，以及利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)等方法都不易計算.下面介紹利用旋轉(zhuǎn)變換方法和高斯公式的逆向思維方法計算此三重積分.

解法一利用旋轉(zhuǎn)變換方法計算三重積分

利用三重積分的奇偶對稱性，得

所以

最后利用球面坐標(biāo)計算得

解法二利用高斯公式的逆向思維方法三重積分

記Σ為Ω的外側(cè)邊界曲面，由題意知，Σ是由球面x2+y2+z2=1在平面x+z+y=0上方部分Σ1和平面x+z+y=0含在球面x2+y2+z2=1內(nèi)部部分Σ2兩部分組成.在定理8中取x0=0,B=C=0，并記f(x,y,z)=(3x2+y2+z2-1)(2x+y+z)-2x3，則

由定理8得

以上解答中，解法一的解題過程有些繁瑣，解法二的計算量相對少一點.雖說本例中三重積分的被積函數(shù)(3x2+y2+z2-1)(2x+y+z)-2x3有刻意構(gòu)造因素，但解法二的解題思路還是具有一定的理論價值和應(yīng)用價值.

定理9(斯托克斯公式的逆向思維形式)設(shè)Γ為空間光滑或分段光滑的有向封閉曲線，Σ是以Γ為邊界曲線張成的光滑或分片光滑的有向曲面，Γ的方向和Σ的側(cè)符合右手法則，如果函數(shù)P=P(x,y,z)，Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在包含Σ的空間區(qū)域Ω內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且div{P,Q,R}=0，(x0,y0,z0)為Ω內(nèi)給定一點，則

考慮到∮Γdφ(y,z)=0，定理8由定理4(ii)、定理5(ii)和定理6即可證得.

解法一補充Σ1為平面z=y含在球面x2+y2+z2=1內(nèi)部部分，取下側(cè).并記Σ與Σ1所圍的空間區(qū)域為Ω，Σ1在xOy平面上的投影區(qū)域為D:x2+2y2≤1.利用高斯公式得

所以

由z=y得z′x=0,z′y=1，因此利用曲面積分的三合一投影法，得

解法二記Σ的邊界曲線為Γ，且Σ與Γ成右手法則.由于

div{x,2z-1,-(y+z)}=1+0-1=0，

在定理9中取y0=z0=0，所以

以上解法一和解法二都得力于div{x,2z-1,-(y+z)}=0.解法一的本質(zhì)為曲面積分與路徑無關(guān)的問題；解法二采用的是斯托克斯公式的逆向思維.

為Pdx+Qdy+Rdz的一個原函數(shù).因此說上階外微分是原函數(shù)的進一步引伸.

注2 本文的定理4和定理5結(jié)論的形式不唯一，從而也導(dǎo)致定理7、定理8和定理9中結(jié)論的表現(xiàn)形式也不唯一.如定理4(i)中，當(dāng)rot{P,Q,R}=0時，

因此定理8的結(jié)論也可換作

限于篇幅，此處不再一一贅述，請感興趣的同仁們不妨自行演算一下.

4 結(jié) 論

逆向思維是數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究中的一種常用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，是為了實現(xiàn)某一創(chuàng)新理念或解決某一正向思維難以解決的問題，而采取“反其道而行之”的思維途徑，對問題的相反面進行深入地探索，因此，逆向思維是擺脫正向思維羈絆的一種具有創(chuàng)造性的思維方式.例如，利用導(dǎo)數(shù)的定義或定積分的定義求極限，利用二重積分計算定積分，利用全微分求偏導(dǎo)數(shù)等等，都體現(xiàn)了逆向思維的數(shù)學(xué)思想.

本文中涉及到的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)課程中的重要理論.通常情況下，通過格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分進行計算，通過高斯公式將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分進行計算，通過斯托克斯公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分進行計算.這里通過引入上階外微分的概念，采用逆向思維，建立廣義斯托克斯公式的逆向思維形式，利用曲線積分計算二重積分，利用曲面積分計算三重積分，利用曲線積分計算曲面積分，探索多元函數(shù)積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，豐富多元函數(shù)積分計算的理論和方法.

致謝感謝在本文的寫作過程中給予支持和幫助的各位同仁和朋友.感謝審稿人提出的寶貴意見.