尺規(guī)作圖 畫出精彩
——基于2022年中考感悟尺規(guī)作圖的育人價(jià)值

劉金英

（天津市教育科學(xué)研究院）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）提出理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法，倡導(dǎo)基于圖形的性質(zhì)或關(guān)系作圖，優(yōu)化了對尺規(guī)作圖的要求.尺規(guī)作圖作為初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）中是集中呈現(xiàn)的，主要包括“能用尺規(guī)作圖完成基本作圖”“會(huì)利用基本作圖作三角形”“會(huì)利用基本作圖完成與圓有關(guān)的作圖”“了解作圖的道理”；而在《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中是分散安排的，與基本圖形的基本性質(zhì)密切相關(guān)，承載了豐富的思想內(nèi)涵.

應(yīng)如何體現(xiàn)尺規(guī)作圖的思想性？尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，是指只使用無刻度的直尺和圓規(guī)，并且只使用有限次，來完成不同的平面幾何圖形的作圖.歐幾里得《幾何原本》中給出的五個(gè)公設(shè)中，前三個(gè)都是關(guān)于幾何作圖的：第一，由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線；第二，一條有限直線可以繼續(xù)延長；第三，以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫圓.史寧中教授在文獻(xiàn)［3］中提到：用幾何解釋代數(shù)的基本理論工具是幾何作圖；幾何作圖實(shí)質(zhì)上蘊(yùn)含著幾何證明，幾何作圖對于培養(yǎng)幾何直觀是非常有利的；希望更多地利用圓來討論問題.基于這樣的理解，本文在評析2022年全國各地區(qū)中考試卷中典型試題的基礎(chǔ)之上，提出“起于思、展有序、收到位”的教學(xué)建議，旨在從中感悟尺規(guī)作圖的育人價(jià)值.

一、2022年中考尺規(guī)作圖試題評析

2022年中考是《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》頒布后的首次中考，各地區(qū)中考試卷中對尺規(guī)作圖專題的設(shè)計(jì)更加注重操作性、生成性和思想性，力求將尺規(guī)作圖的“想法、作法和道理”融為一體.這對落實(shí)新課程理念，開展相關(guān)的教學(xué)研究，起到了積極的作用.“能理解尺規(guī)作圖的操作過程，根據(jù)作圖后所形成的圖形各要素之間的關(guān)系解決問題；并能進(jìn)一步利用尺規(guī)作圖完成新的作圖，了解其中的數(shù)學(xué)依據(jù)，強(qiáng)化作圖的基本原理與方法”已在2022年全國各地中考試題中有所體現(xiàn).

1.能理解尺規(guī)作圖生成的新圖形

（1）通過給出的操作過程，識別新圖形中要素之間的關(guān)系.

圖1

此題給出了“作一條線段的垂直平分線”的操作過程.能理解得到的直線MN是線段BC的垂直平分線，并識別所生成的新圖形中點(diǎn)E的“屬性”是解題的關(guān)鍵.這里的點(diǎn)E是邊AB與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)∠B=45°時(shí)，又成為新生成的等腰直角三角形BCE的直角頂點(diǎn).若AC=5，BE=4，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，可得AB的長為7.

類似地，遼寧沈陽卷第19題也是給出尺規(guī)作圖的操作過程，通過先判斷所生成的直線MN是線段AD的垂直平分線，進(jìn)而判斷新生成的四邊形AEDF是菱形.同樣地，江蘇蘇州卷第14題、廣西百色卷第9題、湖北宜昌卷第6題、湖北荊州卷第14題、湖南湘潭卷第12題、湖南衡陽卷第16題、四川廣元卷第8題、四川達(dá)州卷第12題等，都是通過呈現(xiàn)“作一條線段的垂直平分線”的操作過程，研究所生成的新圖形中要素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

海南卷第10題是基于“作一個(gè)角的平分線”的操作過程，識別新圖形中要素之間的關(guān)系，進(jìn)而解決與角有關(guān)的問題.

（2）按要求先完成基本作圖，再解決與新圖形有關(guān)的問題.

例2（山西卷）如圖2，在矩形ABCD中，AC是對角線.

圖2

（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)F；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母.）

（2）猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

此題以矩形為依托，需要先利用尺規(guī)作圖畫出對角線AC的垂直平分線，再根據(jù)新圖形中線段之間的位置關(guān)系，進(jìn)一步猜想并證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，得到AE=CF.此題主要考查了用尺規(guī)“作一條線段的垂直平分線”的畫法、矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì).

同樣地，湖南永州卷第23題以平行四邊形為依托，先用尺規(guī)作圖生成新的圖形，再猜想并證明新的圖形是平行四邊形.所不同的，這里的尺規(guī)作圖是“作一個(gè)角的平分線”.

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，“作一條線段的垂直平分線”“作一個(gè)角的平分線”屬于基本作圖.尺規(guī)作圖與圖形的性質(zhì)和判定有著密切聯(lián)系.作圖過程中所生成的圖形要素之間新的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，為研究新圖形提供了重要的事實(shí)和依據(jù)，是理解尺規(guī)作圖的關(guān)鍵.因此，建立在圖形要素“線段”和“角”的概念及基本事實(shí)的基礎(chǔ)之上，能作出一條線段的垂直平分線和一個(gè)角的平分線，是尺規(guī)作圖的基本要求，為眾多命題者所采用.

2.能利用尺規(guī)作圖完成新的作圖

（1）依托基本圖形的基本性質(zhì)，先確認(rèn)原圖形中要素之間的關(guān)系.

例3（浙江·臺州卷）如圖3，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，連接AD.

圖3

（1）求證：BD=CD；

（2）若⊙O與AC相切，求∠B的度數(shù)；

（3）用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧AD的中點(diǎn)E.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

此題從基本圖形△ABC和⊙O出發(fā)，第（1）小題，先由△ABC的邊AB是⊙O的直徑，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得BD=CD.第（2）小題，通過△ABC的邊AC與⊙O相切的位置關(guān)系，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠BAC=90°，進(jìn)一步可得∠B=45°.第（3）小題，要求用尺規(guī)“作出劣弧AD的中點(diǎn)E”，由點(diǎn)E的屬性是“平分”，可以聯(lián)想到垂徑定理，只要作出線段AD的垂直平分線即可（如圖4），還可以聯(lián)想到劣弧AD所對應(yīng)的圓周角或者圓心角，只要作出∠ABD（如圖5）或者∠AOD（如圖6）的平分線即可.

圖4

圖5

圖6

此題由原圖形中的點(diǎn)、線段、角相互之間的關(guān)系，特別是其自身的多重屬性進(jìn)行聯(lián)想與確認(rèn).例如，AB既是△ABC的邊，又是⊙O的直徑；∠ABD既是△ABD的一個(gè)內(nèi)角，又是⊙O的圓周角；等等.這樣的聯(lián)想與確認(rèn)，為完成新的作圖奠定了基礎(chǔ)，自然流暢、科學(xué)合理，完美地實(shí)現(xiàn)了“想法”與“作法”的統(tǒng)一，成為此題鮮明的特色.

例4（江蘇·揚(yáng)州卷）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

【初步嘗試】如圖7，已知扇形OAB，試用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；

圖7

【問題聯(lián)想】如圖8，已知線段MN，試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；

圖8

【問題再解】如圖9，已知扇形OAB，試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分.

圖9

（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡.）

此題以問題解決的方式，設(shè)置了“問題提出—初步嘗試—問題聯(lián)想—問題再解”，主要涉及等腰直角三角形、圓、扇形的面積等相關(guān)知識，以及能用尺規(guī)“作一條線段的垂直平分線”和“作一個(gè)角的平分線”.

圖10

圖11

圖12

這樣的設(shè)計(jì)合情合理、層層遞進(jìn)、水到渠成.一方面，通過設(shè)置“問題提出—初步嘗試—問題聯(lián)想—問題再解”呈現(xiàn)思考問題的方式，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的一般方法；另一方面，更加注重依據(jù)圖形自身的特征和基本性質(zhì)完成作圖，讓學(xué)生感受到尺規(guī)作圖的基本原理，很好地回答了尺規(guī)作圖的過程“是如何想到的”.

（2）想象作圖后新圖形的特點(diǎn)，強(qiáng)化尺規(guī)作圖的基本原理與方法.

例5（天津卷）如圖13，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A，B，C及∠DPF的一邊上的點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上.

圖13

（1）線段EF的長等于__________ ；

（2）若點(diǎn)M，N分別在射線PD，PF上，滿足∠MBN=90°，且BM=BN.試用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M，N，并簡要說明點(diǎn)M，N的位置是如何找到的.（不要求證明.）

此題以網(wǎng)格為背景，在給定圓的基礎(chǔ)上，主要考查了勾股定理、圓的基本性質(zhì)、等腰三角形的判定、正方形的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)等.

圖14

圖15

可見，解決此題的關(guān)鍵是確定圓心O和正方形BQEF的邊EQ的位置，只要將圖14的“想法”放置在網(wǎng)格中，借助網(wǎng)格線之間平行、垂直的位置關(guān)系，以及連接網(wǎng)格點(diǎn)所形成的線段之間的數(shù)量關(guān)系即可.這里，先通過想象、證明確認(rèn)彼此之間的內(nèi)在聯(lián)系，再實(shí)施操作畫出圖形，很好地實(shí)現(xiàn)了史寧中教授提出的“幾何作圖實(shí)質(zhì)上蘊(yùn)含著幾何證明”.當(dāng)然，由于此題的定位是難題，點(diǎn)P的位置設(shè)計(jì)為“懸空點(diǎn)”，若改變∠DPF的頂點(diǎn)P或兩條射線PD，PF的位置，如P為格點(diǎn)或PD經(jīng)過格點(diǎn)等，可以有更多、更特殊的構(gòu)造正方形的作法，還可以建立平面直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算予以解答.

此題的求解重點(diǎn)，是能結(jié)合圖形的性質(zhì)，聯(lián)想作圖后生成的新圖形的特點(diǎn)，理解作圖的基本原理，明確作圖的“道理”.借助網(wǎng)格，將作圖的“想法、作法和道理”有機(jī)融合，是此題的特色；基于“道理”，把握“想法”的核心，適當(dāng)改編，讓“作法”更加豐富、收放自如，是此題服務(wù)于教學(xué)的初衷.

二、開展尺規(guī)作圖專題教學(xué)的實(shí)施建議

1.起于思，明確尺規(guī)作圖的課程目標(biāo)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).從21世紀(jì)開始的課程改革來看，關(guān)于幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì)，經(jīng)歷了“空間觀念”到“空間觀念和幾何直觀”，再到“直觀想象”的過程.《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對于尺規(guī)作圖的學(xué)業(yè)要求是：經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理和方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.可見，當(dāng)前尺規(guī)作圖的課程目標(biāo)，更加指向操作、想象、原理和方法.如果說直觀和變化是研究基本圖形基本性質(zhì)的重要方法，那么尺規(guī)作圖就是加以適當(dāng)描述或刻畫的“數(shù)學(xué)工具”之一.

在尺規(guī)作圖專題的教學(xué)中，教師應(yīng)“起”于基本圖形基本性質(zhì)的思考，幫助學(xué)生展開聯(lián)想，并通過想象確認(rèn)圖形中各要素之間的關(guān)系，再使用尺規(guī)進(jìn)行具體操作.

2.展有序，設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖的呈現(xiàn)方式

在與《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》配套的人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》中，關(guān)于尺規(guī)作圖內(nèi)容的呈現(xiàn)是分散的.例如，“作一個(gè)角的平分線”，既有“4.3.2角的比較與運(yùn)算”中通過折紙作角平分線的動(dòng)手操作和直觀確認(rèn)，又有“12.2三角形全等的判定”中所依據(jù)的基本事實(shí)和邏輯推理.再如，“作一條線段的垂直平分線”，與“13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)”內(nèi)容息息相關(guān)，還與“13.3.1等腰三角形”“24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”“24.2.2直線和圓的位置關(guān)系”“24.3正多邊形和圓”等內(nèi)容聯(lián)系緊密.這樣分散式的安排，更加注重了“作圖的道理”，為尺規(guī)作圖教學(xué)提供了重要的參考和豐富的資源.

在尺規(guī)作圖專題的教學(xué)中，教師應(yīng)“展”于有邏輯的任務(wù)群組.例如，由給定的作圖方法探究基本事實(shí)或依據(jù)，由具體的操作過程想象或推理新的結(jié)論，由圖形中的基本事實(shí)或關(guān)系實(shí)施新的作圖.這樣的設(shè)計(jì)，可以是獨(dú)立的問題，也可以是逐層遞進(jìn)的系列問題，但其中的關(guān)鍵一定是自然有序，且合情合理.

3.收到位，感悟尺規(guī)作圖的育人價(jià)值

初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域所涉及的研究對象——點(diǎn)、線、角、三角形、四邊形、圓，或者由它們組成的圖形，均可以用無刻度的直尺和圓規(guī)作出.事實(shí)上，我們所遇到的關(guān)于幾何圖形的問題主要有兩個(gè)：一是建立在對于現(xiàn)實(shí)問題的抽象的基礎(chǔ)之上，給定滿足某種條件（主要是位置關(guān)系）的圖形，研究其中要素之間的數(shù)量關(guān)系，會(huì)產(chǎn)生一系列的計(jì)算或證明等問題；二是給定某種條件，要求畫出的圖形滿足這些條件，自然需要利用無刻度的直尺和圓規(guī)來實(shí)現(xiàn).而且，在歐幾里得公理體系中，最基本的假設(shè)也決定了作圖只限于使用無刻度的直尺和圓規(guī).可見，尺規(guī)作圖在研究基本圖形的基本性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力的過程中發(fā)揮著重要的作用.

在尺規(guī)作圖教學(xué)中，教師應(yīng)“收”于想法、作法和道理的內(nèi)在關(guān)聯(lián)與相互統(tǒng)一，圍繞“你是如何想到的？”幫助學(xué)生感受到像幾何證明一樣，作圖也需要做到基于事實(shí)、有理有據(jù)、融會(huì)貫通，進(jìn)而養(yǎng)成良好的觀察、思考和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的習(xí)慣.

綜上所述，尺規(guī)作圖試題中承載著豐富的思想內(nèi)涵.2022年全國各地中考試卷中呈現(xiàn)的許多優(yōu)秀案例，也勢必會(huì)對尺規(guī)作圖專題的教學(xué)產(chǎn)生積極影響.數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不是解釋這個(gè)多彩的世界，而是更好地描述這個(gè)多彩的世界.用好尺規(guī)作圖，畫出數(shù)學(xué)的精彩！