核心素養(yǎng)理念下指向學習能力培養(yǎng)的教學路徑思考
——以一道幾何題的解決過程為例

應佳成

（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心）

在新課程理念下，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)是課程目標的集中體現(xiàn)，通過核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進一步發(fā)展學習能力是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的要求.能力的發(fā)展不能一蹴而就，需要在教師的啟發(fā)、引導下，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、體驗、領悟等心理活動，將相應的問題內(nèi)化到已有數(shù)學認知結構中，與已有數(shù)學認知結構相互作用、不斷積累，才能實現(xiàn)從技能到能力的飛躍.

本文聚焦一道幾何題的教學過程，通過層層遞進的思考，沿著明暗交織的兩條線索展開研究：以“解題技巧—原理分析—策略形成—建構生成”為明線完成教學活動，讓學生在參與的過程中形成經(jīng)驗和方法；以“方法—聯(lián)系—能力—素養(yǎng)”為暗線引導學生領悟數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系，提升思維水平.

學習材料：如圖1，在△ABC中，DE∥BC，BE，CD交于點P.求證：直線AP平分BC和DE.

圖1

一、解題技巧分析

材料問題的解決方法很多，主要集中于全等、相似、比例線段等方法，甚至可以用梅涅勞斯定理和塞瓦定理解題.但是從根本上看這些方法主要涉及全等與相似兩類思路.全等與相似具有特殊與一般的關系，在解法上我們聚焦相似和比例線段相融合的思路，這是實際解題過程中最常采用的方法.

1.合理猜想，構建思路

首先，要指導學生構建解題思路，涉及的主要數(shù)學思想是轉化與化歸.綜合學習材料的已知條件和結論不難發(fā)現(xiàn)，問題中涉及的圖形間的關系并沒有全部顯性表達，需要學生“連接AP并延長，交BC于一點（Q）”，將“直線AP平分BC和DE”這個條件顯性表達出來，并“過點P作MN∥DE∥BC”構造出與DE和BC平行的第三條平行線（如圖2）.

圖2

其次，執(zhí)果索因，從結論倒推所需要的上位條件，我們不妨用圖示法層層遞進將內(nèi)隱的思維過程顯性構建出來，探尋解題思路如圖3所示.

圖3

2.演繹推理，準確表達

逆向使用思維框圖，按照從因到果的過程完成演繹推理，問題即可得以解決.演繹推理能力是思維水平的直觀顯現(xiàn)，推理過程中容易出現(xiàn)表述繁雜、因果不清等現(xiàn)象，本質上是由于用“因為有A，所以有B”的論述方法解決具有復雜邏輯關系的問題時過程冗長、結構松散，可以引入邏輯推演符號“?”顯示證明過程的邏輯結構，精煉證明過程，做到層次分明、簡明扼要、清晰易懂.

這樣就邏輯清晰地解決了MP=PN這一關鍵問題，接下來的論述就水到渠成了.

由此得到直線AP平分DE.同理，可得直線AP平分BC.問題得證.

從幾何基本事實出發(fā)，有條理地運用分析法執(zhí)果索因，探索、發(fā)現(xiàn)、設計論證思路，再由因導果完成演繹證明，這是解決幾何問題的一般思路，在分析問題和解決問題的過程中發(fā)展學生的幾何直觀和推理能力.

二、基本原理挖掘

1.探究變化過程中的不變量

幾何學習強調(diào)從運動變化的觀點來研究圖形、挖掘本質.在運動變化的過程中發(fā)現(xiàn)恒定不變的規(guī)律，并找出確定不變的根本原因，這是發(fā)現(xiàn)問題本質的一般思路.接下來我們沿著這樣的思路挖掘材料的本質.

在上述問題解決的過程中，過點P添加平行線后，問題轉化為對MP=PN的論證，而點P是梯形對角線的交點（如圖4），由此引發(fā)思考，MP=PN是不是由梯形對角線交點決定的？

圖4

事實上，MP=PN是對長度的刻畫，而度量與面積密切相關，聚焦△DPB與△EPC這兩個圖形，發(fā)現(xiàn)無論梯形如何改變，由對角線相交構造出的△DPB與△EPC面積恒相等，這就是變化過程中的不變量.那么，決定三角形面積不變的關鍵要素是什么？由于左右兩個三角形的“高度和”相等，因而依據(jù)面積公式發(fā)現(xiàn)PM與PN相等，也就是說點P的特殊位置是產(chǎn)生“直線AP平分BC和DE”這一結論的決定性因素.

基于圖形面積間的關系發(fā)現(xiàn)線段長度間的關系是根本.以上分析證實了猜想“經(jīng)過梯形對角線交點且平行于兩底的平行線被交點平分”的正確性.在圖4的基礎上還可以進一步改變條件，如果平行線MN的位置是“動態(tài)”的，不經(jīng)過梯形對角線的交點（如圖5），可以得到MA=FN這個更為一般的結論.

圖5

2.分析問題蘊含的數(shù)學原理

如果教學僅限于解決一道題，容易導致學習經(jīng)驗碎片化，能力提升空間有限.數(shù)學學習追求的是從特殊到一般不斷逼近本質，指向公理、定理或者定義的數(shù)學原理分析是幫助學生理解問題本質、避免碎片化學習、積累學習經(jīng)驗、培養(yǎng)學習能力的關鍵環(huán)節(jié).

事實上，以上問題解決的方法源于平行截割定理，但并不是直接使用該定理.學生也許會產(chǎn)生疑惑，熟悉的平行截割定理為什么在此題中使用起來不順暢？接下來層層遞進指向本質.

圖6

第二步，將所獲結論一般化.一組直線束在一條直線上截得相等的線段，在該直線的平行直線上也截得相等的線段.

第三步，進一步推廣.一組直線束截兩條平行線，所得的對應線段成比例.

第四步，總結.如果一組直線束被兩條平行線所截，不僅直線束被平行線截得的線段間存在比例關系，平行線被直線束截得的線段間也存在比例關系.這正是學習材料的解決基礎，深度剖析的過程可以提升學生的理解層次，是能力培養(yǎng)的重要過程.

以上分析推廣了定理、解釋了MP=PN的根本原因，還基于運動變化的視角總結出更具一般性的結論，使得課堂生成遠遠超出材料本身，將學生的思維水平推上新高度.

三、策略形成指導

學習材料中題干的條件少之又少，說明材料內(nèi)涵豐富、拓展性好、結論具有一般性.從方法論的視角看，具有一般性的結論往往可以在不同的領域間產(chǎn)生廣泛的聯(lián)系.

1.在數(shù)學間相互表征

學習的過程是建立聯(lián)系的過程，用代數(shù)關系將一個幾何問題中蘊含的數(shù)量關系表達出來是數(shù)學邏輯發(fā)展的需要，是培養(yǎng)幾何與代數(shù)相互表征能力的過程，廣義上看是培養(yǎng)數(shù)形結合思想的重要過程.

至此，在材料中挖掘出基本幾何結構與代數(shù)結構的相互表征，其關系如圖7所示.

圖7

2.數(shù)學與其他學科的聯(lián)系

圖8

由于數(shù)學內(nèi)容間、數(shù)學與其他學科間的關聯(lián)往往比較隱蔽，學生不容易發(fā)現(xiàn)，因此策略形成階段需要突出教師的指導作用，指導學生找出新、舊內(nèi)容在一般原理中的一致性，指導他們將具體問題歸納為一般原理，從一般原理的高度去認識問題，使思維方式具有廣泛的遷移性，形成能力.

四、建構生成觀念

數(shù)學學科的特點是不同分支有一定的獨立性，但同時又有內(nèi)在的緊密聯(lián)系，建立這種聯(lián)系是數(shù)學教學的重要任務.在上述問題解決的過程中，存在一個不可回避的問題：盡管學習材料的結論非常優(yōu)美，但是平行截割定理與相似三角形原理交替使用，思考和論證都比較煩瑣.與優(yōu)美的結論相比，現(xiàn)有的知識范疇已經(jīng)無法幫助學生做出更簡潔的論證方法，構建更高層面的知識框架便成為需要.

中學幾何中的某些問題可以歸結為射影幾何問題.在射影幾何視角下，由于經(jīng)過同一個無窮遠點的直線都平行，因此平面幾何中心射影（直線束）和平行射影（平行線）兩者就可以得到統(tǒng)一，平行射影可以看作經(jīng)過無窮遠點的中心投影，這樣恰當?shù)乩猛耆狞c形交比定理的無窮遠特例可以快速解決問題，降低問題解決的難度，優(yōu)化證明思路，使過程清晰、簡潔，可以讓學生領略構建新知識體系系統(tǒng)化解決問題的魅力.

1.概念重構

如圖9，設A，B，C，D是射影直線l上的4個不同點，如果（ABCD）=-1，則稱A，B，C，D為一個調(diào)和點列，或者說點A，B被點C，D調(diào)和分割.特別地，若點D是一個無窮遠點（如圖10），則（ABCD）=（ABC）=-1，即點C為線段AB的中點.

圖9

圖10

2.性質定理

設A，B，C，D是射影平面上的4個不同點，滿足任意三點不共線，AB交CD于點F，AD交BC于點H，AC交FH于點G，DB交FH于點E，AC交DB于點K（如圖11），則（FHGE）=（DBKE）=（ACKG）=-1.

圖11

3.解決問題

圖12

4.學習心理建構

此題重新論證完成后，需要幫助學生至少在兩個方面建立內(nèi)心體驗：其一，用現(xiàn)有知識將需要反復論證的問題換一個視角，提升思考維度，問題則可以得到輕松解決，在文章第一部分中提到的各種解題思路，諸如平行截割定理、相似原理、特殊的梅涅勞斯定理、塞瓦定理等都可以在射影變換性質下（交比定理）得到統(tǒng)一的解釋；其二，對新知識體系的研究還是沿著熟悉的“概念—表示—性質—判定—應用”的路徑展開，并沒有脫離認識問題的基本路徑，激發(fā)學生產(chǎn)生積極學習的心態(tài)，不會因為未知而產(chǎn)生畏懼心理，愿意嘗試用更高維度的視角解決現(xiàn)有的問題，理解學會學習才是真正面向未來的能力.

五、總結

1.站穩(wěn)“四基”，發(fā)展“四能”

幾何教學需要站穩(wěn)“四基”，不能好高騖遠.在一線調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，邏輯關系不清晰導致的學習問題仍然存在，教師應該基于幾何直觀，從幾何基本事實出發(fā)，步步有據(jù)，用好數(shù)學語言，著力抽象能力、推理能力的發(fā)展，培養(yǎng)學生利用幾何知識分析和解決問題的能力.學生能力的培養(yǎng)、思想方法的形成并非一朝一夕便可以完成的，而是需要點點滴滴的積累，在學生活動的過程中逐漸滲透，積累到一定程度可以產(chǎn)生質的飛躍，形成數(shù)學觀念.

2.發(fā)展能力，學會學習

能力是概括化、系統(tǒng)化的知識技能.數(shù)學能力是在獲得數(shù)學知識、數(shù)學技能的基礎上，通過廣泛遷移不斷概括化、系統(tǒng)化而實現(xiàn)的.數(shù)學學習的意義，是在已知的數(shù)學對象和數(shù)學關系與未知的數(shù)學對象和數(shù)學關系間建立聯(lián)系，解決問題.教師需要創(chuàng)造機會，讓學生體驗到問題解決是推動數(shù)學發(fā)展的動力，數(shù)學在不斷自洽的過程中向前發(fā)展，這樣的體驗可以激發(fā)學生不斷探究數(shù)學奧秘的欲望，從而發(fā)展能力，培育核心素養(yǎng).例如，本文材料的深度挖掘，可以擴大眼界，讓學生知道在歐氏幾何以外還有一個廣闊的幾何學的新天地.中學生正處于思維最為活躍的年齡，嘗試把學習放在一個更廣闊的背景下來思考，所獲得的對數(shù)學的總的認識，對培養(yǎng)和提高學生的學習興趣可以起到長久的作用.這種指導雖然是抽象的，但是對培養(yǎng)學生的辯證思維具有深刻意義.