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    數(shù)值求解納米尺度熱傳導分數(shù)階拋物兩步模型

    2023-01-12 01:37:02沈淑君
    華僑大學學報(自然科學版) 2023年1期
    關鍵詞:熱傳導拋物邊界條件

    沈淑君

    (1.華僑大學 數(shù)學科學學院,福建 泉州 362021;2.華僑大學 計算科學福建省高校重點實驗室,福建 泉州 362021)

    納米傳熱現(xiàn)象的模擬已經(jīng)引起人們的廣泛關注,特別是超短脈沖激光加熱引起的納米尺度熱傳導.由于效率高、功率密度高、附帶材料損壞小、加熱高精度控制等優(yōu)點,超短脈沖激光加熱技術已廣泛應用于生物、化學、醫(yī)學、物理和其他的熱加工領域,如薄金屬薄膜的結構監(jiān)測,激光微加工,激光微薄膜的制圖、結構裁剪和薄膜沉積中的激光加工等[1].分數(shù)階微分算子具有非局部性,非常適用于描述現(xiàn)實世界中具有記憶及遺傳性質的材料,已成為描述各類復雜力學和物理行為的重要工具之一[2].分數(shù)階微積分已成功地應用于多種熱傳導模型的模擬和研究[3-5],分數(shù)階模型已被證實是一個很好的納米級傳熱的候選者[6].繼續(xù)研究文獻[1]中的分數(shù)階拋物型兩步超短脈沖激光加熱引起的納米級熱傳導模型,即

    (1)

    (2)

    (3)

    1892年,Hadamard提出了Hadamard分數(shù)階導數(shù)[10],這種分數(shù)階導數(shù)與Riemann-Liouville和Caputo分數(shù)階導數(shù)的區(qū)別在于積分核含有任意指數(shù)的對數(shù)函數(shù).研究者發(fā)現(xiàn),Hadamard分數(shù)階微積分在描述材料疲勞裂紋擴展方面具有潛在的應用價值[11-14].但是,Riemann-Liouville導數(shù)和Hadamard導數(shù)的其中一個缺點就是對常數(shù)的導數(shù)一般不等于零.2012年,Jarad等[7]修改了Hadamard分數(shù)階導數(shù),使其對一個常數(shù)的導數(shù)為零,并且使其在物理上具有類似于Caputo分數(shù)階導數(shù)那樣的可解釋的初始條件,由此產(chǎn)生了Caputo-Hadamard分數(shù)階導數(shù).比起Hadamard分數(shù)階導數(shù),Caputo-Hadamard分數(shù)階導數(shù)更適合應用在工程和科學中[7,10,14].

    與文獻[1]做法一樣,引入無量綱參數(shù),便得到無量綱的分數(shù)階拋物型兩步熱傳導模型為

    (4)

    (5)

    式(4)中:Kn表示Knudsen數(shù).

    此外,需要指出的是,在考慮納米級傳熱時[15],非跳溫邊界條件忽略了邊界聲子散射的影響,導致在邊界附近的結果令人不滿意.通過觀察發(fā)現(xiàn),碳納米管的熱流是阻塞的,溫度在管的兩端可以看到跳躍[16-17].為了捕捉納米幾何結構內(nèi)部的邊界聲子散射效應,提出溫度跳躍(Robin′s)邊界條件[1],即

    (6)

    為使記號簡單,采用u(x,t)和v(x,t)分別代替模型中的Te(x,t)和Tl(x,t).

    1 模型方程

    考慮無量綱分數(shù)階兩步模型,即

    (7)

    (8)

    帶有Robin邊界和初值條件為

    (9)

    u(x,a)=T1(x),v(x,a)=T2(x),x∈[0,1].

    (10)

    (11)

    同理,用類似的過程可以得到v(x,t)的第2個邊界條件為

    (12)

    2 緊有限差分格式

    引理1[1]如果f(x)∈C6[x0,xM] ,則有

    引理2[9]設0<α<1,g(t)∈C2[a,tk],則有

    (13)

    (14)

    (15)

    (16)

    把邊界條件(9)和方程(16)一起代入方程(14),可得

    (17)

    (18)

    于是,方程(17)變?yōu)?/p>

    (19)

    同理,用類似上面的過程可以推導出當i=M時方程(7)的緊格式為

    (20)

    當1≤i≤M-1時,利用引理1,2可得

    (22)

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    (27)

    式(23)~(26)中:1≤k≤N.

    備注2用類似文獻[1]中的能量分析的方法可以證明差分格式(23)~(27)是穩(wěn)定的,并且收斂階為O(τ2-α+h4).

    3 數(shù)值算例

    考慮帶Robin邊界的Caputo-Hadamard分數(shù)階拋物型兩步模型,即

    (28)

    (29)

    (30)

    u(x,1)=0,v(x,1)=0,x∈[0,1].

    (31)

    式(28),(29)中:0<α<1.

    當時間tF=2,空間步長h=1/50時,隨著時間步長τ的減少,取不同時間分數(shù)階α時,例1數(shù)值解的最大誤差和時間上的收斂階的情況,如表1~4所示.表1~4中:EU,max,EV,max分別為U,V的最大誤差;RateU,RateV分別為U,V的收斂階.

    表1 α=0.2 時的最大誤差和時間上的收斂階(例1)Tab.1 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.2 (example 1)

    表2 α=0.5 時的最大誤差和時間上的收斂階(例1)Tab.2 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.5 (example 1)

    表3 α=0.8 時的最大誤差和時間上的收斂階(例1)Tab.3 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.8 (example 1)

    表4 α=0.999 時的最大誤差和時間上的收斂階(例1)Tab.4 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.999 (example 1)

    由表1~4可知:時間上的收斂階大概是2-α.這與引理2的結論吻合.

    當時間tF=2,時間分數(shù)階α=0.5,τ=1/20 000時,隨著空間步長的減少,例1數(shù)值解的最大誤差和空間上的收斂階,如表5所示.由表5可知:空間上的收斂階大概是4階.

    表5 α=0.5時的最大誤差和空間上的收斂階(例1)Tab.5 Maximum errors and convergence rates in space for α=0.5 (example 1)

    源項

    參數(shù)取為B=G=c0=Kn=1.可以算出精確解為

    當時間tF=2,h=1/50時,隨著時間步長的減少,取不同的時間分數(shù)階α時,例2數(shù)值解的最大誤差和時間上的收斂階,如表6~9所示.

    表6 α=0.2 時的最大誤差和時間上的收斂階(例2)Tab.6 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.2 (example 2)

    表7 α=0.5 時的最大誤差和時間上的收斂階(例2)Tab.7 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.5 (example 2)

    表8 α=0.8 時的最大誤差和時間上的收斂階(例2)Tab.8 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.8 (example 2)

    表9 α=0.999 時的最大誤差和時間上的收斂階(例2)Tab.9 Maximum errors and convergence rates in time for α=0.999 (example 2)

    由表6~9可知:時間上的收斂階大概也是2-α,這與引理2的結論吻合.

    當時間tF=2,α=0.2,τ=1/20 000時,隨著空間步長的減少,例2數(shù)值解的最大誤差和空間上的收斂階,如表10所示.由表10可知:空間上的收斂階也大概是4階.

    表10 α=0.2 時的最大誤差和空間上的收斂階(例2)Tab.10 Maximum errors and convergence rates in space for α=0.2 (example 2)

    4 結束語

    對無量綱的分數(shù)階拋物型兩步熱傳導模型提出了高階有效的數(shù)值算法.方程中采用的是Caputo-Hadamard分數(shù)階導數(shù),并且考慮的是Robin邊界條件,目前國內(nèi)外文獻還鮮有研究.利用空間四階緊格式和Caputo-Hadamard時間分數(shù)階導數(shù)的L1逼近格式建立了數(shù)值格式.文中的兩個數(shù)值例子驗證了提出的數(shù)值算法的有效性.通過改變Knudsen數(shù)和分數(shù)階導數(shù)的數(shù)值以及邊界條件中的參數(shù),模擬可以作為分析超短脈沖激光作用下多孔介質(如多孔金屬薄膜)納米尺度熱傳導的工具.后續(xù)可進一步深入探索算法的理論研究.

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