略論羅吉爾·培根的數(shù)學觀

劉 釗

(長沙師范學院 馬克思主義學院， 湖南 長沙 413100)

一、引言

西方學術傳統(tǒng)一直重視數(shù)學學科。一般認為，近代科學兩個重要的特征是自然的數(shù)學化和實驗方法的使用，兩者之中，自然的數(shù)學化顯得尤為重要。這種傳統(tǒng)和方法源自古希臘，畢達哥拉斯學派十分重視數(shù)的作用，把數(shù)看做世界的本原。希臘化時代，亞歷山大里亞學派的歐幾里得創(chuàng)立平面幾何，托勒密和阿基米德則完成了早期自然數(shù)學化的工作[1]。中世紀早期，波埃修斯(Boethius, 480—524)就提倡數(shù)學的重要性，卡西奧多拉斯(Cassiodoriu, 490—585)首倡“四藝”(Quadrivium)，其中就有幾何和算術，這也成為中世紀大學課程中重要的“自由七藝”(Septem Artes Liberales)內容。在這樣的歷史傳承和時代背景下，中世紀盛期經(jīng)院哲學內部出現(xiàn)了一些學者，他們開始逐漸發(fā)現(xiàn)并強調數(shù)學的重要性，羅吉爾·培根就是這股思潮在13世紀的代表。

羅吉爾·培根(Roger Bacon，1214—1292)是13世紀英國杰出的學者，他曾就讀并任教于牛津大學，是圣方濟各會修士，其最重要的學術成就之一是《大著作》(Opus Majus)。在經(jīng)院哲學盛行的年代，培根特別關注和傳統(tǒng)經(jīng)院哲學不盡一致的學科領域，尤其強調數(shù)學的重要性?！洞笾鳌返谒牟糠謽祟}就是《數(shù)學》(Mathematicae)，培根在其中全面論述了他的數(shù)學觀。從中可以發(fā)現(xiàn)，培根在13世紀的觀點似乎預示了四百年后近代科學發(fā)展的方向，培根成為了走在時代前列的人。

二、傳統(tǒng)與權威：培根數(shù)學知識的來源

培根數(shù)學知識的主要來源是前輩學者的著作。培根通曉許多經(jīng)典的數(shù)學著作或和數(shù)學相關的著作，這都體現(xiàn)在培根的論著中。

(一)受西方數(shù)學先賢影響

從古希臘到中世紀早期的諸多西方學者首先影響了培根的數(shù)學思想。培根引用柏拉圖的《蒂邁歐篇》，這其中有很多數(shù)學與天文學的論述。培根幾乎引用了亞里士多德的所有著作，精通歐幾里得的《幾何原本》(Elements)和《光學》(Optics)，十分熟悉托勒密的《天文學大成》(Almagest)和《光學》(Optica)，讀過狄奧多西(Theodosius of Bithynia，前160—前100)的《論天球》(Sphaerics),并且?guī)缀踔老Ｅ量?Hipparchus，前190—前120)、阿波羅·尼奧斯(Apollonlus，前262—前190)和阿基米德的所有著作。他也通過二手材料了解了尼科馬霍斯(Nicomachus of Gerase，60—120)的著作。羅馬之后的拉丁學者為培根常常提及的是波埃修斯，以及那些后期著作家如伊西多爾(Isidore of Seville，560—636)、卡西奧多拉斯、比德(Bede，673—735)和約翰努斯·內莫拉里莫斯(Jordanus Nemorarius)，他們均活躍于13世紀[2]160。

(二)熟悉東方數(shù)學眾杰

培根同時也熟悉東方諸多學者尤其是阿拉伯學者，這其中他主要關注天文學和光學等方面較有成就的人。有些學者的光學研究需要用到數(shù)學(幾何)知識，因此也被培根看作數(shù)學家。影響培根的阿拉伯數(shù)學學者包括伊本·哈塔姆(Ibnel-Haitam)、阿維森那(Avicenna)、阿爾金地(Al-Kindi)、泰比特·伊本·科拉(Tabit Ibn Qorra)、阿爾·法格尼(Al-Fargani)、阿爾巴塔尼(Al-Battani，858—929)。[2]161這其中對培根影響最大的是伊本·阿爾哈曾(Ibn Al-Haytham)，他的主要成就在于透視學，其影響一直持續(xù)到17世紀。阿爾法拉比(Al-Farabi，872—950)的《論科學》(De Scientiis)和《知識的興起》(De Ortu Scientuarum)也為培根所提及[3]。需要指出的是，在代數(shù)方面，培根知道一些學者的名字，卻沒有在他的著作里提到任何代數(shù)學的著作和具體知識。另外，培根的著作中沒有提到中世紀伊斯蘭世界最著名的數(shù)學家歐瑪爾·海亞姆(Omar Khayyam，1048—1122)，這也說明培根并不算是一個專業(yè)的數(shù)學家。

三、鑰匙、確定性與天賦論：培根的數(shù)學觀

在《大著作》中，培根對數(shù)學的論述有三個特點。第一個特點是篇幅長，內容多。在《大著作》第四部分，培根以洋洋灑灑三百多頁的內容討論了數(shù)學這個主題，這遠超同時代的非數(shù)學專業(yè)學者，同時這部分內容在培根《大著作》中所占的篇幅也是最長的。第二個特點是“筆端常帶感情”，但又不失理智。仔細閱讀《大著作》文本就會發(fā)現(xiàn)，培根對于數(shù)學的討論語句，充滿了對數(shù)學的贊美和頌詞，而其他學者所表現(xiàn)出來的往往是冷靜哲學風格的分析。培根的作品不是分門別類條目式的數(shù)學論文，而是從心底的吶喊，是對教皇的宣傳和演說。他想積極說服教皇，只有數(shù)學才是拯救基督教之良方。這并不是說培根的作品里面缺乏深刻的分析和哲理，而是其字里行間透露出的熱忱將冷靜的深刻思考掩蓋住了，如果剝離掉文本之中的感情，仍舊可以發(fā)現(xiàn)熱情之下冷靜的理智[4]。第三個特點是培根以數(shù)學在整體學科中的地位來看待數(shù)學。培根所關注的不是數(shù)學本身，而是數(shù)學在整個學科分類和學習中的地位和次序。培根是一個百科全書式的學者，他是從所有學科的整體性這個高度出發(fā)來看待數(shù)學，尤其關注數(shù)學學科教育的過程。

(一)數(shù)學的基礎性

1.數(shù)學是知識的“大門”與“鑰匙”

培根在《大著作》中《數(shù)學》部分的開篇即開宗明義，就數(shù)學的基礎地位來論述其重要性。培根認為：“我們如果沒有四大科學是無法掌握其他科學知識的……，這些科學的大門與鑰匙是數(shù)學，……忽視數(shù)學的人無法知道其他科學或這個世界上的其他事物。”[5]116

培根的這段話預示著數(shù)學知識在科學研究中的重大作用。當時科學的發(fā)展還不能發(fā)現(xiàn)數(shù)學是科學方法的特征之一。但是培根以他所處時代的知識論證了數(shù)學的重要性，其表現(xiàn)就是培根對中世紀的“透視學”(Perspective，Perspectiva)有非常精深的研究，他在透視學中頻繁使用了幾何方法。大衛(wèi)·C.林德伯格認為，培根的透視學理論緊密結合了幾何學知識，比較多地運用了數(shù)學尤其是幾何方法，可稱為“幾何透視學”[6]。

2.數(shù)學是所有學科的基礎

培根在強調數(shù)學重要性時借助了很多權威的理論。培根認同并引用波埃修斯(Boethius)在《算術》(Arithmetic)中的話：“如一個研究者不懂數(shù)學將不能認識真理。無論誰忽視這個方法，他將失去所有知識。除非他掌握‘四藝’，否則將不能到達哲學的高度?！盵5]117在這一點上，培根認為亞里士多德是一個很好的例證。亞里士多德在《形而上學》第六卷中說到：“在三種哲學的基礎——數(shù)學、自然科學和神學中，數(shù)學更為基礎，并對掌握其他兩種有幫助?！辈浑y發(fā)現(xiàn)，培根認為權威都將數(shù)學看作是對其他知識有益的學問，并借助權威的觀點來論證數(shù)學的重要性。

(二)數(shù)學的唯一確定性

1.數(shù)學本身的唯一確定性

培根同時還強調，數(shù)學的唯一確定性是數(shù)學學科的特點之一。他的論述極為精彩與透徹：“數(shù)學能使我們排除錯誤、追求真理，獲得一個毫無疑點的確定性。數(shù)學有嚴密的邏輯推論與證明，通過作圖與計算，我們所能認知的一切都是明確的，因此我們對數(shù)學知識沒有不確定的懷疑。其他學科則不然?！盵5]124

由此可以看出，培根認為數(shù)學幾乎能超脫于感覺與經(jīng)驗事實，在確定基本原則之后，數(shù)學的命題與結論可以通過純粹邏輯的推理與計算得出。培根能夠認識到這點，首先是因為他能夠很好地掌握歐幾里得《幾何原本》中的推理方法與數(shù)學精神。其次，他重視幾何與算術，這也是中世紀“自由七藝”的學術傳統(tǒng)。需要特別指出的是，培根在這里所說的數(shù)學更多地指向歐幾里得的幾何學，而不是算術。最后，在中世紀眾多學者中，培根認為作為工具的數(shù)學能夠使諸多學科體現(xiàn)出唯一確定性的特點，而這和以后自然科學的發(fā)展趨勢是一致的。

2.數(shù)學能使其他學科達到唯一確定性

正是因為數(shù)學自身的唯一確定性，所以培根認為，其他學科的確定性也必須借助數(shù)學才能達到。這個原則在歐幾里得《幾何原本》第九卷中被提及：“問題不能為懷疑所確認，真理也不能由謬誤來證明……但是只有數(shù)學……在必然性與驗證范圍之內是明確的，是可以驗證的，因此所有其他科學都必須通過數(shù)學來進行掌握與驗證。”[5]124-125

相當具有啟發(fā)性的是他在《大著作》中討論重物的降落時，區(qū)分了關于事實(quia)的證明與原因(propter quid)的證明，或者稱之為通過結果與通過原因進行證明，即在所有原因的證明中都需要數(shù)學，而事實的證明則采用的是物理原理：“我們可以看到與自然事物有關的論證有兩種模式：一種是從原因(cause，causas)開始的證明，一種是從效果(effect，effectum)開始的證明?！侵挥性蚩梢哉莆照嬲闹R(scientia)，或者至少說到目前為止，通過原因掌握的知識比效果的知識要好一些，……因此，既然在自然事物中，通過原因進行證明可以通過數(shù)學進行證明，并且通過自然哲學可以通過結果進行證明，因此數(shù)學家比自然哲學家能夠更好地獲得自然事物的真正知識?！盵5]189

這段話意味著兩點：第一，培根的論述展示了他試圖區(qū)分新科學與傳統(tǒng)的經(jīng)院哲學、自然哲學和物理學的不同。他的新科學是基于數(shù)學和經(jīng)驗的推理論證，經(jīng)院哲學只是追求內在一致的推理論證，這樣的推理論證遲早會淪落為詭辯[5]127。培根之后的康德通過指出邏輯的內在局限——二律背反，補充了培根的學說。至于自然哲學，培根認為自然哲學家不能與數(shù)學家相媲美，因為前者證明的過程是從效果到原因，是歸納的，后者是從原因到效果，是演繹的，因此數(shù)學家的證明更加嚴格。數(shù)學家研究自然得出的結論比自然哲學家更為可靠，所以培根認為自己利用數(shù)學和經(jīng)驗的新科學更加優(yōu)越。第二，培根將數(shù)學看作是科學研究的重要工具，是知識的協(xié)調者。培根對數(shù)學的討論在大部分時候不是關注于數(shù)學本身，而是將數(shù)學作為一種工具，是一種將精確性帶給物理學的方法，它指定了自然中可量化的元素。它給學者需要的確定性，通過測量和計算經(jīng)驗感受到的事物，這種確定性越發(fā)堅不可摧，因為它可以確認他通過觀察認知到的。只有通過數(shù)學才能確定什么樣的性質和原因是能被科學調查所影響的。應該承認，培根是第一批認識到絕對有必要將數(shù)學應用到物理學的人[7]。

(三)天賦能力、優(yōu)先教育與感性認識：數(shù)學的地位和次序

在討論完數(shù)學的重要性和唯一確定性之后，培根將數(shù)學置于整個學科體系當中，分析其在學習中的地位和次序。培根的這些論述大多針對人先天的能力與教育過程的先后順序，可以看做是對數(shù)學的教育學和心理學分析。

1.數(shù)學本身并不復雜

培根雖然將數(shù)學置于至高無上的地位，但他并不認為數(shù)學本身是一門非常復雜的學科，人們學習數(shù)學也不需要卓越的能力。培根認為沒有理由可以支持逃避學習數(shù)學的行為，因為理解數(shù)學是人的先天能力，即使完全沒有文化修養(yǎng)的人也知道畫圖、估算與唱歌，這些都是數(shù)學行為，因此可以證明數(shù)學沒有超出人類的智力范圍[5]122。更早的柏拉圖對此也有論述，《美諾篇》就敘述了一個奴隸出身的男孩學習幾何的例子，以此說明幾乎文盲的人也容易學會數(shù)學[8]。培根是從幾何、算術和音樂來考察數(shù)學所對應的人的某種能力，這依然是在中世紀“四藝”的范圍之內。培根以一些簡單的事實來論證自己的觀點，繪畫、計數(shù)與吟唱是人類先天的能力，沒有接受過專業(yè)數(shù)學培訓的人也能擁有這些技能，至少說明數(shù)學本身并不復雜，人類天賦掌握著學習數(shù)學的能力。培根在此處很明顯受到了柏拉圖思想的影響，但他更進一步，認識到畫圖以外的估算和唱歌能力同樣也是天賦的數(shù)學行為。

2.數(shù)學是人應該最先掌握的學科

在培根看來，認識自然的過程要由易到難。兒童最先學會的是唱歌，然后是畫畫，這些都和數(shù)學有關，因此數(shù)學是人應該最先掌握的學科。他還引用亞里士多德在《倫理學》(Ethic)中的話來闡明兒童掌握數(shù)學知識比其他知識要快。培根指出認識自然就應該從最簡單的開始，而最容易掌握的知識就是數(shù)學[5]127。培根的這些話體現(xiàn)出他對教育的關心。他認為在教育中數(shù)學應該置于優(yōu)先的地位，以便于學生以后學習其他的知識，這是他作為一個教師的職業(yè)敏感性，這也是培根對認識世界過程的分析——兒童認識世界的過程可以看做是人類認識世界過程的再現(xiàn)。這一觀點在先哲那里已經(jīng)得到確認。

3.人的理性因數(shù)而進步

培根認為，對于人們來說，認識自然的路徑要從感性到理性，缺少感性認識，和感性認識相關的知識就會缺失。識數(shù)屬于常識性的能力，并且經(jīng)由其他的感知所認識。缺少數(shù)字，任何事物都不能被理解。因此人的理性尤其能夠因崇敬數(shù)而獲得進步。亞里士多德在《記憶與回憶》(Memoria et Reminiscentia)中提到，我們總體的理解力都與連續(xù)性和時間相關，我們通過對人的智力的直觀感知而領悟數(shù)和天體，因為數(shù)和天體的形式就存在于人的智力之中[5]125。這段論述說明培根已經(jīng)開始深入思考認識論的相關問題，人類為什么可以認識世界和人如何認識世界這兩個問題，在培根這里已經(jīng)有了一些重要的結論。人類的數(shù)學能力是建立在對時間和空間的直觀感知上的，這種能力織就的先天認識之網(wǎng)捕捉感性的經(jīng)驗事實造就了人對自然的認識，這是一條從先天能力到經(jīng)驗事實再到理性把握的認識道路。培根同時還指出：“一個人如果學好了數(shù)學，那么他對于哲學的掌握會更加精深。”[5]122而現(xiàn)代邏輯的發(fā)展史，即從形式邏輯發(fā)展到數(shù)理邏輯階段，也印證了培根的這些觀點。必須承認，13世紀的培根有一定的先見之明。

四、結語

學術的傳承是其得以發(fā)展的基礎，培根的數(shù)學觀正體現(xiàn)了這一特點。古典時期和中世紀早期學者的著作，經(jīng)過大翻譯運動而被拉丁世界重新認識，培根有幸生活在大翻譯運動接近完成的年代，因此他吸收了大量古典時期的數(shù)學遺產(chǎn)，同時也繼承了伊斯蘭學者的數(shù)學成就，形成了自己的數(shù)學觀?？梢哉f，歷史為培根數(shù)學觀的形成創(chuàng)造了優(yōu)越條件。

中世紀的“自由七藝”傳統(tǒng)中就有算術和幾何的內容，經(jīng)院哲學家的邏輯推理法，也和歐幾里得幾何學有著思維上的一致性，但是數(shù)學的重要性卻并沒有引起傳統(tǒng)經(jīng)院哲學家的特別關注，古希臘流傳下來的數(shù)學知識還在神學的母體內孕育著。培根的獨特之處正在于此，他以灼灼眼光發(fā)現(xiàn)了數(shù)學作為其他學科“大門”與“鑰匙”的身份，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學是其他學科的基礎。更重要的是，他將演繹法的邏輯嚴密性賦予了數(shù)學，并強調數(shù)學的唯一確定性，并且能帶給其他學科唯一確定性，這是將數(shù)學和自然科學從神學和哲學的框架之中解放出來的重要一步。不僅如此，培根的視野之開闊、眼光之高遠還體現(xiàn)在他是從整體學科的高度，以及教育過程的漸進性來看待數(shù)學的地位，指出數(shù)學的至高地位和天賦能力的特點，因此在系統(tǒng)的學科體系和教育體系中應該置于首位。

研究發(fā)現(xiàn)，培根的數(shù)學觀在中世紀盛期的歐洲是振聾發(fā)聵的吶喊，盡管受限于時代，但仍可以說培根的數(shù)學觀具有一定的先見之明。他并不一定看到了四百年后科學的發(fā)展，但是可以認為，他看到了13世紀所能見到的最遠的將來，這種預見性也就是人類知識大廈在13世紀的基石。