3D 混凝土打印進(jìn)程中柱殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能研究

劉軒廷，孫博華

(1. 西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，西安 710055；2. 力學(xué)技術(shù)研究院，西安 710055；3. 西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，西安 710055)

3D 打印的概念是由Charles Hull 于20 世紀(jì)80 年代初提出，問世至今30 余年間，3D 打印技術(shù)發(fā)展尤為迅速，并取得了巨大的成功。但當(dāng)時(shí)盛行的立體光刻、熔融沉積建模方式并不適用于建筑行業(yè)，直至KHOSHNEVIS 等[1]開創(chuàng)性地提出了“輪廓工藝”，展現(xiàn)了增材制造技術(shù)在建筑領(lǐng)域的潛力。建筑業(yè)的增材制造方法主要是基于擠壓的3D 混凝土打印(3DCP)，其中混凝土材料不斷從噴嘴中擠出，以實(shí)現(xiàn)分層打印[2]。3DCP 技術(shù)由于材料的局限性、經(jīng)濟(jì)性等原因，尚未挖掘出其真正潛力，但是在某些極端條件下，有效地彌補(bǔ)了傳統(tǒng)建筑的弱項(xiàng)，如該技術(shù)在防疫方艙醫(yī)院建造方面的應(yīng)用，于其他星球建造棲息地等[3?8]。

MOHAN 等 [9]針對基于擠出的3DCP 中混凝土的早期材料行為進(jìn)行了討論，將其分為了兩個(gè)階段：1)沉積前，包括將新拌混凝土運(yùn)送至噴頭，以及新拌混凝土由噴頭擠出時(shí)，混凝土打印條的完備性，層截面幾何形狀等[10?14]；2)沉積后，包括3DCP 結(jié)構(gòu)的建立和強(qiáng)度的增加。沉積后，混凝土需具備抵抗自重以及后續(xù)層重量的能力，其次3DCP 結(jié)構(gòu)也需要具有足夠的穩(wěn)定性，因此，用于考慮3DCP 結(jié)構(gòu)塑性坍塌與彈性屈曲的數(shù)值模型被討論[15?22]。此類針對打印進(jìn)程中力學(xué)性能的研究可優(yōu)化打印參數(shù)的設(shè)定，同時(shí)避免大量試驗(yàn)。

混凝土沉積后，針對其打印進(jìn)程中的力學(xué)行為，SUIKER[20]首次給出了直壁結(jié)構(gòu)相應(yīng)的力學(xué)模型，在引入混凝土固化性能與打印參數(shù)下，將參數(shù)模型結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)、有限元模擬進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)可較好地分析結(jié)構(gòu)在打印進(jìn)程中的破壞行為，預(yù)測直壁結(jié)構(gòu)打印層數(shù)，并為找尋最佳打印參數(shù)集給予了理論指導(dǎo)。WOLFS 等[17]對3DCP圓柱殼結(jié)構(gòu)的早期力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值建模與試驗(yàn)測試，但結(jié)果顯示，有限元模擬在預(yù)測失效變形模式方面是較為準(zhǔn)確的，但在定量分析失效層數(shù)方面仍存在提升的空間。WOLFS 等[17]將結(jié)果的差異歸因于材料性能的高估以及對幾何、材料缺陷的忽視。OOMS 等[22]提出并討論了一種用于模擬3DCP 結(jié)構(gòu)行為的數(shù)值模型，可用于自動生成數(shù)值分析輸入文件而不管打印幾何的復(fù)雜性，但在預(yù)測3DCP 圓柱殼失效層數(shù)方面仍存在較大差距。OOMS 等[22]認(rèn)為結(jié)果的差異可能由材料性能的高估與有限元模擬所選的網(wǎng)格、單元類型導(dǎo)致，但其相關(guān)方面的研究并未得到較好的結(jié)果。因此，針對3DCP 進(jìn)程中圓柱殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行分析是十分重要的[23]。

本文在相關(guān)殼體屈曲理論基礎(chǔ)上[24?44]，結(jié)合打印進(jìn)程參數(shù)，構(gòu)建了用于描述3DCP 圓柱殼彈性屈曲與塑性坍塌的參數(shù)模型，并對二者的競爭關(guān)系進(jìn)行了評判。將得出的理論、模擬結(jié)果與WOLFS 等[17]試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)該文提出的模型可以較好地預(yù)測3DCP 圓柱殼的失效高度與失效形式。

1 非均勻內(nèi)力作用下的非均質(zhì)柱殼

在3DCP 進(jìn)程中，柱殼結(jié)構(gòu)會因混凝土固化行為影響，材料在垂直方向(自重方向)呈非均質(zhì)性。此外，柱殼結(jié)構(gòu)承受的載荷為自重載荷，其應(yīng)力在垂直方向同樣是不均勻的。與之對應(yīng)的是，需基于平衡方程與邊界條件，對該非均勻內(nèi)力作用下的非均質(zhì)柱殼的力學(xué)模型進(jìn)行描述。因此，本節(jié)通過柱殼的勢能最小化原理將其壓屈微分方程進(jìn)行推導(dǎo)。

1.1 勢能

如圖1 所示，柱殼半徑為R，高度為l，均勻厚度h。軸對稱情況下，根據(jù)Goldenveizer-Novozhilov殼體理論，應(yīng)變-位移關(guān)系可以表示為：

圖1 柱殼在自重作用下示意圖Fig. 1 Cylinder under self-weight

式中：x為縱向坐標(biāo)；y為環(huán)向坐標(biāo)；εx、εy、εxy為殼體中面線性應(yīng)變分量；χx、χy、χxy為曲率變化；u、v、w分別為縱向、切向、徑向位移。

柱殼總應(yīng)變能U，由薄膜應(yīng)變能Us，與中面拉伸彎曲應(yīng)變能Ub組成：

其中：

式中：星號“*” 代表材料參數(shù)在空間中是非均勻的(為方便起見，取ν為常數(shù))；E?為非均勻彈性模量，非均勻彎曲剛度由下式給出：

1.2 平衡方程與邊界條件

將式(7)進(jìn)行勢能最小化處理：

根據(jù)式(8)可以得到非均勻內(nèi)力作用下的非均質(zhì)柱殼的軸對稱壓屈微分方程：

2 3D 打印進(jìn)程中柱殼的失效機(jī)制

如圖2 所示，在3DCP 進(jìn)程中可能發(fā)生兩種失效機(jī)制，分別為彈性屈曲和塑性坍塌。其中當(dāng)材料硬化速率與打印速率均較慢時(shí)，在結(jié)構(gòu)底部容易出現(xiàn)較大變形，從而發(fā)生塑性坍塌。

圖2 3D 打印進(jìn)程中失效機(jī)制示意圖Fig. 2 Failure mechanism of cylinder in 3D concrete printing(3DCP) processes

在本節(jié)中建立了這兩種失效機(jī)制的控制方程。彈性屈曲的控制方程可以由第1 節(jié)中所導(dǎo)出的壓屈微分方程和邊界條件所得。在引入打印材料的固化過程和印刷速度相關(guān)的時(shí)間效應(yīng)影響，本節(jié)最后給出了3DCP 圓柱殼彈性屈曲與塑性破壞的競爭標(biāo)準(zhǔn)。

2.1 打印時(shí)間因素對柱殼的屈曲影響

圖3 柱殼打印截面示意圖Fig. 3 3D printed section of a cylinder

一般情況下可以認(rèn)為打印速度是固定的并設(shè)時(shí)間t=0時(shí)，l(0)=0，則存在關(guān)系l=l˙t。 這樣式(12)可以簡化成：

式中，t為時(shí)間。如果打印速率是變化的問題就比較復(fù)雜了， 將在今后的研究中考慮。

考慮材料在點(diǎn)x=0處，固化過程中彈性剛度隨時(shí)間演化可表示為：

將式(17)代入式(9)、式(10)可得歐拉坐標(biāo)系下無量綱屈曲方程：

其中，無量綱參數(shù)如表1 所示。

表1 無量綱參數(shù)與其物理含義Table 1 Dimensionless parameter and physical significance

2.2 柱殼的塑性破壞

除彈性屈曲外，柱殼也會因自重因素影響，達(dá)到材料塑性屈服強(qiáng)度 σp而發(fā)生破壞，其中的下標(biāo)“ p”代表“塑性破壞”。通常來說，塑性破壞的關(guān)鍵位置為柱殼底部，即x=0處，此處自重產(chǎn)生的軸向應(yīng)力達(dá)到最大值。柱殼底部塑性破壞的屈服極限強(qiáng)度通?？杀硎緸椋?/p>

式中：|σp|為屈服強(qiáng)度絕對值；l為柱殼的長度。由于固化進(jìn)程因素影響，屈服強(qiáng)度在圓柱殼長度增長方向是不均勻的。在x軸方向，可將 σp由 σp?代替，圓柱殼底部屈服強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律可以給定為：

式中：σp,0為打印進(jìn)程中t=0時(shí)刻的屈服強(qiáng)度；h?(t)為屈服強(qiáng)度隨時(shí)間演化的固化特征函數(shù)。

由于塑性屈服極限由材料所決定，即可得出與文獻(xiàn)[20]完全相同的無量綱塑性坍塌長度隨固化速率變化函數(shù)：

圖4 塑性坍塌長度 lp 隨固化速率 ξσ變化曲線圖Fig. 4 Plastic collapse length lp vs. curing rate ξσ

2.3 彈性屈曲與塑性坍塌的競爭判據(jù)

當(dāng)塑性坍塌長度小于彈性屈曲長度，即lplcr時(shí)，圓柱殼會發(fā)生彈性屈曲。這一用于分析可能失效機(jī)制的標(biāo)準(zhǔn)可以通過調(diào)用幾何、材料和打印參數(shù)來方便地表示：

3 柱殼失效問題數(shù)值解

3.1 特征值問題的求解過程

微分方程式(18)可利用伽遼金(Galerkin)方法進(jìn)行求解：

3.2 固化進(jìn)程影響下數(shù)值求解分析

采用2 次、3 次、4 次、5 次多項(xiàng)式基函數(shù)對圓柱體分岔屈曲數(shù)值解的精度進(jìn)行了評價(jià)。從圖5可以看出，對于N=3 的多項(xiàng)式，臨界屈曲長度的估計(jì)明顯過高，精確性不足。對于N=4 時(shí)，精確性有所提高，但仍存在偏差。但對于N=5 和N=6，數(shù)值解在小數(shù)點(diǎn)后四位的結(jié)果完全相同，因此似乎已經(jīng)收斂到精確解，且滿足針對3DCP 圓柱殼屈曲長度分析需求。

圖5 無量綱屈曲長度 隨無量綱固化速率 變化曲線Fig. 5 Critical buckling length vs. curing rate E

圖6 3DCP 圓柱殼臨界屈曲長度 lcr隨固化速率 變化曲線Fig. 6 Critical buckling length vs. curing ratefor 3DCP cylinder

3.3 彈性屈曲與塑性破壞數(shù)值求解比較分析

針對柱殼彈性屈曲與塑性坍塌進(jìn)行數(shù)值求解，用于分析線性固化進(jìn)程中彈性屈曲與塑性坍塌的競爭關(guān)系。

圖7 3DCP 圓柱殼失效機(jī)制Fig. 7 The failure mechanism of 3DCP cylinder

3.4 實(shí)例驗(yàn)證

采用WOLFS 等[17]完全相同的打印參數(shù)與柱殼半徑r=250 mm，打印層高tl=10 mm，打印噴頭移動速度vn=5000 mm/min ?；炷疗骄芏圈?2070 kg/m3。

彈性模量方程E/kPa(t/min) ：

抗壓屈服強(qiáng)度方程σp/kPa(t/min) ：

本文首先利用商用有限元軟件ABAQUS 并采用與WOLFS 等[17]相同的建模方法進(jìn)行模擬，得出3DCP 圓柱殼失效層數(shù)為49 層，與相關(guān)研究中的數(shù)值模擬結(jié)果相差不大。在考慮初始缺陷的影響下，采用Riks 方法進(jìn)行非線性屈曲分析，缺陷幅值設(shè)為厚度的1%，得出3DCP 圓柱殼失效層數(shù)為48 層，直到設(shè)置缺陷幅值為殼厚的27.5%時(shí)，得到與試驗(yàn)[17]相同的失效層數(shù)，即29 層。這表明3DCP 圓柱殼存在較大的初始缺陷，但該方法很難定量分析3DCP 結(jié)構(gòu)的屈曲失效行為。

在考慮到實(shí)際打印過程中層截面幾何形狀并非矩形[12]的情況下，采取WOLFS 等[17]相關(guān)工作中的圖片目視所得結(jié)果，即圓角梯形進(jìn)行模擬，層截面幾何形狀如圖8 所示。

圖8 3DCP 圓柱殼圓角梯形層截面示意圖Fig. 8 Rounded trapezoid schematic diagram of 3DCP cylinder model

使用ABAQUS 中的RESTART 功能模擬3DCP圓柱殼的打印過程，其中分析步將采用具有更好收斂性的Dynamic、 Implicit 類型。RESTART 分析功能允許重新啟動模擬并對已有的載荷歷史響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，即結(jié)構(gòu)的應(yīng)變/位移、應(yīng)力均被保留。其中每一個(gè)job 的生成代表一段物料的添加，直至模擬到結(jié)構(gòu)失效。相比于目前模擬3DCP 過程的主流建模方式(MODEL CHANGE)[22]，該方法不易造成單元扭曲但計(jì)算量較大。層間接觸將被建模為基于庫侖-摩擦模型的法向和切向行為的組合，并假設(shè)摩擦系數(shù)為0.6[22]。選用三維實(shí)體八節(jié)點(diǎn)縮減積分單元(C3D8R)構(gòu)建FE 網(wǎng)格，單層單元大約為1600 個(gè)，整個(gè)模型單元約為46 000 個(gè)。整個(gè)建模過程將利用自定義開發(fā)的參數(shù)化Python腳本進(jìn)行控制。同時(shí)，利用Python 腳本對每一段打印體的材料屬性進(jìn)行刷新，用以模擬打印材料的時(shí)間依賴性。

如圖9 所示，F(xiàn)EM 結(jié)果下的圓柱殼變形圖將被繪制，并與WOLFS 等[17]試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，其中彩色點(diǎn)線圖為模擬結(jié)果，黑色實(shí)線圖為試驗(yàn)結(jié)果。從結(jié)果對比可以看出，模擬與試驗(yàn)的最大徑向位移十分接近，其中FEM 結(jié)果為15.44 mm，試驗(yàn)結(jié)果為12.36 mm 與17.78 mm。模擬得出的破壞前結(jié)構(gòu)高度為266 mm，試驗(yàn)結(jié)果為270.24 mm與266.42 mm。但模擬結(jié)果得出的最大徑向位移點(diǎn)相對較低，且變形圖相對較陡。這些差異可能是由于目視所得層幾何形狀與實(shí)際具有一定的差異，將導(dǎo)致屈曲模態(tài)發(fā)生變化?？傮w來說，更改層幾何形狀能得到與試驗(yàn)較為一致的模擬結(jié)果。同樣，從徑向位移云圖可以看出，圓柱殼在破壞前的變形并未呈現(xiàn)完美軸對稱情況，在結(jié)構(gòu)中上部出現(xiàn)了不同程度的內(nèi)凹現(xiàn)象。

圖9 FEM 與實(shí)驗(yàn)對比圖Fig. 9 Comparison of FEM and experiment

在保證層截面幾何面積一致即自重載荷不變的情況下，選取了形狀為圓角矩形的情況進(jìn)行有限元模擬分析，幾何尺寸如圖10 所示。其中，圓角半徑R=12 mm ，有效殼厚為h=20.33 mm 。從結(jié)果對比可以看出，F(xiàn)EM 得出的最大徑向位移為17.68 mm ，破壞前結(jié)構(gòu)高度為283.43 mm ，失效層數(shù)為25 層。模擬與試驗(yàn)結(jié)果符合較好，并通過有限元對比分析可以看出，層截面的有效接觸寬度為控制3DCP 圓柱殼屈曲高度的重要因素，而非測量所得的實(shí)際殼體厚度。關(guān)于層截面幾何形狀對3DCP 圓柱殼失效形式的影響，將在后續(xù)的工作中開展。

圖10 3DCP 圓柱殼圓角矩形層截面示意圖Fig. 10 Rounded rectangle schematic diagram of 3DCP cylinder model

如圖11 所示，將FEM 所得圓角梯形截面的非線性屈曲分析結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)，理論結(jié)果相較模擬，其屈曲長度lcr較低。理論結(jié)果為25.8 層，有限元結(jié)果為29 層。二者結(jié)果之間的差異可能是因?yàn)?，理論分析所得結(jié)果建立在軸對稱假設(shè)下，與實(shí)際情況是存在差距的，但模擬顯示3DCP 圓柱殼的變形形式將由軸對稱開展至非軸對稱，直至失效。但此現(xiàn)象開展非常迅速，在3 層～5 層內(nèi)便開展完畢。因此，本文認(rèn)為軸對稱模型在分析3DCP 圓柱殼穩(wěn)定性時(shí)，存在一定的不足，但可作為評估屈曲破壞的下限。

圖11 最大徑向位移wmax 隨層高變化曲線Fig. 11 Max. radial deflection wmax vs. layer number

表2 相關(guān)工作失效層數(shù)對比Table 2 Comparison of failure layer number with related work

3.5 失效機(jī)制分析

圖12 3DCP 圓柱殼無量綱失效長度lˉ隨徑厚比 r/h變化圖Fig. 12 The dimensionless failure length lˉ of 3DCP cylinders vs. the radius-thickness ratio r/h

4 結(jié)論

在本文研究中，描述了3D 混凝土打印(3DCP)圓柱殼在打印進(jìn)程中的力學(xué)行為。建立了兩種失效機(jī)制(彈性屈曲和塑性坍塌)的控制方程，并對這兩種失效機(jī)制間的競爭關(guān)系進(jìn)行了描述。最后與Wolfs 等[17]試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比驗(yàn)證。本文得出的主要結(jié)論與展望如下：

(1)建立了用于描述3DCP 圓柱殼在自重作用下的結(jié)構(gòu)失效行為的數(shù)值模型，該模型可準(zhǔn)確預(yù)測打印結(jié)構(gòu)的失效高度與失效形式，這是在相關(guān)工作中均未達(dá)到的。

(2) 描述了3DCP 圓柱殼彈性屈曲與塑性坍塌之間的競爭關(guān)系，其中彈、塑性固化速率之比決定了彈性屈曲與塑性坍塌這兩種失效機(jī)制的主導(dǎo)地位。并且在相關(guān)打印參數(shù)固定時(shí)，可以確定3DCP 結(jié)構(gòu)的彈性屈曲區(qū)域與塑性坍塌區(qū)域，這為提供最優(yōu)打印參數(shù)集，針對失效機(jī)制提供特定結(jié)構(gòu)增強(qiáng)方案，減少試錯性試驗(yàn)提供了幫助。

(3) 通過試驗(yàn)、模擬、理論三者結(jié)果對比分析可以看出，層截面的有效接觸寬度為控制3DCP圓柱殼屈曲高度的重要因素，而非測量所得的實(shí)際殼體厚度。但仍需要對層截面幾何形狀以及層間界面進(jìn)行更廣泛的研究。