開放系統(tǒng)懸臂類結(jié)構(gòu)的動力特性計算方法

付相球，潘旦光,2

(1. 北京科技大學(xué)土木工程系，北京 100083；2. 城市地下空間工程北京市重點實驗室，北京科技大學(xué)，北京 100083)

結(jié)構(gòu)動力特性主要包括自振頻率、阻尼比和振型，是評價結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)、抗震性能、損傷狀態(tài)的重要指標，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析、震害評估、健康檢測等結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域。真實結(jié)構(gòu)總是建立在場地之上，土-結(jié)構(gòu)間存在相互作用，彼此形成具有能量傳遞的開放系統(tǒng)。研究[1?3]表明，相比于剛性基礎(chǔ)假定的封閉系統(tǒng)，場地條件降低了結(jié)構(gòu)的頻率，增大了結(jié)構(gòu)的阻尼。準確地計算結(jié)構(gòu)動力特性，是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的基礎(chǔ)[4?5]，但考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用開放系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力特性的計算依然存在不少問題。

由于地基剛度計算的困難性和隨頻率變化的復(fù)雜性，以及地基的無限性，導(dǎo)致人們不得不尋求簡便方法來等效真實的開放系統(tǒng)。對于均質(zhì)條件下的彈性半空間，如果不考慮地基土的動力效應(yīng)，即可直接用地基靜剛度進行簡化計算[6]，這種方法忽略了地基土的阻尼效應(yīng)和附加質(zhì)量而導(dǎo)致地震反應(yīng)誤差較大。為考慮輻射阻尼等效應(yīng)，可利用解析解形成阻抗函數(shù)，因阻抗函數(shù)與頻率相關(guān)難以在時域中進行計算，由此提出了頻率無關(guān)的集總參數(shù)模型[7?9]。李昌平等[10]基于集總參數(shù)SR 模型，推導(dǎo)了簡化隔震結(jié)構(gòu)模型動力特性參數(shù)表達式；王滿生和潘旦光[11]基于雙自由度集總參數(shù)模型，研究了不同土層對上部結(jié)構(gòu)動力特性的影響；王國波等[12]分別采用Veletsos 和Richart 經(jīng)驗公式對一個簡單的3 層框架結(jié)構(gòu)計算地基的阻抗值，并以此為基礎(chǔ)對框架結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析。SHI[13]針對層狀土層地基且考慮平動和轉(zhuǎn)動的耦合項，提出一種系統(tǒng)地生成集總參數(shù)模型的方法。KECHIDI 等[14]基于4 參數(shù)集總參數(shù)模型考慮輻射阻尼的影響，提出一種可直接應(yīng)用于OpenSees 的基于性能的抗震設(shè)計方法。集總參數(shù)模型計算簡單，易于操作，但地基阻抗函數(shù)是基于有限頻率范圍下的均質(zhì)土層得到，因此該方法計算精度有限且難以模擬復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和場地。

隨著數(shù)值計算的發(fā)展，截取有限范圍的土-結(jié)構(gòu)相互作用有限元模型，其地震反應(yīng)分析計算精度高，且可考慮各種復(fù)雜因素而得到廣泛的應(yīng)用[15?17]，但對直接有限元模型進行模態(tài)分析時，存在土體范圍和人工邊界的選取缺乏統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)模態(tài)識別工作量大的問題。鮑華等[18]對一基礎(chǔ)隔震的框架結(jié)構(gòu)截取了不同深度、半徑為上部結(jié)構(gòu)5 倍的圓柱土體模型，模型底部固定，四周豎向約束，得到結(jié)構(gòu)自振周期隨著土體深度的增大而增大的結(jié)論。潘旦光等[19]在結(jié)構(gòu)-土-結(jié)構(gòu)相互作用的動力特性研究中，計算模型的側(cè)向采用了自由邊界，底部固定，土體寬度取了8 倍基礎(chǔ)寬度，研究了結(jié)構(gòu)與土體的頻率比、基礎(chǔ)寬度與土體厚度的寬厚比對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響。李海山等[20]對一網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)截取了20 m 深度、5 倍于柱殼平面尺寸的土體，采用等效粘彈性邊界單元，與剛性基礎(chǔ)下的結(jié)構(gòu)動力特性計算結(jié)果相比，體系基頻從1.869 Hz 降低到了0.565 Hz，且體系振型發(fā)生明顯改變。然而，一方面，振動臺實驗結(jié)果顯示，就算是軟土場地對結(jié)構(gòu)自振頻率的降低效果也不會如此明顯[21?23]；另一方面，由現(xiàn)場模態(tài)實驗結(jié)果可知，建立在真實場地之上的結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定可測的模態(tài)[24?27]。理論上，數(shù)值模型的土域范圍增大時其模擬效果應(yīng)該更好，這與隨土體范圍增大體系基頻不斷降低直至收斂到零相矛盾。這是因為，對整體有限元模型直接進行模態(tài)分析時，計算結(jié)果為土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力特性，而非結(jié)構(gòu)本身的動力特性，因此不同土體范圍和人工邊界下的模態(tài)分析結(jié)果完全不同，當土體單元較多時，還需從成千上萬個系統(tǒng)模態(tài)中挑選出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)振動模態(tài)。榮峰等[28]取深度范圍60 m、水平方向范圍為3 倍雙塔高層建筑橫向尺寸的地基，采用粘彈性人工邊界直接模態(tài)分析，結(jié)果顯示，有限元模型所涉及的頻率范圍很寬、頻率變化緩慢，很多模態(tài)都是場地土局部振動模態(tài)，前180 階模態(tài)中只有4 個模態(tài)是以上部結(jié)構(gòu)振動為主，只能人為選取這4 個模態(tài)作為結(jié)構(gòu)的前四階模態(tài)。潘旦光等[29]也曾對SSI 體系進行縮尺模型實驗和原型有限元分析，由于土體單元較多，有限元模態(tài)分析結(jié)果存在上萬階模態(tài)，只能從中匹配出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)振動模態(tài)，這也給開放體系下結(jié)構(gòu)動力特性的計算帶來了很大的困難。由此可知，因為直接有限元法得到的是系統(tǒng)的模態(tài)，為考慮半無限地基的輻射阻尼，當有限元模型采用粘性人工邊界時，此時體系存在剛體模態(tài)而導(dǎo)致基頻為0，對于粘彈性人工邊界則隨著土域范圍增大收斂至0；同時，模態(tài)分析結(jié)果中存在大量土域的模態(tài)，需要從中識別結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)，但目前還沒有明確的識別方法。

既然土-結(jié)構(gòu)有限元模型可以有效地進行開放系統(tǒng)的土-結(jié)構(gòu)相互作用地震反應(yīng)分析，而結(jié)構(gòu)的動力特性實際上體現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)在自由振動時表現(xiàn)的固有特點，因此完全可以通過某種方式激發(fā)結(jié)構(gòu)的自由振動，由此識別結(jié)構(gòu)的動力特性。真實建筑結(jié)構(gòu)的現(xiàn)場模態(tài)試驗常利用大地脈動激勵近似白噪聲的特點，采用未知輸入下的模態(tài)識別方法得到包括土-結(jié)構(gòu)相互作用效應(yīng)的動力特性[30?33]。但從識別試驗結(jié)果看，采用已知輸入的模態(tài)識別方法的精度更高，實際工程結(jié)構(gòu)采用無輸入下的模態(tài)識別是由于對工程結(jié)構(gòu)施加激勵比較困難。但是，受這個試驗方法啟發(fā)，在開放體系動力特性的數(shù)值計算時，人為地施加一個脈沖信號，測量結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)，由此采用模態(tài)識別的方法計算開放系統(tǒng)下結(jié)構(gòu)的動力特性。該方法首先建立土-結(jié)構(gòu)相互作用開放系統(tǒng)的直接有限元模型，通過對結(jié)構(gòu)施加脈沖荷載激發(fā)結(jié)構(gòu)的自由振動反應(yīng)，然后由實驗?zāi)B(tài)分析方法識別結(jié)構(gòu)的動力特性。這種方法借助脈沖荷載下模態(tài)試驗技術(shù)，形成土-結(jié)構(gòu)相互作用體系動力特性的數(shù)值計算方法，因此，將這種方法稱為脈沖荷載響應(yīng)模態(tài)分析法。為驗證所提方法的有效性，以一個半無限空間上的懸臂類5 層框架結(jié)構(gòu)為例，研究了所提算法計算結(jié)構(gòu)動力特性的收斂性，并分析了脈沖荷載激勵點位置和土材料阻尼對計算結(jié)果的影響。在此基礎(chǔ)上，討論集總參數(shù)法、直接模態(tài)分析法和本文方法計算結(jié)果的差異。

1 脈沖荷載響應(yīng)模態(tài)分析法計算理論

對于圖1 所示建立在半無限空間土域上的結(jié)構(gòu)，為分析開放系統(tǒng)下結(jié)構(gòu)的動力特性，截取有限土體，施加粘彈性人工邊界用以模擬波的輻射效應(yīng)，建立二維土-結(jié)構(gòu)相互作用直接有限元模型如圖2 所示。采用脈沖荷載激發(fā)結(jié)構(gòu)的自由振動反應(yīng)時，根據(jù)激勵點的多少可分為單輸入多輸出與多輸入多輸出2 類。不失一般性，本文以多輸入多輸出為例介紹所提方法的理論計算過程，單輸入多輸出方法作為一種特殊情況同樣適用。nf個脈沖荷載輸入下，有限元模型離散為n自由度體系的運動方程為：

圖1 半無限空間土域上的結(jié)構(gòu)Fig. 1 A structure on soil of semi-infinite space

圖2 二維土-結(jié)構(gòu)有限元模型Fig. 2 2-D finite element model of soil-structure interaction

將脈沖荷載稱為輸入，體系的動力響應(yīng)稱為輸出。已知輸入和輸出，即可采用模態(tài)識別方法進行結(jié)構(gòu)的動力特性的計算。本文以特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法(ERA)[34]為例，討論已知脈沖荷載信號和結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)信號下模態(tài)參數(shù)的計算問題。采用狀態(tài)空間法進行式(1)的求解[35]，即：

式中：abs 為取絕對值；real 為取實部。

上述即為脈沖荷載響應(yīng)模態(tài)分析法的整體計算過程，不同于傳統(tǒng)的實驗?zāi)B(tài)分析方法，所提方法的“實驗過程”通過數(shù)值模擬完成，“實驗數(shù)據(jù)”來自于數(shù)值模型的動力計算結(jié)果，該方法結(jié)合了數(shù)值計算方便、計算精度高和試驗?zāi)B(tài)分析可直接得到結(jié)構(gòu)部分的動力特性的優(yōu)點，從而形成土-結(jié)構(gòu)相互作用開放系統(tǒng)結(jié)構(gòu)部分動力特性的計算方法。避免了整體有限元模型直接模態(tài)分析方法人為選擇結(jié)構(gòu)振動模態(tài)的過程，直接得到結(jié)構(gòu)的各階振型。

2 開放系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動力特性的收斂性

2.1 土-結(jié)構(gòu)相互作用直接有限元模型

以一個半無限空間土域上的懸臂類5 層框架結(jié)構(gòu)為例，框架的長度遠大于寬度，由此取其中一榀將結(jié)構(gòu)簡化為平面問題進行分析，已知基礎(chǔ)寬度b=12 m，厚度h=1 m，密度為 ρb=2700 kg/m3，彈性模量Eb=30 GPa，泊松比μb=0.3；上部框架結(jié)構(gòu)簡化為集中質(zhì)量模型，各層的等效質(zhì)量和側(cè)移剛度見表1。彈性半空間土域采用均質(zhì)彈性土體，考慮到場地土體類型不同，土體的剪切波速不同。為此，以表2 所列5 種不同剪切波速討論土體波速對結(jié)構(gòu)動力特性的影響。這部分內(nèi)容為研究輻射阻尼效應(yīng)導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)各模態(tài)阻尼比，因此計算過程不考慮結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)和土體的材料阻尼。

表1 五層結(jié)構(gòu)水平方向等效質(zhì)量、剛度Table 1 Horizontal equivalent masses and stiffnesses of a 5-story struture

表2 不同波速土體參數(shù)Table 2 Soil parameters of different wave velocities

地基土采用半圓形土體模型，其中r=50 m 時的有限元模型如圖3 所示，土體與基礎(chǔ)均采用平面四邊形等參單元，懸臂結(jié)構(gòu)采用集中質(zhì)量模型，質(zhì)量采用集中質(zhì)量單元，層間剛度采用約束轉(zhuǎn)動自由度的梁單元模擬，土體的人工邊界采用粘彈性邊界，由彈簧單元模擬，彈簧的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)取為[38]：

圖3 土域半徑r=50 m 時土-結(jié)構(gòu)有限元模型Fig. 3 Finite element model of soil radius r=50 m

式中：A0為脈沖荷載幅值，本算例取為1000 kN；B0控制脈沖段的持時，取1000；t0為脈沖中心時刻，取為2 s；為保證計算精度，時間步取為0.01 s，總時長為20.48 s，時程和傅里葉譜如圖4 所示。

圖4 脈沖荷載Fig. 4 Impulse load

2.2 計算結(jié)果分析

有限元模型建立后，由于懸臂類結(jié)構(gòu)模型簡單，因此采用單輸入多輸出的激勵方式，在基礎(chǔ)水平方向施加脈沖荷載，計算結(jié)構(gòu)體系的水平位移反應(yīng)。其中，土體剪切波速為200 m/s、土域半徑r=50 m 時，計算得到結(jié)構(gòu)底層與頂層的位移反應(yīng)如圖5 所示，從中可以看出結(jié)構(gòu)在脈沖荷載激勵后的自由振動衰減。

圖5 結(jié)構(gòu)水平位移時程Fig. 5 Time history of horizontal displacements of the structure

為研究開放系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動力特性的收斂性，對不同土域半徑(r=20 m～1000 m)下的模型采用所提方法進行結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別，得到不同剪切波速地基下結(jié)構(gòu)前三階自振頻率與阻尼比隨土域半徑r的變化規(guī)律如圖6 所示。由圖6 可以看出：① 當截取的土域范圍較小時，結(jié)構(gòu)動力特性計算結(jié)果存在波動，這主要是由人工邊界的反射效應(yīng)引起的；② 隨著計算土域半徑r的增大，結(jié)構(gòu)自振頻率和阻尼比均收斂到穩(wěn)定值，說明本文方法可以有效地計算開放系統(tǒng)下結(jié)構(gòu)的動力特性；③ 隨著地基土剪切波速增大，結(jié)構(gòu)的各階自振頻率增大，阻尼比減小。

圖6 不同剪切波速地基下結(jié)構(gòu)動力特性隨土域半徑r 的變化Fig. 6 Structure dynamic characteristics under different soil radius rof different shear wave velocities of soil

式中， λ1為土體在剛性基礎(chǔ)下結(jié)構(gòu)基頻對應(yīng)的波長，簡稱基頻波長。由此計算結(jié)構(gòu)動力特性的相對誤差隨無量綱土域范圍d的變化曲線(圖7)。

由圖7 可以看出：① 隨著土域范圍變大，結(jié)構(gòu)自振頻率與阻尼比相對誤差的整體趨勢變??；② 土域范圍較小時結(jié)構(gòu)阻尼比相對誤差較大，當d≥2 時，各階自振頻率相對誤差小于1%，各階阻尼比相對誤差小于5%。對于本文算例此類結(jié)構(gòu)尺寸相對于土域范圍較小的情況，以d≥2 作為截取有限土體范圍的依據(jù)可取得較高精度的計算結(jié)果。此時，地基土剪切波速越大所需的計算土域范圍越大，但同時單元尺寸也可相應(yīng)地增大，因此不會增加額外的計算量。但對于大尺寸的結(jié)構(gòu)，如水壩等大型公共設(shè)施，此時不能簡單地作為點源問題考慮，土域范圍應(yīng)該根據(jù)實際情況適當增大。

圖7 不同剪切波速地基下結(jié)構(gòu)動力特性相對誤差隨土域范圍d 的變化Fig. 7 The relative errors of dynamic characteristics under different soil range dand different shear wave velocities of soil

除自振頻率與阻尼比外，由式(13)可得結(jié)構(gòu)的各階振型。圖8 為土體剪切波速200 m/s 下，r=400 m 時關(guān)于第五層幅值歸一的結(jié)構(gòu)前五階振型。由于計算模型不包括材料阻尼，振型存在實部和虛部，表明由于土體輻射阻尼的存在，使得結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)了非比例阻尼的特征，與無阻尼或比例阻尼體系不同，此時各自由度振型幅值不會同時到達峰值點。

圖8 所提方法計算的結(jié)構(gòu)五階振型示意圖Fig. 8 The five modes of the structure calculated by the proposed method

2.3 不同激勵點位置的影響

在錘擊法進行試驗?zāi)B(tài)分析時，激勵點應(yīng)避開重要模態(tài)的節(jié)點。脈沖荷載響應(yīng)模態(tài)分析法從原理上看與錘擊法相同，分析由脈沖荷載位置對模態(tài)分析的影響。為此，以基礎(chǔ)、1 層～5 層分別作為激勵點進行單輸入多輸出計算以及對結(jié)構(gòu)所有自由度分別進行激勵，采用多輸入多輸出方法計算，識別結(jié)構(gòu)自振頻率、模態(tài)阻尼比結(jié)果如表3、表4 所示。計算采用的模型為土域范圍r=400 m、土體剪切波速200 m/s。

表3 結(jié)構(gòu)前五階自振頻率/HzTable 3 The first five-order frequencies of the structure

表4 結(jié)構(gòu)前五階阻尼比/(%)Table 4 The first five-order damping ratios of the structure

計算結(jié)果表明，不同激勵點對結(jié)構(gòu)動力特性的識別影響很小，自振頻率差異在1%以內(nèi)，阻尼比差異在5%以內(nèi)。這是由于算例中集中質(zhì)量位置都不是模態(tài)節(jié)點，數(shù)值計算的精度高，任一集中質(zhì)量位置作為激振點都可激發(fā)結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的自由振動，因而不會影響識別效果。為避免質(zhì)量和剛度非均勻情況，部分模態(tài)和集中質(zhì)量位置重合問題，對于懸臂類結(jié)構(gòu)建議以懸臂端或基礎(chǔ)位置作為激勵位置。

2.4 土體材料阻尼的影響

為考慮土體材料阻尼對結(jié)構(gòu)動力特性的影響，采用瑞利阻尼構(gòu)造土的阻尼矩陣，其中土的阻尼比取0.05，參考頻率取結(jié)構(gòu)的前兩階自振頻率。阻尼的存在將引起振動的衰減，在相同的計算精度下，土體有材料阻尼的計算范圍必然小于無阻尼的。因此，對于200 m/s、300 m/s、400 m/s、500 m/s 和600 m/s 剪切波速下土域計算范圍，根據(jù)d≥2 分別取300 m、400 m、500 m、600 m和800 m。不同剪切波速下，考慮和不考慮土材料阻尼的結(jié)構(gòu)各階自振頻率和模態(tài)阻尼比如圖9 所示。

由圖9 可以看出，不同波速土體下，與無阻尼土體相比，土體材料阻尼導(dǎo)致結(jié)構(gòu)基頻最大降低0.15%，第一階模態(tài)阻尼比最大增加4.77%，這表明土的材料阻尼對結(jié)構(gòu)的各階自振頻率幾乎沒有影響，對各階模態(tài)阻尼比的影響遠小于輻射阻尼，這與已有研究的結(jié)論[39]一致。

圖9 不同剪切波速地基下結(jié)構(gòu)各階動力特性Fig. 9 Dynamic characteristics of structure under differentshear wave velocities of soil

3 不同方法計算結(jié)果對比

式 中 ：Kfc=πρs、Mfc=Kfc(b/vs)2、Cfc=Kfc(b/vs)為歸一化因子；mf1、mf2、kf1、kf2、kf3、cf1、cf2、cf3取泊松比為0.33 時的值，分別為0.0013、0.347、2.085、?0.447、0.761、1.149、?0.509、1.194。直接模態(tài)分析分別進行了土體范圍r=50 m、r=200 m 和r=400 m 下有限元模型的實模態(tài)分析，本文方法為土域半徑取為400 m(d=3.7＞2)的計算結(jié)果。計算中土體的剪切波速取為200 m/s，不考慮土體和結(jié)構(gòu)的材料阻尼。不同方法計算得到的結(jié)構(gòu)前五階自振頻率和模態(tài)阻尼比分別見表5 和表6。

表5 結(jié)構(gòu)前五階自振頻率 /HzTable 5 The first five-order frequencies of the structure

表6 結(jié)構(gòu)前五階阻尼比 /(%)Table 6 The first five-order damping ratios of the structure

由表5、表6 可以看出：① 剛性基礎(chǔ)假定高估了結(jié)構(gòu)的自振頻率，結(jié)構(gòu)基頻相比于本文方法計算結(jié)果放大了34%，且無法考慮土體輻射阻尼的影響；② 整體有限元模型直接模態(tài)分析得到的前五階頻率隨土域范圍的增大而明顯下降，400 m土域范圍下模型基頻已不足0.1 Hz，即模型基頻隨土域范圍增大而趨向于0；這是因為直接模態(tài)分析方法計算的是土-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的頻率而不是結(jié)構(gòu)的頻率，當土域范圍越大時系統(tǒng)頻率越低，且該方法無法考慮輻射阻尼；③ 3 參數(shù)集總參數(shù)模型頻率與阻尼比的計算結(jié)果與本文所提方法差別較大，8 參數(shù)集總參數(shù)模型的對于均質(zhì)場地的自振頻率和阻尼比的計算結(jié)果優(yōu)于3 參數(shù)集總參數(shù)模型。但對于非均質(zhì)場地情況下，集中參數(shù)模型建立比較困難，而本文所提方法采用有限元模型考慮土體，因此可適用于任意場地條件，因此，脈沖荷載響應(yīng)模態(tài)分析法可計算任意場地條件下開放系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的自振頻率、阻尼比及振型參數(shù)。

4 結(jié)論

為計算開放系統(tǒng)下結(jié)構(gòu)的動力特性，提出脈沖荷載響應(yīng)模態(tài)分析法計算懸臂類結(jié)構(gòu)自振頻率、阻尼比和振型。該方法在建立土-結(jié)構(gòu)相互作用有限元模型的基礎(chǔ)上，通過脈沖荷載激勵得到結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)，然后由模態(tài)識別方法計算結(jié)構(gòu)的動力特性。根據(jù)理論分析和數(shù)值計算可得出以下結(jié)論：

(1) 隨著開放系統(tǒng)截取土域范圍的增加，不同土體剪切波速下結(jié)構(gòu)的各階自振頻率與阻尼比計算結(jié)果均收斂到穩(wěn)定值，當土域計算范圍大于2 倍基頻波長時，結(jié)構(gòu)自振頻率相對誤差小于1%，阻尼比相對誤差小于5%。

(2) 對于脈沖荷載響應(yīng)模態(tài)分析法，采用任意非模態(tài)節(jié)點作為激勵點都可以得到比較精確的結(jié)果。

(3) 土的材料阻尼對結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)阻尼比有一定的影響，但遠小于輻射阻尼對各階模態(tài)的影響。

(4) 剛性基礎(chǔ)高估了結(jié)構(gòu)的自振頻率，且無法考慮土體輻射阻尼的影響；3 參數(shù)集總參數(shù)模型計算誤差很大，8 參數(shù)集總參數(shù)模型可用于均質(zhì)場地的土-結(jié)構(gòu)相互作用體系動力特性的計算；而整體有限元模型直接模態(tài)分析得到的基頻是土-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的基頻，將隨土域范圍的增大而明顯下降，且無法考慮土體輻射阻尼的影響。