一類具有兩個加性時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

張路娟，郭良棟

（遼寧科技大學 理學院，遼寧 鞍山 114051）

在實際生活中，事物的變化趨勢不僅取決于當前和未來的狀態(tài)，也會取決于過去的狀態(tài)，這種現(xiàn)象被稱為“時滯”。時滯現(xiàn)象廣泛存在于各種系統(tǒng)中，如生物系統(tǒng)［1］、神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)［2］、經(jīng)濟系統(tǒng)［3］、網(wǎng)絡控制系統(tǒng)［4］等。時滯的存在不僅影響系統(tǒng)的性能，甚至導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此，時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析以及控制問題成為控制工程領域中的一個熱點問題。

對于單時變時滯系統(tǒng)，Lyapunov-Krasovskii（L-K）方法是常用的一種尋找系統(tǒng)時滯相關穩(wěn)定性判據(jù)的方法。為了降低判據(jù)的保守性，學者們提出了眾多不等式和方法，如Jensen不等式［5］、倒數(shù)凸不等式［6］、自由加權矩陣法［7］和時滯分解法［8］等。

在狀態(tài)反饋網(wǎng)絡控制中，由于物理設備、控制器、傳感器和執(zhí)行器位于不同的位置，會存在兩種由網(wǎng)絡引起的時間延遲，一種是從傳感器到控制器，另一種是從控制器到執(zhí)行器。閉環(huán)系統(tǒng)中出現(xiàn)的這兩個時滯，由于信號傳輸條件的不同而具有不同的特性，故而把這兩種時滯看作一種時滯是不合理的。基于遠程控制和網(wǎng)絡控制的應用背景下，Lam等［9］首次提出一種加性區(qū)間時滯系統(tǒng)的新模型，并獲得時滯相關的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻［10］利用兩個連續(xù)相關的時滯分量構造新的LK泛函，并引入自由加權矩陣估計L-K泛函導數(shù)的上界，改進了文獻［9］的模型。文獻［11］結合倒數(shù)凸不等式對L-K泛函的導數(shù)進行嚴格估計，得到保守性較文獻［10］更低的穩(wěn)定性判據(jù)。

時滯分解法是一種有效降低穩(wěn)定性判據(jù)保守性的方法，廣泛應用于各種系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中［12-13］。近年來，時滯分解法也被應用于兩個加性時變時滯系統(tǒng)中。文獻［14］將時滯分解法與擴展的倒數(shù)凸不等式相結合，得到一個改進的穩(wěn)定性判據(jù)，但由于時滯區(qū)間被過多地劃分，導致計算復雜度增加。文獻［15］在文獻［11］的基礎上，利用時滯分解思想將系統(tǒng)中的時滯區(qū)間均勻地分成兩個子區(qū)間，提出保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻［15］的計算復雜度低于文獻［14］，然而，當時滯子區(qū)間的長度相等時，并不總是可以得到時滯上界的最大值。

本文研究具有兩個加性時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題?？紤]兩個加性時變時滯分量的獨立性和變化性，利用時滯不均勻分解的思想構造一類新的L-K泛函。結合對L-K泛函導數(shù)的嚴格估計，利用倒數(shù)凸不等式，以線性矩陣不等式（Linear matrix inequalities，LMIs）的形式給出新的時滯相關穩(wěn)定性判據(jù)，通過一個數(shù)值算例驗證本文的有效性和優(yōu)越性。

1 問題描述和準備

Rn表示n維歐式空間，Rn×m是所有n×m維實矩陣的集合。一個實對稱矩陣P＞0(≥0)表示P是正定（半正定）矩陣。I表示具有適當維數(shù)的單位矩陣，如果沒有明確說明，則假定具有兼容的維數(shù)。上標“T”表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

具有兩個加性時變時滯的時滯系統(tǒng)

式中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；A,B∈Rn×n為常數(shù)矩陣；φ(t)為初始條件；d1(t)和d2(t)為具有不同特性的時滯變量。

時滯d1(t)和d2(t)滿足條件

則系統(tǒng)（1）改寫為

其中

本文的目的是建立系統(tǒng)（1）的時滯相關穩(wěn)定性條件。以下引理將在推導過程中發(fā)揮重要作用。

引理1［5］設對任意常數(shù)矩陣M∈Rn×n，M=MT＞0，存在標量α＞0和向量函數(shù)ω，且ω:[0,α]→Rn，有不等式

引理2［6］設f1,f2,…,fN:Rm→R在Rm的開子集D上值非負，那么D上fi的倒數(shù)凸組合滿足

使得

2 穩(wěn)定性判據(jù)

令ha=ah1，hb=bh2(0＜a＜1,0＜b＜1)。顯 然0＜ha＜h1,0＜hb＜h2成立。將區(qū)間[0,h1]和[0,h2]分別劃分為兩個子區(qū)間，即[0,ha],[ha,h1]和[0,hb],[hb,h2]。針對C1~C4四種情況提出其相關穩(wěn)定性判據(jù)。

為了簡化矩陣表示，ei∈R9n×n(i=1,2,…,10)被定義為分塊矩陣，例如

判據(jù)1滿足式（3）和式（4）的系統(tǒng)（1）對于給定的標量0＜a＜1,0＜b＜1，h1,h2,μ1,μ,μ2＞0，如果存在矩 陣當時滯滿足C1時LMIs（7）和（11）成立，當時滯滿足C2時LMIs（8）和（11）成立，當時滯滿足C3時LMIs（9）和（11）成立，當時滯滿足C4時LMIs（10）和（11）成立，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

其中

證明對于C1:0≤d1(t)≤ha,0≤d2(t)≤hb，構造L-K泛函

其中

沿著系統(tǒng)（1）的軌跡對V(t)求導，則有

當0≤d1(t)≤ha,0≤d2(t)≤hb時，根據(jù)引理1和引理2，得到

類似的

因此，得出結論

根據(jù)式（13）~式（22），得到

其中

對于C2:0≤d1(t)≤ha,hb≤d2(t)≤h2，構造L-K泛函

其中

同理可得

其中

對于C3:ha≤d1(t)≤h1,hb≤d2(t)≤h2，構造L-K泛函

其中

同理可得

其中

對于C4:ha≤d1(t)≤h1,0≤d2(t)≤hb，構造L-K泛函

其中

V1(t),V2(t)見式（12）。

同理可得

其中

因此，若LMIs（7）和（11）或（8）和（11）或（9）和（11）或（10）和（11）成立，有V?(t)＜0或Vˉ?(t)＜0或V??(t)＜0或V??(t)＜0。則當d1(t)和d2(t)分別滿足C1或C2或C3或C4時，系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的。故判據(jù)1得證。

與文獻［14-17］中使用的時滯分解法不同，本文利用動態(tài)時滯不均勻分解方法，將時滯區(qū)間[0,h1]和[0,h2]分別劃分為[0,ha]、[ha,h1]和[0,hb]、[hb,h2]。子區(qū)間[0,ha]、[0,hb]的范圍隨著a和b的減小而減小，而子區(qū)間[ha,h1]、[hb,h2]的范圍隨著a和b的增加而減小。時滯間隔的范圍越小，時變時滯d1(t)和d2(t)被獲得的信息就越多。通過設置參數(shù)a和b的值可以獲得更多的時變時滯信息，進而降低判據(jù)的保守性。注意到，當a=1/2，b=1/2時，本文劃分的四個不均勻時滯子區(qū)間退化為文獻［15］的時滯子區(qū)間。因此，本文所得的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)較文獻［15］更具一般性。

3 算例分析

表1為給定時滯上界h1時所獲得的時滯上界h2，表2為給定時滯上界h2時所獲得的時滯上界h2。當h1=1或1.2或1.5時，利用判據(jù)1所得時滯上界h2顯著大于文獻［14-17］時滯上界，表明本文穩(wěn)定性判據(jù)具有更低的保守性。

表1 給定d1(t)的上界h1計算時滯d2(t)的上界h2Tab.1 Calculated upper bound h2 of time delay d2(t)at given upper bound h1 of d1(t)

表2 給定d2(t)的上界h2計算時滯d1(t)的上界h1Tab.2 Calculated upper bound h1 of time delay d1(t)at given upper bound h2 of d2(t)

表3給出本文判據(jù)與相關文獻決策變量的數(shù)量。與現(xiàn)有文獻相比，本文判據(jù)具有較少的決策變量，較低的計算復雜度。

表3 各方法決策變量數(shù)Tab.3 Decision variables of each method

4 結論

討論了具有兩個加性時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。利用動態(tài)時滯不均勻分解、積分不等式等方法，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。判據(jù)的優(yōu)點在于具有更小的保守性和更低的計算復雜度。最后給出數(shù)值算例，進一步說明判據(jù)的優(yōu)越性和可行性。