多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的協(xié)同求解方法

孟欣佳，張立香，王曉敏

（河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院，河北 邯鄲 056000）

1 引言

多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化（Reliability?Based Multidisciplinary Design Optimization，RBMDO）是將多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化（Multidisci?plinary Design Optimization，MDO）[1]與可靠性分析[2]有機(jī)結(jié)合，使復(fù)雜產(chǎn)品的設(shè)計(jì)可以充分利用各學(xué)科間相互作用的協(xié)同效應(yīng)達(dá)到整體最優(yōu)，同時(shí)保證產(chǎn)品具有足夠的可靠性，從而達(dá)到提高產(chǎn)品性能和縮短設(shè)計(jì)周期的目的。該技術(shù)被認(rèn)為是解決不確定性因素影響下復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的有效方法[3]，已經(jīng)在航空航天、汽車、機(jī)器人等領(lǐng)域得到了應(yīng)用[4?6]。

RBMDO 過(guò)程中不僅要執(zhí)行確定性MDO（Deterministic MDO，DMDO），還要對(duì)每一次得到的優(yōu)化值進(jìn)行多學(xué)科可靠性分析（Multidisciplinary Reliability Analysis，MRA），而且DMDO 和MRA都需要進(jìn)行多學(xué)科分析，也就是說(shuō)RBMDO是一個(gè)確定性優(yōu)化、可靠性分析、多學(xué)科分析三重嵌套的循環(huán)尋優(yōu)過(guò)程[7]，這使得采用RBMDO進(jìn)行復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)產(chǎn)生了高昂的計(jì)算花費(fèi)，嚴(yán)重阻礙了RBMDO的進(jìn)一步工程應(yīng)用。

目前，針對(duì)RBMDO問(wèn)題的解耦主要是以單學(xué)科下的序列可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化（Sequential Optimization and Reliability Assess?ment，SORA）方法[8]為基礎(chǔ)，將嵌套循環(huán)的RBMDO解耦成確定性優(yōu)化和可靠性分析順序執(zhí)行的過(guò)程，同時(shí)將多學(xué)科分析集成到順序執(zhí)行的確定性優(yōu)化和可靠性分析環(huán)節(jié)中。

文獻(xiàn)[9]將單學(xué)科可行性分析法（Individual Disciplinary Feasi?ble，IDF）和多學(xué)科可行性分析法（Multidisciplinary Feasible Ap?proach，MDA）應(yīng)用到SORA 框架中，分別提出了RBMDO 問(wèn)題的IDF?SORA和MDA?SORA求解方法。文獻(xiàn)[10]以SORA法為基礎(chǔ)，結(jié)合層次思想和凸線性化近似技術(shù)，提出一種混合層次的序列化RBMDO計(jì)算框架。

文獻(xiàn)[11]將基于近似并行子空間優(yōu)化策略（Approximate Con?current Subspace Optimization，ACSSO）和角度更新功能測(cè)度法應(yīng)用到RBMDO 過(guò)程，提出了ACSSO?SORA 求解方法。文獻(xiàn)[12]對(duì)SORA法進(jìn)行改進(jìn)，提出了基于增量移動(dòng)矢量法的RBMDO求解方法。

在前述研究的基礎(chǔ)上，提出一種多學(xué)科協(xié)同可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法（Multidisciplinary Collaborative Reliability Design Optimi?zation，MCRDO）。該方法利用可靠性分析的性能測(cè)量法（Perfor?mance Measure Approach，PMA）和庫(kù)恩?塔克（Karush?Kuhn?Tucher，KKT）條件將多學(xué)科可靠性約束等效為確定性約束，然后基于CO策略的思想，將RBMDO 問(wèn)題分解成并行的單學(xué)科優(yōu)化問(wèn)題，采用一致性約束對(duì)各學(xué)科進(jìn)行協(xié)調(diào)，從而達(dá)到多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的并行執(zhí)行。

2 多學(xué)科協(xié)同可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法

2.1 多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)耦合的多學(xué)科系統(tǒng)中含有隨機(jī)不確定性時(shí)，考慮不確定性產(chǎn)生的影響，RBMDO方法以各學(xué)科性能概率約束的方式來(lái)保證復(fù)雜產(chǎn)品的可靠性，其典型的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

式中：d—確定性設(shè)計(jì)變量；x—隨機(jī)變量；p—隨機(jī)型的設(shè)計(jì)參量，即隨機(jī)參數(shù)；μx—隨機(jī)變量x對(duì)應(yīng)的均值；μP—隨機(jī)參數(shù)p對(duì)應(yīng)的均值；f—目標(biāo)函數(shù)；Gi—第i個(gè)學(xué)科所有的隨機(jī)型性能約束函數(shù)；gi—第i個(gè)學(xué)科所有確定性性能約束函數(shù)；L—邊界約束的下限；U—邊界約束的上限；下角標(biāo)i—第i個(gè)學(xué)科；y?i—耦合變量，其值是通過(guò)下式（2）的學(xué)科分析獲得的：

式中：y?i—耦合變量的一般表示形式，其中下角標(biāo)中的?表示該耦合變量的產(chǎn)生來(lái)源，下角標(biāo)中的i表示該耦合變量要輸往的學(xué)科分析。

優(yōu)化模型（1）中的多學(xué)科概率約束可以利用性能測(cè)量法進(jìn)行評(píng)估，此時(shí)典型的RBMDO模型可被轉(zhuǎn)化為：

式中：下角標(biāo)iMPP—該變量∕參量取逆最有可能失效點(diǎn)處的值。

在式（3）的優(yōu)化過(guò)程中，每次迭代尋優(yōu)時(shí)xi?iMPP、piMPP和y?i?iMPP均為定值，但每次迭代求解出設(shè)計(jì)變量后，都需要經(jīng)過(guò)一次多學(xué)科可靠性約束的評(píng)估，以確定下次迭代時(shí)xi?iMPP、piMPP和y?i?iMPP的值。

2.2 多學(xué)科可靠性約束的等效

對(duì)RBMDO模型（3）中的多學(xué)科可靠性約束的評(píng)估通常由式（10）所示的優(yōu)化問(wèn)題獲得，即式（3）中每次迭代的xi?iMPP、piMPP和y?i?iMPP值可通過(guò)式（4）求解獲得。

式中：u=[uxi,uP]—隨機(jī)變量xi和隨機(jī)參數(shù)p向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)U空間轉(zhuǎn)化后的變量；hequ—學(xué)科耦合方程的等式約束形式。

上述式（4）屬于含等式約束的優(yōu)化問(wèn)題，其最優(yōu)點(diǎn)滿足KKT條件，即：

式中：?u，y— 對(duì)u和y求偏導(dǎo)。

2.3 多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的協(xié)同求解

在性能測(cè)量法和KKT 條件等效的基礎(chǔ)上，典型的RBMDO模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定性優(yōu)化求解模型，為：

式中：下標(biāo)i?iMPP—對(duì)應(yīng)于第i個(gè)學(xué)科iMPP點(diǎn)的量；下標(biāo)m—對(duì)應(yīng)于隨機(jī)均值的量；ui?iMPP—第i個(gè)學(xué)科U空間的iMPP，由隨機(jī)變量和隨機(jī)參數(shù)的iMPP組成，即ui?iMPP=[uxi?iMPP，upi?iMPP]；xi?iMPP—隨機(jī)變量在X空間的iMPP；pi?iMPP—隨機(jī)參數(shù)在X空間的iMPP；yi?iMPP—對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量和隨機(jī)參數(shù)的iMPP的耦合變量；yi?m—對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量和隨機(jī)參數(shù)的均值的耦合變量；λi—第i個(gè)學(xué)科可靠性分析的拉格朗日乘子矢量。

值得注意的是，在該優(yōu)化模型中，xi?iMPP、pi?iMPP、uxi?iMPP和λi均為變量稱為輔助設(shè)計(jì)變量，而yi?iMPP稱為輔助耦合變量，統(tǒng)稱為輔助變量；這些輔助變量不需要再額外的通過(guò)式（4）的優(yōu)化模型去求解，而是隨著設(shè)計(jì)變量[d，μx]通過(guò)式（6）直接求解獲得。

借助CO策略［13］上述優(yōu)化模型（6）可以分解一個(gè)并行協(xié)同執(zhí)行的設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程，即分解為系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化兩個(gè)層次。在子系統(tǒng)級(jí)，各學(xué)科獨(dú)立并行執(zhí)行本學(xué)科的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化，而系統(tǒng)級(jí)則執(zhí)行對(duì)每次優(yōu)化結(jié)果的協(xié)調(diào)，其具體的優(yōu)化模型為：

系統(tǒng)級(jí)：

式中：d?i—系統(tǒng)級(jí)傳遞給第i個(gè)學(xué)科的確定性變量的副本；μ?i—系統(tǒng)級(jí)傳遞給第i個(gè)學(xué)科的隨機(jī)變量均值的副本；u?i?iMPP—系統(tǒng)級(jí)傳遞給第i個(gè)學(xué)科的iMPP點(diǎn)的副本；y?i?m—系統(tǒng)級(jí)傳遞給第i個(gè)學(xué)科的對(duì)應(yīng)于隨機(jī)均值的耦合變量的副本；y?i?iMPP—系統(tǒng)級(jí)傳遞給第i個(gè)學(xué)科的對(duì)應(yīng)于iMPP點(diǎn)的耦合變量的副本。

上述式（7）和式（8）所示的系統(tǒng)級(jí)和子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型共同構(gòu)成了所提MCRDO方法的數(shù)學(xué)模型，具體計(jì)算流程，如圖1所示。MCRDO主要的計(jì)算步驟包括：

圖1 MCRDO計(jì)算流程圖Fig.1 Flow Chart of MCRDO

（1）初始化。設(shè)定初始的迭代步數(shù)k=1，定義確定性設(shè)計(jì)變量d、隨機(jī)變量x、隨機(jī)參量p的均值和均值的初始值，設(shè)定迭代的收斂精度ε，并通過(guò)設(shè)計(jì)變量的初始值計(jì)算耦合變量的初始值y；

（2）系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)值分配。將當(dāng)前的設(shè)計(jì)變量值依據(jù)所屬學(xué)科分配到各子系統(tǒng)，分配的值包括d?i、μ?i、u?i?iMPP、y?i?m和y?i?iMPP；

（3）并行的子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化。在分配的系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)值的基礎(chǔ)上，各學(xué)科并行的執(zhí)行單學(xué)科的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化，優(yōu)化模型為式（7）；

（4）：系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化。在各子系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，構(gòu)建一致性約束條件，并執(zhí)行系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化，其優(yōu)化模型為式（7）；

（6）獲得滿足可靠約束下的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

3 算例驗(yàn)證及分析

3.1 數(shù)值算例

該算例[9，14]包括3個(gè)確定性變量、3個(gè)隨機(jī)參數(shù)和2個(gè)耦合變量，多學(xué)科優(yōu)化框架，如圖2所示。

圖2 數(shù)值算例優(yōu)化框架Fig.2 Optimization Framework of Numerical Example

該算例中，隨 機(jī) 參 數(shù)均服從正態(tài)分布：xs～N(0，0.3)，x1～N(5，0.5)，x2～N(1，0.1)；可 靠 度 取 值 為R1=R2=Φ(β)=Φ(3)=0.9987，Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

采用不同RBMDO求解方法對(duì)式（9）進(jìn)行求解，其結(jié)果，如表1所示。繪制這里所提方法求解的迭代歷程，如圖3所示。

圖3 數(shù)值算例迭代歷程圖Fig.3 Iteration Process of Numerical Example

表中：Nf—函數(shù)評(píng)估次數(shù)；Nv—變量個(gè)數(shù)。

IDF?SORA和MDF?SORA方法的結(jié)果來(lái)源于文獻(xiàn)[9]。由表1可知，在優(yōu)化點(diǎn)處兩個(gè)學(xué)科的性能函數(shù)g1和g2的值均在各自的可靠區(qū)域內(nèi)，且學(xué)科1的性能函數(shù)值接近于0，即位于可靠與失效的臨界狀態(tài)。同時(shí)結(jié)合圖3可知，子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的優(yōu)化過(guò)程是并列執(zhí)行的，除初始值外子系統(tǒng)級(jí)的一致性協(xié)調(diào)函數(shù)值均接近于0，系統(tǒng)級(jí)在經(jīng)過(guò)8次迭代后，系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)值的變化逐漸趨于穩(wěn)定，最終于第11次迭代時(shí)達(dá)到收斂。由此說(shuō)明在滿足可靠性約束條件，同時(shí)滿足協(xié)同求解一致性約束條件的情況下，求解結(jié)果已經(jīng)達(dá)到了最優(yōu)狀態(tài)。

表1 數(shù)值算例優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Optimal Results of Numerical Example

由表1亦可知，采用所提的MCRDO方法求解的設(shè)計(jì)變量值和目標(biāo)函數(shù)值與采用序列方法的IDF?SORA、MDF?SORA 求解的結(jié)果一致，但是所用的函數(shù)評(píng)估次數(shù)是三種方法中最少的。這說(shuō)明MCRDO方法可在保證求解精度的同時(shí)，使得計(jì)算的花費(fèi)最小。此外，采用MCRDO 方法求解時(shí)，優(yōu)化涉及到的總變量數(shù)為21個(gè)。采用IDF?SORA方法時(shí)，確定性優(yōu)化與可靠性分析的總變量數(shù)為15個(gè)。而采用MDF?SORA方法時(shí)，其外顯的變量個(gè)數(shù)為9個(gè)，用于內(nèi)部學(xué)科分析的變量是6個(gè)，總變量數(shù)亦是15個(gè)。這是由于MCRDO方法在優(yōu)化求解時(shí)，利用KKT條件將確定性分析與可靠性分析進(jìn)行統(tǒng)一優(yōu)化時(shí)，增加了各學(xué)科可靠性分析所對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子變量，增加了額外的輔助變量。

3.2 工程設(shè)計(jì)實(shí)例

該工程實(shí)例為一復(fù)合缸的多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化。該復(fù)合缸由內(nèi)缸和外缸兩部分組成[15?16]，其結(jié)構(gòu)，如圖4所示。

圖4 復(fù)合缸結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Sketch of the Compound Cylinder

該多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題由內(nèi)缸和外缸兩個(gè)子系統(tǒng)組成，每個(gè)子系統(tǒng)包含4個(gè)可靠性約束條件，具體優(yōu)化模型為：

該多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題共包括6個(gè)隨機(jī)不確定性量，其中3個(gè)為隨機(jī)變量，3個(gè)為隨機(jī)參量，其分布參數(shù)，如表2所示。

表2 復(fù)合缸隨機(jī)不確定性量分布Tab.2 Random Uncertainty Distribution of Compound Cylinder

該問(wèn)題中，內(nèi)外缸的最大等效應(yīng)力和不同半徑處的最大切應(yīng)力均是關(guān)于隨機(jī)不確定性量的隱函數(shù)，在此通過(guò)ANSYS 和MATLAB的聯(lián)合仿真，再利用數(shù)據(jù)擬合獲得[16]。利用本文所提的方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解，其結(jié)果，如表3所示。同時(shí)繪制該復(fù)合缸多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的迭代歷程，如圖5所示。

由表3可知，子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的約束函數(shù)在MPP點(diǎn)處的函數(shù)值均小于等于0，說(shuō)明優(yōu)化結(jié)果滿足可靠性要求。且約束函數(shù)g1的值近似等于0，說(shuō)明該優(yōu)化結(jié)果已達(dá)到了最優(yōu)。表3中，第一行數(shù)據(jù)是在不考慮不確定性的情況下獲得的確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果，其余4行是在考慮不確定性的影響下，采用不同求解方法獲得的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果。由表3可知，可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化求得的最大目標(biāo)值比確定性優(yōu)化求得的值要小，說(shuō)明在考慮不確定性影響的情況下，可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的結(jié)果比確定性優(yōu)化結(jié)果更保守，設(shè)計(jì)結(jié)果也更可靠。由此設(shè)計(jì)的復(fù)合缸，在受到外來(lái)因素干擾時(shí)，可在一定范圍內(nèi)仍然滿足其性能要求。

由表3還可看出，不同RBMDO求解方法獲得的最優(yōu)值和隨機(jī)變量的優(yōu)化值均比較接近，且傳統(tǒng)的三層嵌套方法需要的函數(shù)評(píng)估次數(shù)最多，而這里所提的MCRDO方法需要的函數(shù)評(píng)估次數(shù)最少。圖5表明，在對(duì)該復(fù)合缸進(jìn)行多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)，采用IDF?SORA、MDF?SORA、MCRDO三種方法求解時(shí)，所需的收斂次數(shù)分別為20、19和16。由此說(shuō)明本文所提的MCRDO方法相對(duì)于IDF?SORA、MDF?SORA 具有較好的計(jì)算效率。這主要有兩個(gè)原因：（1）由于MCRDO在求解時(shí)，利用KKT條件將可靠性分析環(huán)節(jié)嵌入到確定性優(yōu)化中，使二者一起完成分析，減少了可靠性分析環(huán)節(jié)；（2）由于求解時(shí)采用了協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)的原理，將不同學(xué)科并行執(zhí)行，避免了MDA分析和優(yōu)化的分割操作，提高了計(jì)算效率。

表3 復(fù)合缸多學(xué)科可靠性計(jì)優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Results of Multidisciplinary Reliability Optimization of Compound Cylinder

圖5 復(fù)合缸多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化迭代歷程Fig.5 Iteration Process of Multidisciplinary Reliability Optimization of the Compound Cylinder

4 結(jié)論

（1）基于性能測(cè)量法和KKT條件提出了一種多學(xué)科協(xié)同可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法。該方法將多學(xué)科的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題分解成幾個(gè)并行的子學(xué)科優(yōu)化問(wèn)題和一個(gè)用于協(xié)調(diào)子學(xué)科優(yōu)化結(jié)果的系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)各學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的并行執(zhí)行，擴(kuò)展了多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的學(xué)科自主性。

（2）由于所提MCRDO是并行執(zhí)行的尋優(yōu)過(guò)程，其求解計(jì)算效率要高于嵌套循環(huán)式的RBMDO 和基于SORA 的RBMDO 方法。數(shù)值算例和工程實(shí)例均表明MCRDO 能夠?qū)崿F(xiàn)多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化的并行執(zhí)行，且其計(jì)算效率要優(yōu)于傳統(tǒng)嵌套R(shí)BMDO、IDF?SORA和MDF?SORA。

（3）由于采用了KKT條件對(duì)多學(xué)科可靠性約束進(jìn)行等效，等效后的優(yōu)化模型較初始的RBMDO模型增加了額外的輔助變量，且初始設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題越復(fù)雜，變量越多，等效后的優(yōu)化模型的額外變量也會(huì)越多，這會(huì)進(jìn)一步增加求解的計(jì)算花費(fèi)，為此如何減少由于等效帶來(lái)的額外變量的數(shù)量是下一步需要解決的問(wèn)題。