建構(gòu)模型 理解算理
——以《乘法分配律》為例

任曄（江蘇省南通市通州區(qū)通州小學(xué) 226300）

《乘法分配律》是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《運(yùn)算律》中重要的一課，同時(shí)也與學(xué)生初中階段將要接觸的“合并同類(lèi)項(xiàng)”與“提取公因式”知識(shí)息息相關(guān)。因此，“乘法分配律”不僅是一項(xiàng)簡(jiǎn)單的運(yùn)算技巧，同時(shí)也是學(xué)生感悟并理解數(shù)學(xué)思想的重要途徑。然而“乘法分配律”同時(shí)涉及兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算法則，并且其中還包含復(fù)雜的變化規(guī)律，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中并不能有效辨認(rèn)這一運(yùn)算模型，對(duì)其中的結(jié)構(gòu)及內(nèi)涵缺乏清晰認(rèn)識(shí)。為此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中需要全面重整教學(xué)手段，建構(gòu)乘法分配律模型，幫助學(xué)生更好地認(rèn)知“乘法分配律”知識(shí)。

一、溝通既有經(jīng)驗(yàn)，感知運(yùn)算規(guī)律

在接觸“乘法分配律”知識(shí)之前，學(xué)生已然擁有了與之相關(guān)的大量知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，只是還沒(méi)有經(jīng)過(guò)教師的系統(tǒng)引導(dǎo)，使學(xué)生無(wú)法將知識(shí)線索串聯(lián)起來(lái)。因此，教師幫助學(xué)生理解算理的第一步，便是喚醒學(xué)生既有的認(rèn)知，拉近與乘法分配律的距離，使其能充分借助自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)推理分析，以此加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)律的感知能力。

例如，學(xué)生在三年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)《兩、三位數(shù)乘兩位數(shù)》與《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》知識(shí)，教師可以從這一層面入手，幫助學(xué)生在記憶中尋找乘法分配律的印象。教師可以為學(xué)生提供一道例題101×35，首先讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)這道算式表示什么？再讓學(xué)生思考如果不用筆算能否計(jì)算出它的結(jié)果，學(xué)生很容易便會(huì)想到：可以先將101分成100和1，然后分別與35相乘，再將運(yùn)算結(jié)果相加得到100×35+1×35=3535。在這一基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生再利用乘法豎式運(yùn)算驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)算方法可行，有效喚醒學(xué)生“乘法意義”知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，更加直觀地把握其中的運(yùn)算規(guī)律。通過(guò)這樣的方式，教師可以巧妙地將“乘法分配律”知識(shí)與學(xué)生此前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生能借助熟悉的知識(shí)模型，自主構(gòu)建及推理，從而順利形成對(duì)乘法分配律的初步認(rèn)知，并能在接下來(lái)的環(huán)節(jié)中與教師構(gòu)建乘法分配律模型做好鋪設(shè)。

二、營(yíng)造生活情境，逐步抽象模型

“教學(xué)做合一”是生活教育理論的方法論，也是陶行知先生對(duì)“生活即教育”做出的補(bǔ)充說(shuō)明。他認(rèn)為，無(wú)論是教師還是學(xué)生，都應(yīng)當(dāng)“做中教”“做中學(xué)”，如此才能夠真正將現(xiàn)實(shí)與教育聯(lián)系在一起，使學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)掌握解決實(shí)際問(wèn)題的能力。當(dāng)學(xué)生有了“乘法分配律”的初步印象之后，教師便“趁熱打鐵”，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境的方式，幫助學(xué)生將對(duì)知識(shí)的認(rèn)知塑造成更為凝實(shí)的“思維模型”，使學(xué)生今后在思考問(wèn)題的過(guò)程中，能夠自動(dòng)進(jìn)入數(shù)學(xué)視角中，發(fā)掘問(wèn)題中存在的知識(shí)規(guī)律與聯(lián)系。

例如，教師可以在課堂中為學(xué)生提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“學(xué)校準(zhǔn)備在籃球場(chǎng)四周?chē)弦蝗Ψ雷o(hù)網(wǎng)，已知球場(chǎng)寬15米，長(zhǎng)25米。那么，學(xué)校至少需要準(zhǔn)備多少米防護(hù)圍欄？”題目出示后，教師可以要求列綜合算式解答。有學(xué)生這樣作答15×2+25×2=80米，有學(xué)生這樣作答（15+25）×2=80米。待學(xué)生計(jì)算完之后，教師再次提出問(wèn)題，這兩種解答過(guò)程的算法是什么？觀察這兩個(gè)算式你有發(fā)現(xiàn)什么？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)算式的計(jì)算過(guò)程不同但計(jì)算結(jié)果卻是一致的。這時(shí)教師不要急于揭示乘法分配律的概念，而是再出示幾組算式讓學(xué)生對(duì)比、觀察、驗(yàn)證，如12×5+12×3=12×（5+3）、25×3+25×7=25×（3+7）等。隨后教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察這些結(jié)果相等的算式中，有著怎樣的變化規(guī)律？進(jìn)而使學(xué)生通過(guò)對(duì)不同算式的對(duì)比觀察，逐漸明確了乘法分配律的結(jié)構(gòu)為（a+b）×c=a×c+b×c，抽象出知識(shí)的本質(zhì)，順利構(gòu)建乘法分配律的字母模型。在經(jīng)歷了這樣的認(rèn)知轉(zhuǎn)化過(guò)程后，學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解不再是單純的數(shù)量及符號(hào)，而是能夠?qū)⑵渑c現(xiàn)實(shí)事物聯(lián)系起來(lái)，并在準(zhǔn)確把握本質(zhì)的前提下建構(gòu)“乘法分配律”的認(rèn)知模型，從而使學(xué)生能在生活中有效運(yùn)用知識(shí)。

三、巧用數(shù)形結(jié)合，建立實(shí)體模型

除了抽象出字母模型之外，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生利用不同的表征形式，將乘法分配律模型利用外顯的形式表達(dá)出來(lái)。教師可以在課堂中進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用圖形、色彩、線條等形式對(duì)乘法分配律模型進(jìn)行表達(dá)，以此拉近學(xué)生與知識(shí)的距離，并透徹而深刻地理解乘法分配律的內(nèi)涵。

教師可以借助圖形的方式，為學(xué)生展示5×4+3×4=（5+3）×4的數(shù)學(xué)運(yùn)算模型。這樣的方式不僅能有效吸引學(xué)生的注意，同時(shí)也幫助學(xué)生更加直觀地把握了乘法與加法之間的聯(lián)系，使其真正明確“五個(gè)4加三個(gè)4等于八個(gè)4”這一變化規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試建立更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算模型，可以通過(guò)4×12=48這一運(yùn)算過(guò)程，借助圖理解乘法分配律與數(shù)學(xué)豎式運(yùn)算之間的聯(lián)系，從而將新舊知識(shí)體系之間融合得更為緊密，形成更為系統(tǒng)的知識(shí)框架。

四、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題

應(yīng)用構(gòu)建的模型解決實(shí)際問(wèn)題是幫助學(xué)生形成技能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為此在這一過(guò)程中，教師需要注重采用循序漸進(jìn)的推進(jìn)手段，幫助學(xué)生聯(lián)系模型、運(yùn)用算理，鞏固學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)幫助學(xué)生形成深刻的知識(shí)技能。為此，教師可以通過(guò)以下幾類(lèi)習(xí)題幫助學(xué)生強(qiáng)化能力。

（1）基礎(chǔ)題：自由填空，在“□”填上符號(hào)，在“○”中填上數(shù)字，使等式兩邊相等。（27+69）×4=○×4+69×○、42×2+35×2=（42+○）×2、（○+○）×2=58×2+41×2、56□6+48×○=（56□48）□6。

（2）對(duì)比題：小明在計(jì)算125×88時(shí)使用了兩種解題方法，分別是125×8×11與125×80+125×8，請(qǐng)問(wèn)這兩種解題方法那一種更為簡(jiǎn)單。

（3）拓 展 題：分 別 寫(xiě) 出32×9、32×99+32、32×101-32這三個(gè)算式的簡(jiǎn)便運(yùn)算形式。

以上三個(gè)問(wèn)題的提出，從最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)，逐漸上升到學(xué)生對(duì)乘法分配律的抽象理解與變式分析，一方面加深學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解程度，另一方面則引導(dǎo)學(xué)生對(duì)構(gòu)建的模型再升華，強(qiáng)化對(duì)模型的理解，使學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)不再是來(lái)自教師思想的復(fù)刻，幫助學(xué)生更好地運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。

學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的不僅是知識(shí)，更重要的是讓他們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，獲得持續(xù)學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)按照循序漸進(jìn)的層次引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)，并鼓勵(lì)學(xué)生自主構(gòu)建模型、理解算理、獨(dú)立總結(jié)，以此生成深刻的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并全面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)層次。