概率統(tǒng)計中的開放性問題

?新疆塔城市塔城地區(qū)第一高級中學 孫金霞

1 引言

概率統(tǒng)計中的開放性問題，是一類借助數學思維來科學決策現實生活中的應用創(chuàng)新問題．此類開放性問題，從現實生活中加以抽象與概括，形成數據信息，結合大數據，借助數據所對應的圖表或數據所確定的數學要素，從數學角度進行科學創(chuàng)新與判斷，為決策提供理論支持．

2 與統(tǒng)計相關的開放性問題

例1在一個文藝比賽中，10名專業(yè)評委和10名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手甲、乙打分，結果如下(用小組A、小組B分別代表兩個打分組)：

小組A：

甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5

乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5

小組B：

甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0

乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.0

(1)選擇一個可以度量打分的量，并對每組評委的打分計算度量值，根據這個值判斷小組A與小組B哪個更專業(yè)；

(2)根據(1)的判斷結果，計算專業(yè)評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；

(3)如果用專業(yè)評委打分的數據，選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8名評委評分的平均分，那么這兩位選手的最后得分是多少?若直接用10名專業(yè)評委評分的平均數作為選手的得分，兩位選手的排名會有變化嗎?你認為哪種評分辦法更好(只判斷不說明)?(以上計算結果保留兩位小數.)

分析：(1)根據題目條件，分別計算各組數據的平均分與方差，利用計算結果，在平均分均差0.01的情況下分析方差的差距大小來分析與判斷小組A的打分更專業(yè)；(2)結合(1)的計算結果，得到專業(yè)評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；(3)通過專業(yè)評委的數據，去掉一個最高分和一個最低分后計算參賽選手甲、乙的平均分，并結合(2)中的數據情況加以分析并作出自己的判斷．

由以上數據可得，在平均分均差0.01的情況下，小組B的打分方差差距較大，所以小組A的打分更專業(yè).

(3)由專業(yè)評委的數據，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙的平均分分別為

去掉一個最低分和一個最高分之后，乙的平均分高于甲.

若按照10個數據計算，則甲的平均分高于乙，因此排名有所變化.

故去掉一個最低分和一個最高分的評分方法更好．

點評：借助統(tǒng)計的相關知識來科學決策現實生活中的開放性問題，關鍵是借助統(tǒng)計中的圖表信息、數據信息等，通過圖表直觀數形結合、數據樣本數學運算，結合不同的實際問題，合理比較，科學決策．

3 與概率有關的開放性問題

例2甲、乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負.已知本次比賽的主辦方提供8 000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．已知每場比賽甲贏的概率為p(0

分析：(1)根據題目條件，由甲乙輸贏的情況確定甲獲得獎金的可能取值，求出其對應的概率，列出分布列即可；(2)設比賽繼續(xù)進行Y場乙贏得全部獎金，則最后一場必然乙贏，分Y=3，Y=4，求出其對應的概率，得到乙贏得全部獎金的概率，然后利用導數求解最值即可得到答案．

解析：(1)5場比賽中甲、乙的輸贏有甲嬴4場、乙贏1場，甲贏3場、乙嬴2場，甲贏2場、乙贏3場，甲贏1場、乙贏4場四種情況：

設甲可能獲得的獎金為X元，則X的所有可能取值為8 000，6 000，2 000，0.

所以，甲獲得獎金數的分布列如表1所示.

表1 甲獲得獎金的分布列

(2)設比賽繼續(xù)進行Y場乙贏得全部獎金，則最后1場必然乙贏，Y的所有可能取值為3，4.

當Y=3時，乙以4∶2贏得比賽，P(Y=3)=(1-p)3；

所以，乙贏得全部獎金的概率為

P=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)(1-p)3.

設函數f(p)=(1+3p)(1-p)3，則求導可得f′(p)=-12p(1-p)2.

故事件“乙贏得全部獎金”是小概率事件.

所以認為比賽繼續(xù)進行乙不可能贏得全部獎金．

點評：借助概率相關知識來科學決策現實生活中的開放性問題，關鍵是根據不同事件的概率的求解，通過數學運算與數據對比，利用概率的現實意義以及概率大小的分析比較，綜合現實實際問題對概率大小的需求差異，合理判斷，科學決策．

4 結論

關于概率統(tǒng)計中的開放性問題，一般要做到：一是用數據說話，即要有相應的數據支撐，在陳述數據時，要計算事件發(fā)生的概率或者計算樣本數據的均值等，不能只說結論；二是表達要到位，理由陳述不要偏離主旨，要正確看待小概率事件發(fā)生的情況，不要從抽樣數據太少、實驗次數太少等樣本出發(fā)．借助概率統(tǒng)計知識來解決日常生活、社會活動和經濟活動中的開放性應用問題，增強創(chuàng)新意識，學以致用，要用數據說話，進行科學決策，體現創(chuàng)新應用精神，提升數學能力，培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)．