以教材為綱，在“破”中“立”意

常靜鋒 周煉

［摘要］ 本文從一次九年級數(shù)學期末試題的命題經(jīng)歷出發(fā)，凝煉出以教材為綱，在破中立意的命題策略與主張，并分別從破基本概念，立學科融合；破指向單一，立多元關聯(lián)；破方法定式，立運用遷移；破模型固化，立素養(yǎng)發(fā)展這四個角度，結合實例展開闡述。

［關鍵詞］ 命題；核心素養(yǎng)；改編；教材

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中提到，命題要遵循課標要求，嚴格依標命題，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)。由于教材是根據(jù)課標要求編寫的，故以教材為綱是有效命題的重要原則之一。除此之外，新課標中還提到問題的設置應該注重考查學生的思維過程，避免死記硬背、機械刷題。這意味著在尊重教材、源于教材的基礎上也要嘗試打破教材，超越教材，以尋求更高的立意，體現(xiàn)命題的創(chuàng)新與智慧。從哲學角度看，這實質(zhì)上是一種“破”與“立”的辯證統(tǒng)一關系，可謂“破”字為先，“立”字為要，不破而不立?！傲ⅰ蓖ǔ１憩F(xiàn)為一種獨出心裁的創(chuàng)造，而“破”則是一種對原有事物的揚棄與革新。從兩者的關系來看，若沒有“破”作為基礎和鋪墊，就不可能有“立”的延伸與創(chuàng)造。

一、破基本概念，立學科融合

教材由很多板塊構成，其中概念陳述作為主要組成部分既是命題的重要依據(jù)，同時也是立足“四基”且體現(xiàn)學生基本素養(yǎng)的重要命題方式。不過，單純記憶式的考法往往顯得過于生搬硬套，無法展現(xiàn)概念學習的價值。數(shù)學作為一門基礎性學科，與很多學科之間都有著千絲萬縷的聯(lián)系，打破學科壁壘、嘗試知識融合的命題理念能進一步考查學生對基本概念是否有深層次的理解。事實上，初中階段的大部分數(shù)學知識都來源于生活，當命題需要“破”教材中的基本概念時，可以立于其生活意蘊與自然學科原理之上，在數(shù)學概念與真實世界之間尋得一個平衡點，以增加概念考查的現(xiàn)實意義與多元價值。

【教材原型】三角形的三條中線相交于一點，這點叫作三角形的重心。物理學告訴我們，一個物體的各個部分都受到重力的作用，從效果看，可以認為各部分受到的重力集中作用于一點，這點就叫作物體的重心。

【真題呈現(xiàn)】如果用一根手指頂在一塊質(zhì)地均勻的三角形薄板的（）處，這塊薄板就能保持平衡。

A.三角形三條角平分線的交點

B.三角形三條中線的交點

C.三角形三條高線所在直線的交點

D.三角形三邊垂直平分線的交點

【改編意圖】教材原型從數(shù)學與物理學兩個角度分別闡述了重心的概念，但從表述上看，兩者之間相對孤立，若僅照搬教材原話進行命題則無法體現(xiàn)學科間的聯(lián)系。經(jīng)反復斟酌，我們在命題時最終決定不提及“重心”二字，而是通過創(chuàng)設“讓三角形薄板平衡”的問題情境，以生活現(xiàn)象為媒介將重心的兩種學科概念考查進行融合，立于生活應用層面以自然地破除學科間壁壘，體現(xiàn)了跨學科命題思想。由此可見，在命題過程中以真實情境為背景滲透跨學科理念，可以引導學生關注知識融合，激發(fā)學生的學習興趣、開闊視野、改變思維習慣，提高學生解決問題、將知識運用于實際生活的能力。

二、破指向單一，立多元關聯(lián)

教材中大部分練習題都歸屬于某個特定的章節(jié)，以鞏固該章節(jié)中具體的知識內(nèi)容。從問題的覆蓋面看，某個情境設定的知識指向可能相對單一，但事實上很多章節(jié)之間都有非常密切的邏輯遞進關系，同一個情境按照知識的發(fā)展趨勢可以延伸出多維度且具有發(fā)散性的各種問題?；诖耍覀冊诿}時既要把握教材所提供的優(yōu)質(zhì)試題資源，又要在此基礎上增加新的情境內(nèi)涵，好讓學生在熟悉的背景中融入更加多元化的思考。然而，在一份綜合性試題中，如果一道題只涉及有限的知識，不僅會導致整套試題的覆蓋面不足，而且無法提升試題的難度與區(qū)分度。為了解決這一矛盾，命題者可以立足于不同單元、板塊、學段之間的知識關聯(lián)，以破解教材習題的局限性與單一性。

【教材原型】蘇科版初中數(shù)學九年級下冊第67頁，第6章“圖形的相似”習題6.4的第12題：△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，△ABC和△DEF相似嗎？為什么？

【真題呈現(xiàn)】如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形頂點上，求tan∠FDE+tan∠BCA的值為（）

A. B. C. D. 3

【改編意圖】教材原型是通過方格紙的度量功能，考查學生相似三角形判定的相關知識。本題雖能與方格紙很好地融合，但由于知識指向單一、思想方法缺失等不足，致使教材原題解題過程過于單薄。經(jīng)反復推敲后，我們決定分別從知識與方法兩個層面下手，在原題基礎上有所提升。具體方法是先設置一個求∠FDE和∠BCA正切值的問題以讓學生感到困惑，然后再引導學生發(fā)現(xiàn)可以運用相似三角形將問題轉化為求∠BAC和∠DFE的正切值。另外，求銳角三角函數(shù)值本身就有各種各樣的解法，如構造直角三角形法、等角轉換法、面積法等，而本題的方格紙背景又為其增加了解題的多樣性與發(fā)散性，將原型立足于轉化思想、三角函數(shù)、方格紙等多重知識之上，十分巧妙地破除了教材原題的

缺陷。

三、破方法定式，立運用遷移

教材中的習題為了更好地檢測某個具體知識的掌握情況，一般以概念與公式的直接運用為主要考查形式，稍復雜的習題也可以在記住一些常用推論、性質(zhì)的基礎上輕松解決。誠然，命制試題確實需要關注基礎知識、基本概念、重要公式的考查，但同時也需要有一部分試題在立足“四基”的基礎上聚焦“四能”，并進一步考查學生的核心素養(yǎng)發(fā)展狀況。否則，只要學生練得足夠多，對直接套用公式與結論的試題形成思維套路后，會形成刷題就能獲得高分的假象，這不僅無法把控試題的難易配比，造成命題可信度缺失，而且會造成不良的評價導向。由此看來，要打破教材中一些問題的表述與方法定式，就要立于在條件與問題中增加更多的推理關系，讓試題的可研究性更強，遷移范圍更廣。

【教材原型】蘇科版初中數(shù)學九年級上冊第70頁，第2章第5節(jié)“直線與圓的位置關系”練習第1題：在Rt△ABC中，AC=4 cm，BC=3 cm，則該三角形的內(nèi)切圓半徑是cm。

【真題呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，已知三角形的面積和周長分別為24 cm2和12 cm，則S四邊形ACDB= cm2。

【改編意圖】教材原型考查了三角形內(nèi)切圓的相關知識，很多教師在講授這部分內(nèi)容時往往會補充一個公式，即任意三角形的內(nèi)切圓半徑＝面積×2÷周長，學生只要記住了公式，即便是在不深入理解的情況下也可以獲取基本題型分數(shù)，這會大大影響考試的公平性。為此，筆者嘗試在原型的基礎上增加了三層推理關系，第一層是將直接由條件告知三角形內(nèi)心換成了給出兩組角平分線，弱化了概念的顯性表征；第二層是將求內(nèi)切圓半徑改為了求四邊形ACDB的面積，滲透了割補的轉化思想；第三層是擴充了周長與面積對于解題的應用價值，原先僅作為代入之用，改編后則可與勾股定理、完全平方公式、代數(shù)推理等均有一定的關聯(lián)。總之，在自下而上地確立了三層新的推理關系后，便將設問與解法破解于無形之中，多方位地考查了學生的推理能力、運算能力及綜合運用知識的能力。

四、破模型固化，立素養(yǎng)發(fā)展

教材中問題所涉及的圖形一般都較為經(jīng)典，大多數(shù)是能體現(xiàn)知識本質(zhì)的基本圖形。這對于命題環(huán)節(jié)來說，既提供了機遇，又帶來了挑戰(zhàn)。當教材原型中的圖形過于經(jīng)典時，在此基礎上命制出來的問題一定是穩(wěn)扎素養(yǎng)根基的。它們雖然能代表某一類知識的核心結構，但缺點是如果不融入其他的素養(yǎng)成分，那么學生在面對基本圖形時反而會讓思維路徑窄化、解題方法固化。要想在模型的基礎上有所突破，就要立于學生的核心素養(yǎng)發(fā)展為命題錨點，在經(jīng)典圖形的基礎上突出能力的考查、素養(yǎng)的進階與觀念的創(chuàng)新。具體到新課標中所提及的空間觀念、幾何直觀、推理能力、運算能力等，均可以作為改編的靈感來源，通過融入這些素養(yǎng)元素，可讓命題的立意與高度更上一個臺階。

【教材原型】蘇科版初中數(shù)學九年級下冊第74頁，第6章第5節(jié)“三角形相似的性質(zhì)”習題第3題：在平行四邊形ABCD中，E是BC上的3等分點，AE交BD于點F。求：△BEF與△DAF的周長的比，以及面積的比。

【真題呈現(xiàn)】如圖，在菱形ABCD中，點E在BC邊上（與點B、C不重合），連接AE交BD于點G。（2）設BC=kBE，△BGE的面積為S，△AGD和四邊形CDGE的面積分別為S1和S2，把S1和S2分別用k、S的代數(shù)式表示，并求出此式的最大值。

【改編意圖】“X型相似”是初中階段重要的基本圖形范式之一，不僅本身代表了某一類基本相似，而且在解決與平行線有關的問題時也常以此為依據(jù)。不過，教材的原題僅考查了“X型相似”的簡單性質(zhì)，無法突出其基本圖形的核心地位與延伸價值，唯有融入更多的素養(yǎng)元素才能讓這道題“活”起來。因此，我們用字母k表示線段BC和BE的比值，用S表示△BGE的面積，并以這兩個參數(shù)表示S1和S2，一系列的設計是為了加大本題的運算量與含參量，以考查運算能力素養(yǎng)。將求兩個相似三角形的面積比改為求兩個多邊形的面積比，是希望學生在關注相似的同時，也能發(fā)現(xiàn)圖形中的其他面積關系，如同高三角形、同底三角形等，以彰顯幾何直觀素養(yǎng)。題目中有關幾何與代數(shù)不同條件之間的邏輯關系推導，以及求面積比最大值時所用的整體思想，均體現(xiàn)了嚴密的推理能力素養(yǎng)。上述改編均立足于核心素養(yǎng)，在破解模型固化給命題帶來消極影響的同時，也在知識點的經(jīng)典與傳承之上注入新的生命力。

五、命題感悟及總結

從上述四個案例可以看出，所有真題的原型都來源于教材，有的出自教材正文部分，有的是教材中的習題，有的是教材中“探索與發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)的引入素材。筆者以教材為綱進行試題命制，意在能起到一種教學的引領作用，讓師生將知識預習、學習、復習的重心回歸于教材，充分挖掘教材中的優(yōu)質(zhì)課程資源，最大限度地發(fā)揮教材的命題價值。不過，基于教材并不意味著囿于教材，在命題過程中，筆者也大膽地破解教材原型，提取經(jīng)典圖形與關鍵要素，在確定立意后反復調(diào)整命題思路，加強知識關聯(lián)，變化試題形式，找出想要考查問題的本質(zhì)，進而賦予其新的靈魂與生命，在尊重教材的基礎上進一步考查學生的素養(yǎng)發(fā)展水平。

通過此次命題，筆者秉持著“以教材為綱，在破中立意”的命題理念，積累了不少有益的經(jīng)驗，但同時也發(fā)現(xiàn)了些許不足。比如，與三角形內(nèi)心有關的那道題，改編后涉及的知識內(nèi)容較為繁雜，在豐富了解題方法的同時亦失去了原有的簡約特征。如何在提升一道題思想性的同時保留其簡約性，這個議題還值得進一步思考。另外，與三角形重心有關的那道題，僅僅用語言描述“使薄板平衡”顯得略微抽象，若將背景設置為一個真實情境，以更加彰顯新穎的命題思路，這樣可讓學生在實踐中體會重心的概念，就更能體現(xiàn)素養(yǎng)的發(fā)展水平。

［參考文獻］

［1］朱金祥.一次中考模擬試卷的命題之旅[J].中學數(shù)學月刊，2015（03）：46-47，61.

［2］何小亞.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）之反思[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2022（11）：1-6，53.