《數(shù)學(xué)模型》課程思政的教學(xué)實(shí)踐探索*

謝建強(qiáng) ，何亮田，李誠(chéng)舉

(1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601; 2.菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274000)

引言

2016年，在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上，習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)高等學(xué)校要加強(qiáng)“課程思政”建設(shè)，實(shí)現(xiàn)全員、全程、全方位育人[1].高等學(xué)校為加強(qiáng)和推進(jìn)課程思政建設(shè)，要實(shí)現(xiàn)教書育人和立德樹人，形成專業(yè)核心課和專業(yè)選修課教學(xué)與思政課教學(xué)有機(jī)結(jié)合，同向同行的育人格局[2].因此在現(xiàn)階段大環(huán)境下，研究公共基礎(chǔ)課、專業(yè)課和專業(yè)選修課的思政建設(shè)顯得尤為必要和重要. 目前已有一些專家和學(xué)者在課程思政的理論和實(shí)踐方面展開(kāi)研究，取得了很好的研究成果[3-5].最近，中國(guó)高等教育學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)張大良指出新時(shí)期立德樹人的根本遵循是課程思政.課程思政建設(shè)的基礎(chǔ)在課程，根本在思政，重點(diǎn)在課堂，關(guān)鍵在教師，成效在學(xué)生[6].孔翔和吳棟從課程目標(biāo)和評(píng)價(jià)體系優(yōu)化等方面，初步探究了以混合式教學(xué)改革服務(wù)課程思政建設(shè)的途徑[7].

1 數(shù)學(xué)模型課程思政的研究現(xiàn)狀

《數(shù)學(xué)模型》[8-9]是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的專業(yè)課程，以數(shù)學(xué)建模的基本思想和方法為主線，以科學(xué)計(jì)算方法為輔助，貫穿整個(gè)教學(xué)中.通常采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，圍繞生活中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行深入探究[10].通過(guò)數(shù)學(xué)建模案例分析和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽指導(dǎo)，使學(xué)生掌握如何在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下借助數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)手段和數(shù)學(xué)工具，構(gòu)建準(zhǔn)確刻畫實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而進(jìn)行因果關(guān)系分析、科學(xué)計(jì)算、定量、定性分析，以便更好地揭示所研究的對(duì)象的內(nèi)部規(guī)律和現(xiàn)象.在數(shù)學(xué)模型的案例教學(xué)中，通過(guò)明確實(shí)際問(wèn)題、合理假設(shè)、建立數(shù)學(xué)模型、模型求解和模型檢驗(yàn)等過(guò)程[8]引導(dǎo)學(xué)生參與、學(xué)習(xí)、思考和探究，以便發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性和激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力.在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中將思政元素與數(shù)學(xué)模型的教學(xué)緊密結(jié)合，對(duì)于大學(xué)生正確、積極的人生觀、價(jià)值觀和世界觀的塑造是極為重要和必要的.

近些年來(lái)，高等學(xué)校對(duì)數(shù)學(xué)類課程推進(jìn)教學(xué)改革和課程思政建設(shè)已逐漸引起重視[2,10-11].最近許少欣和楊昔陽(yáng)[12]通過(guò)一些案例分析，對(duì)如何在數(shù)學(xué)模型教學(xué)中加強(qiáng)課程思政建設(shè)給出了一些建議.朱婧等人[13]以傳染病模型為例，通過(guò)對(duì)SARS疫情建立SIR模型并數(shù)值求解來(lái)預(yù)測(cè)SARS.為培養(yǎng)學(xué)生的理性思考，勇于探索以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力提供了很好的鍛煉機(jī)會(huì).然而該模型存在不足之處，應(yīng)進(jìn)一步改進(jìn)SIR模型，構(gòu)建更合適的傳染病模型來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)和預(yù)警疫情，以此培養(yǎng)學(xué)生精益求精的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí).馬智慧[10]以常微分方程模型在生物數(shù)學(xué)中的應(yīng)用為例，即通過(guò)講授捕食者-食餌模型，探討了數(shù)學(xué)模型課程的研究性教學(xué)模式.高崢和黃晉[14]借助案例分析，論述了數(shù)學(xué)建模中的課程思政，并指出高校數(shù)學(xué)教師應(yīng)發(fā)揮學(xué)科文化素養(yǎng)的培育功能，充分挖掘課程的思政元素，實(shí)現(xiàn)立德樹人.據(jù)了解，對(duì)《數(shù)學(xué)模型》開(kāi)展課程思政建設(shè)的教學(xué)實(shí)踐和探索[15]并不是很多，仍值得進(jìn)一步深入探究.

本課程的教學(xué)通過(guò)運(yùn)用傳統(tǒng)教學(xué)方法和現(xiàn)代教育技術(shù)手段，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，來(lái)構(gòu)建全方位多角度的專業(yè)知識(shí)體系，將課程目標(biāo)、課程思政元素和科研訓(xùn)練貫穿于整個(gè)課程教學(xué)中，來(lái)推進(jìn)《數(shù)學(xué)模型》課程思政建設(shè).具體分為以下兩方面：

1)掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法，會(huì)用所學(xué)知識(shí)建立各種數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)理論、方法和計(jì)算機(jī)軟件來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

2)傳授各類不同數(shù)學(xué)模型的理論和方法，使學(xué)生具備對(duì)不同數(shù)學(xué)模型的性能、價(jià)值、優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)價(jià)和優(yōu)化的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造性思維和辯證思維能力，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀、世界觀和價(jià)值觀.

2 《數(shù)學(xué)模型》課程思政元素的挖掘

在《數(shù)學(xué)模型》的教學(xué)過(guò)程中，任課教師結(jié)合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律、認(rèn)知水平知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，遵循因材施教規(guī)律和立德樹人的原則，以培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生報(bào)效祖國(guó)的志向和社會(huì)責(zé)任意識(shí)為目標(biāo)，基于以下課程思政設(shè)計(jì)思路(如圖1所示)，挖掘和創(chuàng)造部分思政元素.

圖1 課程思政設(shè)計(jì)思路

課程教學(xué)內(nèi)容1：數(shù)學(xué)建模的重要性

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力、社會(huì)責(zé)任感和擔(dān)當(dāng)意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，傳承中華文化.

課程思政設(shè)計(jì)：通過(guò)向?qū)W生介紹應(yīng)用數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和幾個(gè)典型的應(yīng)用案例，如數(shù)值天氣預(yù)報(bào)、數(shù)值油藏模擬、劉家峽大壩的應(yīng)力分析問(wèn)題、飛機(jī)制造與數(shù)值風(fēng)洞、醫(yī)學(xué)成像、導(dǎo)航地圖與路徑優(yōu)化以及華為的5G，來(lái)闡釋應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要性和實(shí)用性.向?qū)W生介紹由馮康先生在1965年前后獨(dú)立于西方發(fā)明的有限元方法，提升學(xué)生的科研認(rèn)識(shí)水平.結(jié)合習(xí)近平總書記在科學(xué)家座談會(huì)上的講話精神[16]，指出科技創(chuàng)新的必要性和重要性，鼓勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)學(xué)科專業(yè)知識(shí)、深化科技創(chuàng)新，樹立科技報(bào)國(guó)的志向.

課程教學(xué)內(nèi)容2：馬爾可夫預(yù)測(cè)模型

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)辯證思維觀和歷史唯物主義觀，培養(yǎng)學(xué)生的綜合研究能力.

課程思政設(shè)計(jì)：以馬爾可夫鏈模型的提出、研究和發(fā)展歷史引入，來(lái)介紹馬爾可夫預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建、求解和案例分析，使學(xué)生領(lǐng)悟到事物的普遍聯(lián)系和辯證統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證觀和歷史唯物主義觀以及理論聯(lián)系實(shí)際的能力.

課程教學(xué)內(nèi)容3：常微分方程組模型

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)、精益求精、敢于探索的創(chuàng)新意識(shí).

課程思政設(shè)計(jì)：以2019-nCoV疫情引入，來(lái)強(qiáng)調(diào)建立合適的微分方程模型來(lái)預(yù)測(cè)和預(yù)警疫情的重要性.通過(guò)向?qū)W生介紹刻畫傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型SIR模型[8-9,17]、SIRP模型[8]、SEIR模型[17]、SEIJR模型[18]，使學(xué)生認(rèn)識(shí)一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，需要不斷地修正和完善[19].引導(dǎo)學(xué)生研究和思考這些經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)意識(shí)和養(yǎng)成理性思考的習(xí)慣.

課程教學(xué)內(nèi)容4：微分方程的求解

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)，勇于探索和刻苦鉆研的精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

課程思政設(shè)計(jì)：通過(guò)案例教學(xué)法和小組討論，講述如何用Matlab庫(kù)函數(shù)dsolve、ode45等求解簡(jiǎn)單的微分方程，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟已有經(jīng)驗(yàn)的重要性，學(xué)習(xí)已有的算法，設(shè)法找到現(xiàn)存算法的不足之處，并加以不斷改進(jìn)和提高算法的性能.培養(yǎng)學(xué)生不怕出錯(cuò)，不斷矯正的可貴精神和綜合研究能力，使學(xué)生樹立積極的人生觀、世界觀和價(jià)值觀.在微分方程的數(shù)值解法教學(xué)中，通過(guò)數(shù)值算法的構(gòu)造模式教學(xué)、案例教學(xué)、實(shí)踐探究和參與式自主學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生感悟生活，培養(yǎng)學(xué)生精益求精、勇于探索的精神.

課程教學(xué)內(nèi)容5：數(shù)學(xué)規(guī)劃

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維觀，戒驕戒躁，樹立不忘初心，牢記使命的信念.

課程思政設(shè)計(jì)：通過(guò)課堂講授、案例教學(xué)和自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白事物之間是普遍聯(lián)系和辯證統(tǒng)一的，體會(huì)到學(xué)習(xí)、生活、工作類似于優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的搜索過(guò)程，要有正確的方向，要腳踏實(shí)地，杜絕短平快.引導(dǎo)學(xué)生看問(wèn)題不僅要從全局出發(fā)，更要著眼于局部，要善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)真理.

課程教學(xué)內(nèi)容6：無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生精益求精、勇于探索的科學(xué)精神，培養(yǎng)辯證思維觀.

課程思政設(shè)計(jì)：通過(guò)示例教學(xué)法介紹無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的各類求解算法及其優(yōu)劣，培養(yǎng)學(xué)生不懼艱難，刻苦鉆研、精益求精的科學(xué)態(tài)度.

課程教學(xué)內(nèi)容7：多目標(biāo)規(guī)劃

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維觀、對(duì)立、統(tǒng)一的辯證觀.

課程思政設(shè)計(jì)：通過(guò)案例教學(xué)法和小組討論，講授證券組合投資中的多目標(biāo)規(guī)劃模型[8]，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到收益與風(fēng)險(xiǎn)共存的道理.以實(shí)際生活中的案例類推，引導(dǎo)學(xué)生樹立合理分散風(fēng)險(xiǎn)獲取收益最大化的觀念.

課程教學(xué)內(nèi)容8：圖論模型

課程思政目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生精益求精、勇于探索的科學(xué)精神和綜合研究能力，樹立文化自信，傳承中華文化.

課程思政設(shè)計(jì)：通過(guò)幾個(gè)圖論模型的學(xué)習(xí)和案例分析，如最短路模型、最大流問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生樹立效益最大化意識(shí)，并學(xué)會(huì)追求最高收益；拓展了解什么是一帶一路，提升民族危機(jī)意識(shí)和歷史使命感，踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀.

3 《數(shù)學(xué)模型》課程的教學(xué)實(shí)踐

以食餌-捕食者模型為例，基于圖1中的課程思政實(shí)施思路，來(lái)展示數(shù)學(xué)模型課程思政的教學(xué)實(shí)踐.

3.1 以實(shí)際問(wèn)題為切入點(diǎn)，引入教學(xué)內(nèi)容

意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究[8-9]，從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口幾種魚類捕獲量百分比的資料中，他發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加，而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降．顯然戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚量下降，從而食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？為了解決這個(gè)問(wèn)題，Volterra建立了經(jīng)典的食餌-捕食者模型如下：

(1)

其中x(t)為食餌在t時(shí)刻的數(shù)量；y(t)為捕食者在t時(shí)刻的數(shù)量；r1是食餌獨(dú)立生存時(shí)的增長(zhǎng)率；r2是捕食者獨(dú)自存在時(shí)的死亡率；N1,N2分別為食餌和捕食者在系統(tǒng)中的最大生存量；λ1表示單位數(shù)量的捕食者(相對(duì)于N1)捕食單位數(shù)量食餌(相對(duì)于N2)的能力；λ2是單位數(shù)量的食餌(相對(duì)于N2)供養(yǎng)單位數(shù)量捕食者(相對(duì)于N1)的能力.Volterra用此模型來(lái)解釋意大利生物學(xué)家提出的問(wèn)題.在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到用數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫食餌-捕食者系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)發(fā)展過(guò)程和穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)種群動(dòng)力學(xué)和生態(tài)學(xué)的研究具有重要的研究意義和應(yīng)用價(jià)值.

3.2 建立合理的數(shù)學(xué)模型并求解，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)意識(shí)

注意到食餌-捕食者模型(1)是在自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互依存和制約關(guān)系，也沒(méi)有考慮種群自身的阻滯增長(zhǎng)效應(yīng)，為保證模型的合理性，可在方程(1)中對(duì)食餌增加自身阻滯作用的Logistic項(xiàng)，建立相應(yīng)的模型如下：

(2)

圖2 群關(guān)系圖和兩種群相軌線

在模型的建立和求解過(guò)程中，使學(xué)生明白一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型需要經(jīng)過(guò)不斷地修正和完善，以此培養(yǎng)學(xué)生精益求精的綜合研究能力和辯證思維觀.正如我們所知，盡管該模型可以很好地解釋一些實(shí)際現(xiàn)象，但該模型作為現(xiàn)實(shí)對(duì)象的一個(gè)抽象，也會(huì)存在一些局限性.比如，在食餌-捕食者模型中均考慮自身阻滯作用的Logistic項(xiàng)，選取x(t)=27.5,y(t)=10,可以觀察到數(shù)值解的周期震蕩性(如圖3所示).

圖3 x(t),y(t)及y(x)

3.3 食餌-捕食者模型的延拓，提高學(xué)生的科研創(chuàng)新能力

在學(xué)習(xí)食餌-捕食者模型的過(guò)程中，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到該模型的重要性和廣泛的應(yīng)用性，注重將科學(xué)研究的思路和方法論有機(jī)融合于教學(xué)中，以此開(kāi)闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的求知欲和上進(jìn)心，進(jìn)一步提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.如能否通過(guò)增加空間的相互作用，考慮偏微分方程框架下的食餌-捕食者模型來(lái)解釋種群動(dòng)力學(xué)行為，并對(duì)相應(yīng)的模型進(jìn)行高效的求解.再如，能否在傳統(tǒng)的食餌-捕食者模型中引入非局部項(xiàng)來(lái)刻畫食餌-捕食者之間的相互依存和制約關(guān)系，對(duì)種群間的動(dòng)力學(xué)行為現(xiàn)象給出更合理的解釋？通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考這些問(wèn)題，并嘗試解決它們，培養(yǎng)學(xué)生的科研思維、創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維，養(yǎng)成勤提問(wèn)、勤思考和研究問(wèn)題的好習(xí)慣，以期不斷提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力.

4 《數(shù)學(xué)模型》教學(xué)中課程思政探索的幾點(diǎn)思考

4.1 注重研究性教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生敢于創(chuàng)新的科研意識(shí)

在傳染病模型和種群增長(zhǎng)模型的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)案例分析教學(xué)，講述傳染病模型和種群增長(zhǎng)模型的建立、求解和應(yīng)用，以及可能推廣的一些研究，如基于分?jǐn)?shù)階微積分時(shí)滯動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)傳染病模型的建立，高效數(shù)值求解和應(yīng)用.在模型的建立和數(shù)值求解方面，采取參與式和示例式教學(xué)，以期提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力.推薦學(xué)生閱讀與授課內(nèi)容相關(guān)的新文獻(xiàn)，并有針對(duì)性的進(jìn)行講解，拓寬學(xué)生的視野和知識(shí)面，使學(xué)生理解和體會(huì)科學(xué)研究創(chuàng)新的訓(xùn)練過(guò)程和思維模式.結(jié)合自己的研究方向和科研體會(huì)，與同學(xué)們進(jìn)行交流，培養(yǎng)學(xué)生不怕吃苦、勇于探索的科研精神以及綜合研究能力.

4.2 采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，加深學(xué)生的探究意識(shí)

在層次分析法的講授過(guò)程中，關(guān)于成對(duì)比較矩陣的構(gòu)造，由于人們認(rèn)知的差異，采取Saaty教授引入的1-9標(biāo)度構(gòu)造的成對(duì)比較矩陣，有時(shí)候很難通過(guò)矩陣的一致性檢驗(yàn).一個(gè)自然的問(wèn)題是如何改進(jìn)成對(duì)比較矩陣，使其通過(guò)一致性檢驗(yàn).通過(guò)給學(xué)生提供相關(guān)思路，如利用加罰的思想修正成對(duì)比較矩陣或提出新的方法構(gòu)造判斷矩陣，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生積極參與討論和思考，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)和主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力.

4.3 運(yùn)用探究式教學(xué)方法，提高學(xué)生的創(chuàng)造性思辨能力

在無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，采取探究式教學(xué)方法和案例教學(xué)，詳細(xì)講述最速下降法、牛頓法和擬牛頓法的求解思想和算法步驟.運(yùn)用示例法比較這三種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要這樣設(shè)計(jì)算法，重視基本求解算法背后設(shè)計(jì)思想和原理的教學(xué)，以此來(lái)加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)值算法的理解和認(rèn)識(shí)，掌握科研訓(xùn)練的過(guò)程，以便提高學(xué)生的創(chuàng)造性思辨能力.

5 結(jié)論

課程思政通過(guò)遵循三位一體的育人理念，在教學(xué)過(guò)程中挖掘和創(chuàng)造課程的思政元素，實(shí)現(xiàn)立德樹人.本文在《數(shù)學(xué)模型》課程的教學(xué)實(shí)踐中，借助研究性教學(xué)模式和探究性、示例型教學(xué)方法創(chuàng)造和挖掘了該課程的思政元素，培養(yǎng)了學(xué)生的辯證思維觀、精益求精、不怕困難、勇于探索的科學(xué)精神以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.