基于重心與投擲角度對紙飛機留空時間影響的分析*

王微 ，趙明程

(1.菏澤學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 菏澤 274015； 2.菏澤學院化學化工學院，山東 菏澤 274015)

1 模型的假設和符號說明

1.1 條件假設

1)假設每一次擲出紙飛機其瞬時速度的大小和方向不變.

2)假設忽略空氣摩擦生成的熱量.

3)假設測試環(huán)境的空氣密度恒定不變.

4)假設在紙飛機飛行過程中翼面與機身張開角度不變

1.2 符號說明

本文所用符號說明見表1.

表1 符號說明

2 模型建立與問題求解

紙飛機留空時間的長短必須具備滑行過程中有良好的穩(wěn)定性和較大的升阻比.滑翔機最重要的部分是主翼.它必須在飛行期間支持飛機.機翼橫截面的形狀稱為翼型.弦線是從機翼的前緣到機翼的后緣繪制的直線.弦線與風向的夾角稱為迎角.當飛機的機頭升高或降低時,迎角會發(fā)生變化.當飛機滑行時,風壓作用于機翼.產(chǎn)生垂直分量的升力和水平的拖動力.留空時間較長的飛機將具有較大的升阻比.

機翼形狀能夠影響升力與阻力比,比如機翼彎曲程度、外傾量應不超過弦長的6%等.為減少紙飛機的阻力，可以使表面盡可能光滑，這樣飛機在空中飛行時摩擦力變小.

圖1 空氣氣流分析及其紙飛機后視圖張角變化

由圖1所示，紙飛機在飛行過程中收到了空氣流體的作用，隨即機翼會發(fā)生延伸，為了更方便地研究空氣氣流對紙飛機的影響，本文引入“流線曲率定理”,其定理指出,機翼上表面的壓力小于遠處的壓力,下表面的壓力大于遠處的壓力；因此,機翼上下表面的壓力差產(chǎn)生升力.壓力場和流動曲率之間的這種關系非常有用.這個理論解釋了為什么在由流線同心圓組成的旋渦的中心存在如此低的壓力.這也是一種直觀地解釋為什么翼型產(chǎn)生升力的原因[1].設r為質心到原點的距離,其方程為

從物理上來說,利用Rankine-Hugoniot將“跳躍”(不連續(xù))轉化為流量(密度、速度、壓力),從而得到弱解.在實際應用中,一些不連續(xù)性通過粘度和傳熱得到了消除.

其中Rankine-Hugoniot 條件，是描述了一維流動中沖擊波或燃燒波(爆燃或爆轟)兩側狀態(tài)之間的關系.流體或固體中的一維變形[1].

在變坐標系中，Rankine-Hugoniot 條件可以表示為

ρ1u1=ρ2u2=m，

在空氣動力學的許多領域中，正確計算連續(xù)量在不連續(xù)的區(qū)域(例如沖擊波或邊界層),用歐拉方程有限差分方法，一般將太多的時間點和空間計算在內(nèi),在這種情況下,必須避免守恒方程的局部形式,通過一些弱形式,可用Burgers方程進行求解.

紙飛機在飛行過程中能從后視圖看出兩個翼面會分開,而空氣會從中間流過,由于力的作用,定風翼,定風尾會如圖1所示，這里θ角時刻發(fā)生變化.與真正的飛機一樣,在空中主要受到四種主要的作用力,統(tǒng)稱為空氣動力.當向前拋出飛機時稱為推力.升力是作用在機翼上的力,有助于飛機向上移動.機翼的較大表面積增加升力.升力是拉動飛機的動力，輕質的材料可以制作更輕的飛機,可以保持更長的時間.拖曳(由尾部引起)與推力相反,它使飛機減速. 還有其他因素會影響紙飛機的飛行效果.使用的紙張類型會影響其重量和存在的摩擦力.飛機的設計方式也有很大差異.機翼,機頭和機尾的設計都可以徹底改變飛機飛行的方式.對于 Suzanne 紙飛機的質心,通過頂針法尋找的同時,也利用三重積分在物理學上的應用[2].

如果質量分布是連續(xù)的,密度函數(shù)ρ(r)在空間Ω上也是連續(xù)的,加權的積分點的位置坐標相對于質心r除以體積V是零,

重力場被看做是均勻的,質心和重心將是相同的點.然而,對于紙飛機在空中飛行,其軌跡有一段是在空中旋轉下落,在缺乏其他扭矩應用于紙飛機,輕微的變化的引力場之間的接近或者遠離地面會導致轉矩.在這種情況下,區(qū)分重心和質心是很重要的.兩者之間的任何水平偏移都會導致扭矩.

在平行重力場中,每一點r處的力f為

其中dm為質心r的質量,g為重力加速度,k為定義垂直方向的單位向量.在體積中選擇一個參考點R,這一點的合力和扭矩為[3]

并且有

圖2 紙飛機在投擲出瞬間

由圖2所示，本文對紙飛機被投擲出的瞬間受到了多個力作用進行了分析，設投擲出的初速度為v,與水平面的夾角為α,那么在水平與豎直方向的速度分量為

vx=v·cosα,vy=v·sinα.

設紙飛機上升到最大高度時的水平與豎直方向上的分速度分別為vx2，vy2

那么這一過程中水平位移與豎直位移分別是

當飛機落地時，水平速度是個定值，豎直方向的速度越小，則飛行時間最長.

對于升力有,

對于阻力有,

根據(jù)力的合成與分解并結合相關空氣動力學相關理論，得到兩個推進力方程,這兩個方程分別為水平與豎直兩個方向上的力.

如果紙飛機在空中的四種作用力相互抵消的話,那么留空時間會更長一些.

因此,有

對于這個模型不能無限的將投擲角度減小或者增大,實驗得出重心在距機頭的三分之一處，投擲度為80°時，紙飛機留空間最長.

3 結語

對于模型的誤差可用PDE進行相關誤差分析，并且可以為其導出邊界.在擴散(或更一般的)Markov過程中，模型風險問題允許基于經(jīng)典工具的嚴格方法來分析可解模型的靈敏度.這些工具在概率學和數(shù)學建模的標準教科書中常被忽視.

該模型應用了物理學中流體學、空氣動力學、靜力學、物體的運動、壓強、伯努利效應等知識，數(shù)學中多元函數(shù)的積分學、微分學、三角函數(shù)等專業(yè)知識，并用MATLAB軟件工具，結合Python語言,繪制飛行軌跡曲線,求出了最佳出手角度，延長了紙飛機留空時間，從而實現(xiàn)使紙飛機飛行距離最遠的目的.