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    整式乘法中考題賞析

    2022-12-09 22:40:57楊金林
    初中生學習指導·提升版 2022年11期
    關鍵詞:邊長紙片等式

    楊金林

    在近年的中考試題中,出現了一些與整式的乘法有關的創(chuàng)新題型,這些試題設計新穎,重在考查觀察能力、探索能力和歸納概括能力. 現舉例說明.

    一、規(guī)律性問題

    例1 (2022·安徽)觀察以下等式:

    第1個等式:(2 × 1 + 1)2 = (2 × 2 + 1)2 - (2 × 2)2 ,

    第2個等式:(2 × 2 + 1)2 = (3 × 4 + 1)2 - (3 × 4)2 ,

    第3個等式:(2 × 3 + 1)2 = (4 × 6 + 1)2 - (4 × 6)2 ,

    第4個等式:(2 × 4 + 1)2 = (5 × 8 + 1)2 - (5 × 8)2 ,……

    按照以上規(guī)律. 解決下列問題:

    (1)寫出第5個等式:;

    (2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示),并證明.

    解析:(1)觀察4個等式中相同位置數的變化規(guī)律,

    可得第5個等式:(2 × 5 + 1)2 = (6 × 10 + 1)2 - (6 × 10)2,

    故應填(2 × 5 + 1)2 = (6 × 10 + 1)2 - (6 × 10)2.

    (2)猜想:第n個等式為(2n + 1)2 = [(n + 1)·2n + 12] - [(n + 1)·2n2].

    證明:等式左邊:(2n + 1)2 = [4n2+4n+1],

    等式右邊:[(n+1)·2n+12-(n+1)·2n2]

    [=(n+1)·2n+1+(n+1)·2n·(n+1)·2n+1-(n+1)·2n]

    [=] [(n+1)·4n+1×1][=4n2+4n+1],

    因此,[2n+12=(n+1)·2n+12-(n+1)·2n2]成立.

    二、數形結合題

    例2? (2022·浙江·寧波)將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖1所示不重疊地放置在矩形[ABCD]內,其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等. 若知道圖1中陰影部分的面積,則一定能求出().

    A. 正方形紙片的面積 B. 四邊形[EFGH]的面積

    C. [△BEF]的面積 D. [△AEH]的面積

    解析:根據題意可知,四邊形EFGH是正方形,

    設正方形DMGN的邊長為x,正方形EFGH的邊長為y,

    則長方形APHM的寬為x - y,

    所以S陰影 = S正方形EFGH? + 2S△AEH + 2S△DHG = [y2+2×12y(x-y)+2×12xy] = 2xy,

    根據題意,已知陰影部分的面積也就是已知xy的值,

    正方形紙片的面積為x2,無法求出,不符合題意;

    四邊形EFGH的面積為y2,無法求出,不符合題意;

    [△BEF]的面積為[12xy],根據已知條件可以求出,所以符合題意;

    [△AEH]的面積為[12y(x-y)=xy-y22],無法求出,不符合題意.

    故選 C.

    例3 (2022·浙江·金華)如圖2,將長為[2a+3],寬為[2a]的矩形分割成四個全等的直角三角形,拼成“趙爽弦圖”(如圖3),得到大小不等的兩個正方形.

    (1)用關于a的代數式表示圖3中小正方形的邊長.

    (2)當[a=3]時,該小正方形的面積是多少?

    解析:(1)∵直角三角形較短直角邊長為[12×2a=a],

    較長直角邊長為[2a+3],

    ∴小正方形的邊長[=2a+3-a=a+3];

    (2)S小正方形 = (a + 3)2 = a2 + 6a + 9,

    當[a=3]時,S小正方形 = (3 + 3)2 = 36.

    分層作業(yè)

    難度系數:★★★解題時間:3分鐘

    若(x - 2)(x2 + ax - 8b)的展開式中不含x的二次項和一次項. (1)求b的值;(2)求(a + 1)(a2 + 1)(a4 + 1)…(a32 + 1) + 1的值. (答案見第33頁)

    (作者單位:山東省棗莊市第二中學)

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