冪級(jí)數(shù)展開式的若干應(yīng)用

◎金少華 宛艷萍 徐 勇 陳秀引 臧 婷 程俊明

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天 津 300401)

微積分是理工科大學(xué)生非常重要的基礎(chǔ)課.本文結(jié)合近年的考研真題給出了基本的冪級(jí)數(shù)展開式的若干應(yīng)用,包括利用基本的冪級(jí)數(shù)展開式判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)等，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法和創(chuàng)新能力.

本題若直接用求導(dǎo)法則求f(3)(0),則計(jì)算量很大，而用f(x)的麥克勞林展開式，計(jì)算非常簡(jiǎn)捷.

上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

在上式中令x=1，得

本題直接用sinx的麥克勞林展開式往要求的結(jié)果湊，計(jì)算簡(jiǎn)捷，目的明確.

本題直接用cosx的麥克勞林展開式往要求的結(jié)果湊，計(jì)算簡(jiǎn)捷，目的明確.

所以其收斂區(qū)間為(-1,1).

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，

=-xln(1-x)-[-ln(1-x)-x],

本題用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值法和根值法均不易判別斂散性，而利用ex的麥克勞林展開式則很容易得到結(jié)果.

兩端對(duì)x求導(dǎo)，得

本題直接用sinx的麥克勞林展開式往要求的結(jié)果湊，計(jì)算簡(jiǎn)捷，目的明確.

所以由上式，得P-π2Q=0,即

本題直接用cosx的麥克勞林展開式往要求的結(jié)果湊，計(jì)算簡(jiǎn)捷.

收斂半徑R=1.

本題對(duì)ln(1+x) 的麥克勞林展開式進(jìn)行變量代換可順利求得結(jié)果.

下面看一個(gè)利用基本的冪級(jí)數(shù)展開式求矩陣函數(shù)的例子.

解特征多項(xiàng)式φ(λ)=λ4-π2λ2，

由哈密頓-凱萊定理，得A4-π2A2=0，即A4=π2A2，

有了這個(gè)等式，上面三個(gè)矩陣函數(shù)的矩陣冪級(jí)數(shù)實(shí)際上可用A的有限多項(xiàng)式給出：即A5=π2A3，A7=π2A5=π4A3,…,A2k+1=π2k-2A3,…類似可得A2k=π2k-2A2.