玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué) 創(chuàng)新思維
——以“探究多邊形周長(zhǎng)為定長(zhǎng)的最大面積問題”為例

廣東省廣州市荔灣區(qū)西關(guān)廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510000)林麗珊

新課標(biāo)(2022 年版)指出:“激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣和合作交流的意愿;發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)”.在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)過程中能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

本文以“探究多邊形周長(zhǎng)為定長(zhǎng)的最大面積問題”為例,構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證”等活動(dòng)過程的探索,以實(shí)驗(yàn)活動(dòng)來代替枯燥無味的理論學(xué)習(xí),鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,獨(dú)立思考,學(xué)會(huì)思考,積極推理驗(yàn)證.通過實(shí)驗(yàn)活動(dòng)使學(xué)生在提升思維水平的同時(shí)感受到數(shù)學(xué)的妙趣.下面為該玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)設(shè)計(jì).

1 聯(lián)系生活,培養(yǎng)問題意識(shí)

問題一條長(zhǎng)4 米的繩子,圍成一個(gè)正方形的面積大還是圍成一個(gè)圓的面積大? 這個(gè)問題學(xué)生可以通過計(jì)算得出結(jié)論.學(xué)生提出疑問:同樣的長(zhǎng)度圍成其他圖形,結(jié)果會(huì)是怎樣呢? 生活中常會(huì)見到一個(gè)這樣的現(xiàn)象:牧羊人圍羊圈時(shí)總是會(huì)圍城一個(gè)圓形,而不是三角形、正方形等圖形.這背后的原理十分簡(jiǎn)單,即:圓是周長(zhǎng)一定圍成面積最大的圖形,意味著牧羊人可以用更少的材料做圍欄而面積可以更大.但在這淺顯易懂的道理背后又隱藏這什么真理? 數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥斯拉曾經(jīng)說過:“在數(shù)學(xué)的天地里,重要的不是咱們知道什么,而是咱們?cè)鯓又朗裁?”于是,學(xué)生活動(dòng)小組成員共同討論,最終決定研究第一個(gè)問題:對(duì)于任意的多邊形,周長(zhǎng)一定時(shí),什么時(shí)候面積最大? 通過討論,教師加以引導(dǎo),提出以下5 個(gè)小活動(dòng):①凸多邊形與凹多邊形對(duì)比;②引用性質(zhì);③三角形周長(zhǎng)一定時(shí)面積最大情況;④四邊形周長(zhǎng)一定時(shí)面積最大情怳;5○n邊形周長(zhǎng)一定時(shí)面積最大情怳.

2 有序推理,培養(yǎng)抽象能力

學(xué)生通過現(xiàn)有掌握的知識(shí),通過小組活動(dòng),逐一推理解決問題.小組研究報(bào)告片段如下:

(1)凸多邊形與凹多邊形

為了方便探究,我們將多邊形分成凸多邊形與凹多邊形.

實(shí)際上,凸多邊形絕對(duì)比凹多邊形大,如圖1,凹四邊形ABCD,連接AC,作ΔAEC與ΔADC關(guān)于AC對(duì)稱.

此時(shí)由對(duì)稱性質(zhì)有AD=AE,CD=CE,∵C凹四邊形ABCD=AB+BC+CD+AD=AB+BC+CE+AE=C凸四邊形ABCE,∵S凹四邊形ABCD必定小于S凸四邊形ABCE,∴在周長(zhǎng)一定的情怳下,凹四邊形ABCD的面積絕對(duì)比凸多邊形ABCE小,所以周長(zhǎng)一定時(shí)面積最大的四邊形絕對(duì)是凸多邊形.

進(jìn)一步有對(duì)于任意凹多邊形與凸多邊形,周長(zhǎng)一定時(shí),面積最大的一定是凸多邊形.

圖1

圖2

圖3

(2)引用性質(zhì)

如圖2,若EC//AB,C是直線EC上一點(diǎn),A、B為頂點(diǎn),易知隨著C位置的變化,SΔABC保持不變,但當(dāng)AC=BC時(shí),CΔABC取最小值.

(3)三角形

在此過程中,學(xué)生嘗試學(xué)習(xí)幾何畫板,動(dòng)手操作作圖輔助解決問題.一開始我還有些擔(dān)心學(xué)生不會(huì)用幾何畫板,但學(xué)生的動(dòng)手能力其實(shí)挺不錯(cuò),只要我們教師搭建平臺(tái)給他們,相信他們就會(huì)有很大的潛力繼續(xù)前進(jìn).下面是小組成員為了猜想而利用幾何畫板畫出的圖形.

圖4

圖5

圖6

圖7

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是一種促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效方式.既培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和思辨能力,又讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中拉近與數(shù)學(xué)的距離,從而提高學(xué)習(xí)效率,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 激發(fā)學(xué)習(xí),培養(yǎng)探索精神

學(xué)生小組合作得到結(jié)論:對(duì)于任意的多邊形,周長(zhǎng)一定時(shí),正多邊形面積最大.接著,小組某成員又提出一個(gè)新問題:周長(zhǎng)一定的正多邊形,邊數(shù)越大面積是否越大? 因?yàn)檫厰?shù)越大,正多邊形就越來越趨近于圓形,離要解決的問題又近了一步.

在此活動(dòng)過程中,小組成員遇到一個(gè)困難:如何得到正n多邊形面積公式? 初中階段的知識(shí)儲(chǔ)備不夠用.通過教師的引導(dǎo)和鼓勵(lì)下,小組成員通過教師推薦的相關(guān)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)查閱資料,并且自學(xué)了反銳角三角函數(shù).小組此階段研究報(bào)告片段如下:

圖8

圖9

而學(xué)生對(duì)該活動(dòng)研究的熱情高漲遠(yuǎn)超教師的想象.興趣是最好的教師,我們?cè)撜J(rèn)真思考在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之下,如何再開展一些有思考性又有點(diǎn)挑戰(zhàn)性的研究活動(dòng),讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦實(shí)操,讓數(shù)學(xué)更具魅力.

圖10

4 合理聯(lián)想,發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)

培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù),獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心.在探究活動(dòng)中,發(fā)散思維,合理聯(lián)想,發(fā)揮想象力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

活動(dòng)小組成員通過活動(dòng)研究解決問題后,一直以來對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣濃厚小組成員,為了解決更多的問題,積極查閱書籍、網(wǎng)絡(luò)信息,自主學(xué)習(xí)了更多的高中知識(shí),提出推論片段如下:

(1)曲線情怳

圖11

圖12

如圖中的曲線,我們可以把曲線看作無限條線段的集合,那么該曲線可以看作是凹多邊形,因?yàn)橥苟噙呅伪劝级噙呅蚊娣e大,可以把曲線整理成如下曲線

此時(shí)周長(zhǎng)不變,面積更大,若面積取最大,那么組成這個(gè)曲線的點(diǎn)都共圓,那么此時(shí)該圖形是一個(gè)圓.

(2)圓面積最大

結(jié)合研究活動(dòng)一、二的結(jié)論,我們可以看出如果周長(zhǎng)一定時(shí),它是一個(gè)正n邊形時(shí),n越大,面積越大,很顯然,隨著n的變大,它的形狀會(huì)越來越接近一個(gè)圓,可見圓是周長(zhǎng)一定面積最大的圖形.

圖13

圖14

(3)圓周率極限式

不妨使用計(jì)算器,此圖為n=10000 的值,其數(shù)值較接近于π,當(dāng)然,只有當(dāng)n趨于無窮大時(shí),公式的值才會(huì)無限趨于π.

5 總結(jié)反思,提升學(xué)習(xí)品質(zhì)

通過這次的數(shù)學(xué)課題的研究與實(shí)踐學(xué)習(xí),學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)王國(guó)的奇妙魅力,感受到了數(shù)學(xué)宇宙的浩瀚,學(xué)生表示:從這次課題研究活動(dòng)中,收獲的不僅僅是知識(shí),通過制作ppt,撰寫論文,與小組組員交流,還從實(shí)踐中收獲了創(chuàng)作方法和經(jīng)驗(yàn),更鍛煉了自身的工作能力,團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力.在研究過程中,還學(xué)習(xí)到了解決數(shù)學(xué)問題最有效的方法之一,學(xué)會(huì)變通,就好像通過一條路一樣,如果這一條路走通,那可不可以繞個(gè)圈走另一條路呢? 解決數(shù)學(xué)問題也如此,如果這一種證明方法行不通,那可不可以換另一種方法呢? 在這次研究活動(dòng)中,獲益良多.

小組成員說:經(jīng)過本次的數(shù)學(xué)課題研究活動(dòng),我收獲頗豐,加深了我對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛,更加深刻的讓我感受到了數(shù)學(xué)的魅力,我希望能繼續(xù)參與往后類似的課題研究活動(dòng)與下一次的玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)的活動(dòng),不斷學(xué)習(xí),不斷前進(jìn),提高自我各方面的能力,在數(shù)學(xué)的海洋中遨游,探尋數(shù)學(xué)其中奇妙的奧秘.

6 運(yùn)用實(shí)踐,培養(yǎng)應(yīng)用能力

新課標(biāo)(2022 年版)指出:“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為指導(dǎo),落實(shí)立德樹人根本任務(wù),致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo),使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)”.因此,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須加強(qiáng)與生活實(shí)際的聯(lián)系,讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué).該探究活動(dòng)到最后階段,則是鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)把探究得到的成果應(yīng)用于實(shí)踐當(dāng)中,服務(wù)生活、科技等方面.以下是應(yīng)用舉例:

(1)用料最少與變式

平時(shí),我們生活中的運(yùn)動(dòng)水壺一般都是圓柱體,這就利用了柱體中表面積最少(不計(jì)上下)時(shí)圓柱體積最大的道理.

我們?cè)谏钪袝?huì)建造圍墻柵欄等柱體,為了保障自己的利益最大化,一般會(huì)事先估算材料的多少.

問題來了,假如我們有100m 的柵欄,我們可以圍成的面積最大值是多少?

很明顯,由于最大面積是圓,利用C=2πr=100m和S=πr2可以得Smax≈796.18m2因此,我們可以建立不等式0＜S≤來計(jì)算用料是否足夠,如有10m 長(zhǎng)的繩子,是否可以圍成一個(gè)面積為8m2的圖形? 我們可以把C=10m,S=8m2代入,有0＜8m2≤7.96m2,這是不可能的,所以無法圍出來.

如果將結(jié)論變形,有圓是周長(zhǎng)一定面積最小的圖形.從而亦可以建立不等式0＜C≤來解決用料判斷問題.

(2)受力小

我們常常用管道來運(yùn)輸水等流體,而將管道設(shè)計(jì)成柱體可以保障流量的足夠,同時(shí),所受到的粘滯阻力也達(dá)到最小,同時(shí)若把管道修得更接近完美的圓,管道四周所受到的液體壓強(qiáng)也會(huì)越來越接近平衡狀態(tài),從而提高耐久度.

(3)圓形的優(yōu)點(diǎn)

圓形具有面積大而周長(zhǎng)小的特性.在安全的角度上,保證了使用者的安全,在容量的角度上,又做到節(jié)省材料,高耐久度的效果.而圓的各種變換圖形所制成的各種精美的藝術(shù)品,又讓我們的生活在方方面面充滿數(shù)學(xué)之美.

7 結(jié)論

在日常教學(xué)中要注重把數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來,為學(xué)生提供豐富的感性認(rèn)識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn),使學(xué)生感到所學(xué)知識(shí)是有用的,能解決實(shí)際生活中的問題,從而激起他們熱愛數(shù)學(xué),樂于實(shí)踐的愿望.

玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)是學(xué)生有意義地開展數(shù)學(xué)活動(dòng),在活動(dòng)過程很好地展現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)力,很好地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力.也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,形成了新課標(biāo)(2022 年版)總目標(biāo)里提到的:“質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神”.同時(shí)也讓教師對(duì)數(shù)學(xué)教育有了更深層次的思考與認(rèn)識(shí).