探索幾何“不變性” 感悟數(shù)學(xué)“理性美”
——《新課標(biāo)》理念下圖形翻折問題深入研究

楊金增 黃祥勇

(四川省成都市金牛區(qū)教育科學(xué)研究院,610000) (四川省成都市教育科學(xué)研究院,610000)

本文以一道中考試題開展動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)探究,設(shè)法運(yùn)用“度量”來(lái)觀察不變的幾何規(guī)律,在求“變”中尋找“不變”,培養(yǎng)學(xué)生以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”的思維能力,發(fā)揮數(shù)學(xué)滲透“理性美”的育人功能．

一、 原題呈現(xiàn)

(2021年成都中考第24題)如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,點(diǎn)E,F分別在AD、BC上,且AE=3,按以下步驟操作:

第一步,沿直線EF翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對(duì)角線AC上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,則線段BF的長(zhǎng)為______;

第二步,分別在EF,A′B′上取點(diǎn)M,N,沿直線MN繼續(xù)翻折,使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合,則線段MN的長(zhǎng)為______.

二、 核心素養(yǎng)視角下試題的特色解讀

1.起點(diǎn)低,入手易

本題“矩形的長(zhǎng)是寬的2倍”,背景數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單．第(1)問,“沿EF折疊,A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對(duì)角線AC上”,依據(jù)“線段AA′被EF垂直平分”,過點(diǎn)F作FP⊥AD于P,利用∠PFE=∠DAC(或者?PFE∽?DAC),求出PE,進(jìn)而可求BF．該題設(shè)為兩小題填空,共4分．對(duì)于數(shù)學(xué)中等生,第1問的2分是可以得到的,入手還是比較容易．

2.立意高,內(nèi)涵豐

從兩個(gè)問題的結(jié)構(gòu)上看,設(shè)問以“第一步”、“第二步”的方式,意在提醒翻折操作是“順次的”,都是研究“翻折”前后“相關(guān)線段的位置關(guān)系”與“相關(guān)線段數(shù)量關(guān)系”及“對(duì)應(yīng)”的規(guī)律．該題妙在第二次翻折操作,打破了“一次翻折”的常規(guī)．著力考查學(xué)生能否抓住“軸對(duì)稱”的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)翻折變化過程中“變與不變”的規(guī)律,能否“化動(dòng)為靜”,能否建立“相似、全等”數(shù)學(xué)模型求解“折痕”所在線段MN的長(zhǎng)度．

三、 解法賞析

1.求線段BF的長(zhǎng)

解法1如圖2,過點(diǎn)F作FP⊥AD于點(diǎn)P,設(shè)EF交AA′于點(diǎn)Q,

∵EF⊥AA′于Q,∴∠DAC=∠PFE.

∴AP=AE-PE=3-2=1,

∴BF=AP=1.

解法2如圖3，延長(zhǎng)AB,EF交于點(diǎn)T,設(shè)EF交AA′于點(diǎn)Q.

∵EF⊥AQ,∴∠T=∠EAQ,

2.求線段MN的長(zhǎng)

解法1如圖4,延長(zhǎng)NM交AB于P.

由“翻折”對(duì)稱性知,MN=PM,連結(jié)PE,PF,由對(duì)稱性知PE=PF，

設(shè)AP=x,則x2+32=(4-x)2+12,

解得x=1,

∴AP=BF,∴?PAE≌?FBP,

∴∠APE=∠PFB,∴∠APE+∠BPF=90°,∴∠EPF=90°.

解法2如圖5,延長(zhǎng)AB、EF交于T.

由軸對(duì)稱知,延長(zhǎng)A′B′也交于點(diǎn)T,由題意易知MN垂直平分線段EF,

解法3如圖6,連結(jié)EN,FN,由翻折的對(duì)稱性知EN=FN.

設(shè)A′N=x,則B′N=4-x,由(EA′)2+(NA′)2=(FB′)2+(NB′)2得32+x2=12+(4-x)2,解得x=1,

四、教學(xué)啟示

1.解后追問 重在發(fā)現(xiàn)

幾何解題教學(xué)中,研究圖形變化、探索變化規(guī)律,既要注重“一題多解”思維發(fā)散訓(xùn)練,又要注重“多題一解”通性通法的思維聚合訓(xùn)練．在問題解決之后,多一點(diǎn)“追問與變式”,追問:條件不變的情形下,還可以提出哪些新問題?改變部分條件,又能提出哪些新問題?將題設(shè)中的數(shù)據(jù)改變成字母,將問題拓展推廣,能否推導(dǎo)出一般性的結(jié)論?

第一步翻折,圖形位置關(guān)系是確定的,所以相關(guān)線段的數(shù)量也是確定的,所以圖中線段長(zhǎng)度都是可以求解的．解后追問:

① 求線段EF,A′C,AA′,A′D的長(zhǎng);

② 條件改為:若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對(duì)角線BD上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,求線段BF的長(zhǎng);

③ 條件改為:點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對(duì)角線上(注意沒有具體說(shuō)在哪條對(duì)角線了),點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,求線段BF的長(zhǎng)．

第二步翻折,解后追問:

① 翻折后,設(shè)B′落在B″處,證明:B″在AD上;

② 求線段A′B″,DB″,CB″的長(zhǎng)．

2.數(shù)字變字母,特殊到一般

拓展變式,探究一般矩形、一般平行四邊形的相關(guān)結(jié)論．

第一步,沿直線EF翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在對(duì)角線AC上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,則線段BF的長(zhǎng)為______(用m,n,a表示);

第二步,分別在EF,A′B′上取點(diǎn)M,N,沿直線MN繼續(xù)翻折,使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合,則線段MN的長(zhǎng)為______(用m,n,a表示).

QB=m-x,

由AE2+AQ2=QB2+BF2得,

∴QE2=a2+x2

B′,則線段BF的長(zhǎng)為______(用m,n,a表示);

解過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G,則

AG=n-mcosθ,

設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,則

∴BF=BC-FC

再繼續(xù)翻折,使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合的問題,留給讀者去思考和研究．

3.改造原題,感悟立意

這樣改造原題,提高了問題的難度,它有兩個(gè)難點(diǎn):一是字母運(yùn)算,具有抽象性;二是A′落在矩形的對(duì)角線上,需要分兩種情況討論,否則容易漏解．