迷人的平面鑲嵌圖形

慕小蕓

平面鑲嵌是指用同樣形狀的平面幾何圖形無(wú)縫隙又不重復(fù)地鋪滿整個(gè)平面．用多邊形鑲嵌平面所構(gòu)造出的各種精美圖案，讓人賞心悅目．

一、用多個(gè)相同正多邊形鑲嵌平面

要用同樣大小的正多邊形鑲嵌平面，那么正多邊形應(yīng)具備的條件是：每一個(gè)公共頂點(diǎn)處，幾個(gè)多邊形的頂角和恰好等于360°，而正n邊形的一個(gè)內(nèi)角等于，要使得共頂點(diǎn)的m個(gè)內(nèi)角和為360°，需使，可得

值得注意的是，其中m和n必須同時(shí)都是正整數(shù)且n不小于3．在上述不定方程中，只有以下三組解：當(dāng)n=3時(shí)，得m=8；當(dāng)n=4時(shí)，得m=6；當(dāng)n=6時(shí)，得m=5．所以在正多邊形中，只有正三角形、正方形、正六邊形才能鑲嵌整個(gè)平面，如圖1．

二、用幾種不同正多邊形鑲嵌平面

（1）這些正多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都是同樣數(shù)目、同樣形式的多邊形的公共點(diǎn)．因?yàn)橐粋€(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為，所以要作出均勻的鑲嵌圖案，就必須找出一些正整數(shù)n，p，q，…，使它們滿足下列等式．

由這個(gè)式子可以得出17組不同的解，也就是說(shuō)有17種不同的正多邊形，但其中只有11種能鑲嵌整個(gè)平面，其中三種即是前面所介紹的正三角形、正方形、正六邊形，其他八種是如圖2所示的圖形．

（2）如果不要求正多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都是同樣數(shù)目、同樣形狀的多邊形頂點(diǎn)，我們將會(huì)得到更加絢麗多姿的平面鑲嵌圖案（如圖3）．

三、用一般凸多邊形鑲嵌平面

對(duì)于用非正多邊形鑲嵌的平面圖形，有如下發(fā)現(xiàn)：

（1）用三角形可以鑲嵌一個(gè)平面（如圖4）．

（2）用任何凸四邊形可以鑲嵌一個(gè)平面（如圖5）．

（3）用特定的凸五邊形可以鑲嵌一個(gè)平面（如圖6、圖7），圖7是一種用五邊形鑲嵌的難以想出的平面圖形．

（4）用特定的凸六邊形（三組對(duì)邊平行）鑲嵌的平面（如圖8、圖9）．用凸六邊形可以鑲嵌出圖9中的“花瓣形”圖案．

四、用凹多邊形鑲嵌的平面圖形

以上我們考慮的多邊形都是凸多邊形，如果去掉這個(gè)限制，用凹多邊形也可鑲嵌出各種賞心悅目的圖案，圖10便是用四種常見(jiàn)的簡(jiǎn)單的凹多邊形鑲嵌的圖案．

五、用重復(fù)花樣的圖形鑲嵌平面

用重復(fù)花樣的圖形鑲嵌的平面圖形，就是用幾個(gè)同樣的圖形拼出一個(gè)與它相似的大圖形．我們稱具有這種性質(zhì)的圖形為重復(fù)花樣，具有重復(fù)花樣的圖形包括凸多邊形（如圖11）和凹多邊形（如圖12）．

六、其他鑲嵌平面

（1）用黑白圖案鑲嵌的平面圖形，如圖13．

（2）用變形矩形鑲嵌平面．改變矩形的兩條長(zhǎng)邊和短邊，如圖14，則所得的圖形可鑲嵌整個(gè)平面，如圖15．該圖就像一群奔馳的羊群．

（3）用曲邊形鑲嵌平面

圖16是一幅簡(jiǎn)單而雅致的花樣圖案，該圖案常出現(xiàn)在羅馬卡拉卡拉澡堂內(nèi)的地面上．平面鑲嵌不僅可用于地磚鋪地面，而且在建筑結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)截料、廢物利用等方面有著很大的實(shí)用性．

在研究平面鑲嵌圖形時(shí)，您會(huì)進(jìn)入一個(gè)五彩繽紛、絢麗多姿的美的世界．只要您能潛心研究，也可以設(shè)計(jì)出一組別出心裁、簡(jiǎn)潔優(yōu)美的圖案來(lái)．