妙用導(dǎo)數(shù)法解答雙變量函數(shù)問題

龍祁林

雙變量函數(shù)問題中含有兩個(gè)變量，因而此類問題較為復(fù)雜，且難度較大．解答此類問題，通常需仔細(xì)研究雙變量之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，通過研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，來判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，從而使問題得解．本文主要談一談如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答雙變量函數(shù)問題．

一、設(shè)定主元

在解答雙變量函數(shù)問題時(shí)，可將其中的一個(gè)變量設(shè)為主元、另一個(gè)視為參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于主元的函數(shù)問題，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得極值，據(jù)此建立關(guān)系式，即可求得問題的答案．

首先將x看作未知數(shù)、k看作參數(shù)，將函數(shù)視為關(guān)于x的函數(shù)式，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)h'（x）<0在[0，2]上成立的問題，即可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解題．

二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想

雙變量函數(shù)不等式問題一般較為復(fù)雜，有時(shí)很難快速求得問題的答案，此時(shí)不妨利用轉(zhuǎn)化思想，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解．如，

解答本題，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意x1、x2∈[1，e2]，都有h（x）min= 2g（x）0判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；由f'（x）<0判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；（4）確定極值點(diǎn)，求得函數(shù)的極值．

三、換元

對(duì)于關(guān)于x1、x2的雙變量函數(shù)不等式問題，往往可以通過換元，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來求解．通?？捎靡粋€(gè)變量替換x1±x2等，或用一個(gè)變量將x1、x2表示出來，這樣便將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的式子，再利用導(dǎo)數(shù)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，進(jìn)而求得問題的答案． 首先將x1、x2代人函數(shù)G（x）=x（㏑x-ax+1）中，得到兩個(gè)等式，然后將兩式相減和相加得到關(guān)于的式子，再將用t替換，便可將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的最值，即可證明不等式．

雖然雙變量函數(shù)問題比較復(fù)雜，但是我們只要仔細(xì)研究雙變量，根據(jù)解題需求合理設(shè)定主元、換元，巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，便可將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)最值問題、函數(shù)不等式問題，這樣就能將問題簡(jiǎn)化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的效果．