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    判斷充分必要條件的幾個(gè)小措施

    2022-11-30 19:37:28熊麗麗
    關(guān)鍵詞:傳遞性充分條件直觀

    熊麗麗

    有關(guān)充分條件和必要條件問題的常見命題形式有:(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系;(2)探求結(jié)論成立的充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件;(3)判斷命題的真假性.解答這些問題的關(guān)鍵在于正確判斷充分必要條件.本文重點(diǎn)介紹三種判斷充分必要條件的方法.

    一、定義法

    判斷充分必要條件,需要熟練掌握充分條件和必要條件的定義,準(zhǔn)確理解其含義.一般地,如果pq,那么p就是q的充分條件,q是p的必要條件.運(yùn)用定義法判斷充分必要條件時(shí),要先根據(jù)題意確定條件是什么,結(jié)論是什么;然后嘗試從條件去推結(jié)論,再從結(jié)論去推條件;最后確定是哪一種條件:充分條件(也稱充分不必要條件)、必要條件(也稱必要不充分條件)、充要條件、既不充分也不必要條件.

    本題中的條件是:sinα=sinβ,結(jié)論是:存在k∈Z使得,在確定條件、結(jié)論后,再根據(jù)充分、必要條件的定義,由條件去推結(jié)論,再從結(jié)論去推條件,即求得問題的答案.

    二、幾何法

    若一個(gè)命題的條件或結(jié)論可用圖形表示出來,則可采用幾何法來判斷充分必要條件.通??筛鶕?jù)代數(shù)式的幾何意義來畫出圖形,如x2+y2=1表示的是一個(gè)網(wǎng),y=2x2表示的是一條拋物線等.若p所表示的圖形在q所表示的圖形的內(nèi)部,則p是q的充分條件;若q所表示的圖形在p所表示的圖形的內(nèi)部,則p是q的必要條件;如果p、q所表示的圖形相等,那么p是q的充要條件.

    因此,在第一象限內(nèi)的圖形如圖2所示,由對稱性可知p、q所表示的圖形完全一致,因此p是q的充要條件.

    借助圖形,可將命題中的代數(shù)關(guān)系以直觀的形式呈現(xiàn)出來,通過觀察圖象,即可判斷出條件和結(jié)論之間的包含關(guān)系,進(jìn)而判斷出充分必要條件.

    三、傳遞法

    根據(jù)充分條件與必要條件之間的傳遞性來進(jìn)行判斷的方法,通常稱之為傳遞法.由充分條件的傳遞性可知,若,則,即Q1是Qn的充分條件,由必要條件的傳遞性可知,則,即Q1是Qn的必要條件.

    例3.(1)已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要不充分條件,q是s的必要不充分條件,那么p是q的什么條件?

    (2)已知p是q的充分條件,q是r的必要條件也是s的充分條件,r是s的必要條件,那么p,q,r,s中哪幾對互為充要條件?

    解答此類問題,一般要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件之間的關(guān)系和傳遞性進(jìn)行推理.

    相比較而言,定義法更加簡單,且比較常用;幾何法比較直觀、便捷;傳遞性的適用范圍較窄.

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